中學(xué)自主招生模擬試卷含答案及答題卡

自主招生模擬試卷（數(shù)學(xué)卷）題號一二三總分得分一、選擇題（共7題，每題5分，共35分）1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如右圖所示，則化簡二次根式/卜、：'（a+c）2+\：'（b-c）2的結(jié)果是（）pA.a+bB.-a-bC.a-b+2cD.-a+b-2c有4支隊伍進(jìn)行4項比賽，每項比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到5、3、2、1分。每隊的4項比賽得分之和算作總分，如果已知各隊的總分不相同，并且其中一隊獲得了三項比賽的第一名，問總分最少的隊伍最多得多少分？（）A.7B.8C.A.a+bB.-a-bC.a-b+2cD.-a+b-2c有4支隊伍進(jìn)行4項比賽，每項比賽的第一、第二、第三、第四名分別得到5、3、2、1分。每隊的4項比賽得分之和算作總分，如果已知各隊的總分不相同，并且其中一隊獲得了三項比賽的第一名，問總分最少的隊伍最多得多少分？（）A.7B.8C.9D.10已知a是方程x3+3x-1=0的一個實數(shù)根，則直線y=ax+1-a不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限有一種長方體集裝箱，其內(nèi)空長為5米，高4.5米，寬3.4米5米，橫截面的外圓直徑為0.8米的圓柱形鋼管，最多能運（A.20根B.21根C.24根將5個相同的球放入位于一排的8個格子中，每格至多放一個球率是（）3A.—284.5.5B.—286.用這樣的集裝箱運長為）根。D.25根則3個空格相連的概3C.—56用[x]表示不大于X的最大整數(shù)，則方程X2-2[x]-3=0的解的個數(shù)是（）D.A.1B.2C.3D.4一八3一7?對每個x，y是七=2x,y2=x+2,y3=-2x+12三個值中的最小值，則當(dāng)X變化時，函數(shù)y的最大值是（A.4B.6A.4B.6C.48D.—7每題5分，共35分）二、填空題(共7題，8.已知1(b-c)2=(a-b)(c-a)，且a/0,49.G是^ABC的重心，過G的直線交AB于M，交AC于N每題5分，共35分）BMCN則~AM*~AN=°

已知a、b、c都是實數(shù)，且滿足a>b>c,a+b+c=0.那么，一的取值范圍是。a在^ABC中，AB=AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，則各內(nèi)角的度數(shù)為。12.對于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方精2-（n+2）x-2n2=0的兩個根記作a”,氣作a”,氣（nN2），則1(a-2)(b-2)221+…+(a-2)(b-2)331插"""—2)(b-2)2007200713-設(shè)拋物線'EH2"+1）X+2a+4（*常數(shù)）的圖象與X軸只有一個交點，貝ga18+323a-6=。14.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是.三、解答題（本題有4小題，共60分）15.(10分)試求實數(shù)k(k豐土1)，使得方程(k2-1)x2—6(3k-1)x+72=0的兩根都是正整數(shù)。（12分）如圖1,矩形鐵片ABCD的長為2a,寬為a；為了要讓鐵片能穿過直徑為刁疽a的圓孔，需對鐵片進(jìn)行處理（規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔）；（1）如圖2,M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，若將矩形鐵片的四個角去掉，只余下四邊形MNPQ,則此時鐵片的形狀是,給出證明，并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔；（2）如圖3,過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F（不與端點重合）,沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片；

當(dāng)BE=DF=5a時，判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔，并說明理由；為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔，請直接寫出線段BE的長度的取值范圍.（14分）喜歡鉆研的小亮對75°角的三角函數(shù)發(fā)生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特殊角有著密切的關(guān)系，能否通過特殊角的三角函數(shù)值求75。的正弦值呢？經(jīng)研究，他發(fā)現(xiàn)：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，于是他大膽猜想：sin（以+P）=sin以cosP+cos以sinP（a和P為銳角）。將圖1（a）等積變形為圖1（b）可用于勾股定理的證明，現(xiàn)將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2（a）和圖2（b）。如圖,銳角為a的直角三角形斜邊為m，銳角為P的直角三角形斜邊為n，請你借助圖2（a）和圖2（b）證明上述結(jié)論能成立。圖2：1)?2(b)18.(14分)已知菱形ABCD的邊長為1.ZADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F.圖2：1)?2(b)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點E、F分別是邊DC、CB的中點.求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊^(qū)AEF的外心；若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動.記等邊^(qū)AEF的外心為點P.猜想驗證：如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3,當(dāng)左AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M,交邊11DC的延長線于點N,試判斷DMDN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.自主招生模擬答卷（數(shù)學(xué)卷）班級姓名學(xué)號一、選擇題（每小題5分，共35分）題號1234567答案二、填空題（每小題6分，共35分）8.9.10.11.12.13.三、解答題（第15題10分，第16題12分，第17、18每題14分，共50分）15.17.①②參考答案、選擇題1.C2.B3.D4.B5.A6.C7.B二、填空題8.2；9.1；10.c1-2v—V-二；11.(45°、45°、90°)(36°、36°、108°)(36°、72°、72°)a218005400(——、、54001003)；12.；13.579614.%517774016三、解答題715.K=2,3,516-解：(1)是菱形，如圖，過點M作MGXNP于點G,?..M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點，Z.AAMN^ABPN^ACPQ^ADMQ,.?.MN=NP=PQ=QM,四邊形MNPQ是菱形，S=—S=a2,MN=■,‘(」a)2+a2=^-a".MG-MNPQ=—-5a<aMNPQ2ABCD'V22MN5'10...能穿過圓孔(2)①如圖，過點A作AH±EF于點H,過點E作EK±AD于點K<89顯然AB=a>Ea,故沿著與AB垂直的方向無法穿過圓孔，過點A作EF的平行線RS,故只需計算直線RS與EF之間的距離即可，TOC\o"1-5"\h\z,1,,,9BE=AK=—a,EK=AB=a,AF=AD-DF=—a,558■8x.89?.?KF=AF-AK=-a,EF=a2+(—a)2=—a5'55VZAHF=ZEKF=90°,ZAFH=ZEFK,AHA^9%函v'89.?.△AHFsMKF,該直角梯形鐵片不能穿過圓孔;—=——,AH=——a>—aEKEF8910②0vBEV39-3應(yīng)a或‘9+3.?.△AHFsMKF,該直角梯形鐵片不能穿過圓孔;②0vBEV39-3應(yīng)a或‘9+3?。<BE<2a646417.匿&81-二如圖2(a),原來內(nèi)部的正方形變成了一個平行四邊形，m,n為相鄰兩邊，其夾角為a+。，得它的面積是mnsin(a+P)(其中m、n分別是相鄰兩個直角三角形斜邊的長度).如圖2(b),原來的兩個小正方形變成了兩個矩形，其面積之和是msina?ncos「+mcosa?nsin。.與上面一樣，圖2(a)與圖2(b)中空白部分的面積相等，所以有mnsin(a+F)=msina?ncos「+mcosa-nsinp，化簡得sin(a+P)=sinacosP+sinacos°。18(1)證明：如圖1，連接OE、0F，四邊形ABCD是菱形，AC±BD，BD平分ZADC，AD=DC=BC，AZCOD=ZCOB=ZA0D=90°^ADO=^-AADC=30°,又ye.F分別為DC、CB中點，???OE=1CD,OF=1BC,AO=1AD,/.OE=OF=OA,.?.點o即為△AEF的外心；」」」①猜想：外心？一定落在直線DB上.理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過點