第01講-靜力學(xué)分析

第一講靜力學(xué)平面共點(diǎn)力的平衡平面力矩（偶）的平衡（A可任選）平衡的性質(zhì)：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、隨與。判斷方法：力（矩）、能量。（6、7、8）三維力系（9、10）虛功（11、12）雜題（13、14）（1、2、3、4、5）1．如圖所示，n層支架由相同的等腰直角三角形板鉸接而成，其頂部受兩個(gè)力作用，其大小都為P，方向如圖，現(xiàn)不計(jì)架子本身的自重，試求底部固定鉸支座A，B處的約束反力。2③①②由②③式可得(2)將上面n-1個(gè)板隔離出來,用和(1)相同的方法,可求得解：(1)研究整體由①④式可知④最后(3)將板EDB隔離出來2。五根質(zhì)量與長度均相同的勻質(zhì)細(xì)桿用質(zhì)量可略的光滑鉸鏈連接，今將一個(gè)頂點(diǎn)懸掛在天花板上(如圖)，試求平衡時(shí)五邊形當(dāng)中，每邊與豎直方向的夾角φ1和φ2。(底邊與豎直方向垂直)。（兩種解法）Ny3Nx3Nx2Ny2Nx1Ny1Ny2Nx2對(duì)AC桿：解Ⅰ：從力的角度來解。對(duì)OC桿對(duì)AB桿聯(lián)列以上各式可得：又解Ⅱ：以O(shè)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，建立系統(tǒng)的重力勢(shì)能表達(dá)式有：由幾何約束，得：現(xiàn)在，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則勢(shì)能必然最低（穩(wěn)定平衡）。先用φ1表示φ2，利用*式，有：故有：得： 用計(jì)算器逼近解可得：故3.直徑為d和D的兩個(gè)圓柱，置于同一水平的粗糙平面上，如圖所示，在大圓柱上繞以繩子，作用在繩端的水平拉力為F，設(shè)所有接觸處的摩擦系數(shù)均為μ，試求大圓柱能翻過小圓柱時(shí)，μ值必須滿足的條件。解：①先考慮A、B兩處那里更容易滑動(dòng)？當(dāng)D柱快離地時(shí)，B處的正壓力為，摩擦力為F。此時(shí)對(duì)D取力為Mg（對(duì)D取F和fA的焦點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸）。所以A點(diǎn)更易滑動(dòng)?？芍狝處摩擦力也為F。正壓②對(duì)D用力必過E點(diǎn)，摩擦角為 （三力共點(diǎn)），可知A處d對(duì)D的全反其中即4.如圖，已知?jiǎng)蛸|(zhì)桿長為l，擱置于半徑為R的圓柱上，各處的摩擦系數(shù)均為μ，求系統(tǒng)平衡時(shí)，桿與地面傾角α應(yīng)滿足的條件。N3f3N2f2N1f1OO’N3f3N2f2N1f1OO’解：設(shè)桿和圓柱體的重力分別為G1和G2。對(duì)桿對(duì)柱以上七個(gè)方程中只有六個(gè)有效。由最后一式可知，N1>N2，又因?yàn)閒1=f2,所以一定是2處比1處容易移動(dòng)。再來比較2處和O’處。１）如果是2處先移動(dòng)，必有f2=μN(yùn)2,代入④式，可得μ=tg（α/2）,將此結(jié)果代入①,③,④式,即有在這種情況下,如要，必須有桿要能擱在柱上，當(dāng)然要因此在時(shí)，２）如果是Ｏ‘處先移動(dòng)，必有代入前式，可有滿足上式的α即為平衡時(shí)的α，這時(shí)要求ｆ２<μＮ２須有綜上所述：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，α應(yīng)滿足5．如圖，A，B，C，D處皆為光滑鉸鏈，E處為光滑接觸，桿長AB=3l，BC=4l，∠B=90°，DE∥AC，現(xiàn)在DE桿上作用一力偶，其力偶矩為m，作用面在桿平面內(nèi)，方向如圖，若各桿都為輕桿，試求A，C處的反力(D為AB中點(diǎn))。3(1)分析DE桿,設(shè)BC桿對(duì)DE桿的彈力N1垂直與BC桿,AB桿對(duì)DE桿的作用力N2=N1,于是(2)分析AB桿,由受力平衡有因此有（1）（2）（1）（2）：(3)分析BC桿,由受力平衡有NNCx21=NNNByCx+=NNCyBx0=-MB0=?F0=?因此有所以最終6.用均勻材料制成的浮子，具有由兩個(gè)半徑皆為Ｒ的球冠圍成的外形，像一粒豆子。浮子的厚度ｈ〈２Ｒ，質(zhì)量為ｍ１。沿浮子對(duì)稱軸向浮子插入一細(xì)輻條，穿過整個(gè)厚度。輻條長ｌ〉ｈ，質(zhì)量為ｍ２。當(dāng)將浮子輻條向上浸于水中時(shí)，浮子只有少部分沒于水中。浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？ 的垂直于紙面的直線作為轉(zhuǎn)軸，此時(shí)浮力的力矩為O，只要浮子重力的力矩大于輻條重力的力矩，就是穩(wěn)定平衡，否則則是隨遇平衡或不穩(wěn)定平衡。解：研究輻條稍微偏離平衡位置α角的情況，作用在浮子上的浮力沿豎直線，通過浮子水下部分的受力中心（浮心），且與輻條交于下球冠的球心C處。浮子重心P與的距離為輻條中心與的距離為取過 M=m1g(R-h/2)sinα-m2g(l/2-R)sinα =(m1+m2)Rg-(m1h+m2l)g/2

