專題13 幾何最值之瓜豆原理知識(shí)精講及練習(xí)

幾何最值之瓜豆原理知識(shí)精講初中數(shù)學(xué)有一類動(dòng)態(tài)問(wèn)題叫做主從聯(lián)動(dòng)，這類問(wèn)題應(yīng)該說(shuō)是非常出題，好多優(yōu)秀老師都在研究它，原因是它在很多名校?？嫉臅r(shí)候經(jīng)常出現(xiàn)，有的老師叫他瓜豆原理，個(gè)人理解可能是種瓜得瓜種豆得豆的意思吧，主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，則從動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是什么。也有的老師叫他旋轉(zhuǎn)相似，或者手拉手。我感覺(jué)這類問(wèn)題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來(lái)解決問(wèn)題，但在解答問(wèn)題時(shí)，要符合解不超綱的原則，所以最后解決問(wèn)題還是用到了旋轉(zhuǎn)相似的知識(shí)，也就是動(dòng)態(tài)手拉手模型，下面整理一些題目來(lái)集中訓(xùn)練一下這類題目，希望對(duì)你能有所幫助.涉及的知識(shí)和方法：知識(shí)：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；④點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值。方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn);第四步：通過(guò)相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值在此類題目中，題目或許先描述的是主動(dòng)點(diǎn)已但最終問(wèn)題問(wèn)的可以是另一點(diǎn)0（從動(dòng)點(diǎn)人根據(jù)P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點(diǎn)出發(fā)探討Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值。一、軌跡之圓篇例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn).考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP半，任意時(shí)刻，均有△AMQs^AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2.結(jié)論：確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO.Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQXAP且AQ=AP.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓.接下來(lái)確定圓心與半徑.考慮APXAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMXAO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有AAPO^AAQM.例3：如圖，^APQ是直角三角形，匕PAQ=90°aAP=2AQ,當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是?分析考慮APXAQ，可得。點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMXAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有^APOs^AOM，且相似比為2.模型總結(jié)為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”.此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（ZPAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比.按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P結(jié)論(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比.按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.思考1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊AAPQ.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？Q考慮ZPAQ=60°，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足ZMAO=60°；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有AAPO^AAQM.

小結(jié)可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系.思考2如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角AAPQ.考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出Q點(diǎn)軌跡？分析Q點(diǎn)滿足(1)ZPAQ=45°；(2)AP:AQ=y'2:1，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓.連接AO，構(gòu)造ZOAM=45°且AO:AM=J2:1.M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有^AOPs^AMQ.即可確定點(diǎn)Q的軌跡圓.二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.引例如圖，AAPQ是等腰直角三角形，匕PAQ=90°!AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？分析當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形.當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段.模型總結(jié)必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（ZPAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于ZPAQ（當(dāng)ZPAQ<90°時(shí)，NPAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC^AAMN，可得AP:AQ=BC:MN）幾何最值之瓜豆原理鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))如圖，ABCD是正方形場(chǎng)地，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，AE與BC相交于點(diǎn)F,有甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿著A-B-F-C的路徑行走至C,乙沿著A-F-E-C-D的路徑行走至D,丙沿著A-F-C-D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達(dá)各自的目的地的先后順質(zhì)由先至后)是()甲乙丙甲丙乙乙丙甲丙甲乙如圖，點(diǎn)P(3,4)，圓P半徑為2,A(2.8,0)，B(5.6,0)，點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=2克，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.M

如圖，正方形ABCD中，AB2邑,O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2,AD連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.MADBDCAABC中，AB=4,AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2后的一個(gè)定點(diǎn)，AC±x軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，匕APB=30°，BA±PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.B

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(—3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊AABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值.B如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG，連接CG，求CG的最小值是多少？AI)幾何最值之瓜豆原理鞏固練習(xí)（提優(yōu)）4點(diǎn)A是雙曲線.7=-在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一交令一分支點(diǎn)B,以AB為斜T邊作等腰RtAABC，點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為.如圖，在RtAABC中，匕ACB=90°，AC=8,BC=6，點(diǎn)D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，則線段CM的長(zhǎng)度的最大值為.C8如圖，已知線段AB=12，點(diǎn)C在線段AB上，且△ACD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接MB，則線段MB的最小值為.4廠B如圖，在AABC中，匕ACB=90°，ZA=30°，BC=2，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以DC為斜邊向右側(cè)作等

腰RtADCE,使匕CED=90°,連接BE,則線段BE的最小值為.如圖，已知在扇形AOB中，OA=3,ZAOB=120°,C是在E上的動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊作正方形BCDE,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A移動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)？如圖，A（—1，1），B（—1，4），C（—5，4），點(diǎn)P是