M>0對(duì)應(yīng)穩(wěn)定平衡；

M=0對(duì)應(yīng)隨遇平衡；

M<0對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定平衡。 7.一種“平衡吊”如圖，它主要由桿ABD，DEF，BC，CE四桿鉸接而成，而A處軸可以固定在豎直槽的不同位置，從而調(diào)整F處吊鉤上重物的高度，桿ABD可繞A在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)能在光滑水平槽內(nèi)滑動(dòng)，不計(jì)全部摩擦，用l1表示AD的長度，l2

表示AB的長度，l3表示DF的長度，l4表示BC的長度。(1)若將各桿都視為輕桿，且無配重物時(shí)，試論證l1l2l3l4應(yīng)滿足何種關(guān)系，才能使平衡吊的吊鉤(包括重物)位于同一水平面的不同位置時(shí)平衡吊都能平衡？(2)若考慮各桿自重，為使平衡吊的吊鉤位于同一水平面的不同位置時(shí)都可平衡，必需在桿ABD的P處加一重物，P距A為lp，設(shè)配重物重量為Gp，AD，DF，BC，CE重量分別為G1，G3，G4，G5，不計(jì)AP的重力，問當(dāng)l1，l2，l3，l4和lp已知，且l1=l3，l2=l4時(shí)，Gp的值為多少？解：（1）由于A點(diǎn)為固定轉(zhuǎn)軸，則系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的力矩必為0，由參考圖可知化簡(jiǎn)得：由于題目要求α，β取不同值時(shí)*式均成立。故 ，即（2）下面換用能量法考慮，取A為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢(shì)能表示為：故總的勢(shì)能為由則Vt化為：使Vt為定值，要求cosβ的系數(shù)為0。故由 ，得：

評(píng)析：本題與前題有所不同，先用受力法分析，再用勢(shì)能，但都抓住“不變”這一條件作文章，即將變數(shù)的系數(shù)記為0，這十分有用，應(yīng)牢記。8.在盛有密度為ρ1的液體的大容器中放入一只底面積為Ｓ的小的圓柱形容器，在這個(gè)容器的底部又插入一根長為ｌ的細(xì)管。兩只容器壁均靜止不動(dòng)。在小的容器中注入密度為的染了顏色的液體，使其高度至Ｈ，以使與外面容器的液面相平，然后打開細(xì)管的下端，可以看到重液由細(xì)管內(nèi)流入大容器中，但經(jīng)過一段時(shí)間輕液開始進(jìn)入小容器中，以后這個(gè)過程重復(fù)地進(jìn)行著。如果假設(shè)液體不會(huì)混合以及表面張力可忽略不計(jì)，試求第一次從小容器里流出的重液的質(zhì)量是多少？在以后的每次循環(huán)中，流進(jìn)小容器的輕液的質(zhì)量和從小容器里流出的重液的質(zhì)量各是多少?解：①設(shè)小容器的液面下降Δx后A面平衡上壓強(qiáng)PA1'=P0+ρ2g(H-Δx+l)下壓強(qiáng)PA1''=P0+ρ1g(H+l)由 PA1'=PA1''可得 Δx=(ρ2-ρ1)(H+l)/ρ2

Δm1=ρ2Δxs=(ρ2-ρ1)(H+l)s

故第一次流出液體質(zhì)量②這是一種不穩(wěn)定平衡，如果由于某種微擾使細(xì)管內(nèi)液體上升x（由于小容器截面比細(xì)管大得多，因此此微擾不會(huì)改變小容器內(nèi)液面的高度）這樣下壓強(qiáng)大于上壓強(qiáng)，將把兩種液體的分界面一直推到B處，然后輕液開始浮到重液上面，直至B處上、下壓強(qiáng)相等③關(guān)心B處向下的擾動(dòng)…….④如此循環(huán)，直至小容器內(nèi)重液全部流出至大容器底部。下面計(jì)算每次流入小容器的輕液質(zhì)量Δmk和小容器中流出的重液質(zhì)量Δmn。每次輕液流入從PAk'=PAk''開始，設(shè)在小容器中流入Δxk高的輕液后，B處上下壓強(qiáng)相等，則PAk'-ρ2gl+ρ1gΔxk=PAk''-ρ1gl

得 Δxk=(ρ2-ρ1)l/P1,Δmk=ρ1Δxks=(ρ2-ρ1)ls

每次重液流出從每次重液流出從PBn'=PBn''開始，設(shè)小容器內(nèi)液面下降Δxn后，A處上下壓強(qiáng)相等開始，設(shè)小容器內(nèi)液面下降Δxn后，A處上下壓強(qiáng)相等，即PBn'+ρ2gl-ρwgΔxn=PBn''+ρ1gl

可得Δxn=(ρ2-ρ1)l/ρ2,Δmn=ρ2Δxns=(ρ2-ρ1)ls=Δmk

9。半徑為r、質(zhì)量為m的三個(gè)相同的剛性球放在光滑的水平桌面上，兩兩相互接觸．用一個(gè)高為1.5r的圓柱形剛性圓筒(上下均無底)，將此三球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)值，使得各球間以及球與筒壁之間均保持接觸，但相互無作用力．現(xiàn)取一個(gè)質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個(gè)球，放在三個(gè)球的上方正中．設(shè)四個(gè)球的表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同物質(zhì)構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)均為μ=0.775．問：R取何值時(shí)，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個(gè)球一起提起來?解:設(shè)系統(tǒng)已被提離桌面而能保持平衡，受力分析如圖所示，平衡方程為：上球 下球整體下球由④⑤兩式可得：①③④⑤②⑥因?yàn)棰奘酱擘偈降茫?⑥、⑦代入②式得：為了使物體之間不滑動(dòng)，必須滿足下列二式：因?yàn)?+cosθ≥1+4cosθ，所以只要⑩式滿足，⑨式必定滿足．也就是說如果發(fā)生滑動(dòng)，首先在上、下球之間發(fā)生．因?yàn)棣?（0.775），由⑩式得：⑦⑧⑨⑩等式兩邊平方并整理后得：128cos2θmax+24cosθmax-77=0可解得設(shè)R=br，借助于俯視圖可知但是b又不能太小，要使上球不從三球中掉下，必須使所以R取值范圍為 即 0.1547r<R≤O.6796r10．質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)細(xì)桿AB一端A置于足夠粗糙地面，另一端B斜靠在墻上。自A至墻引垂線AO，已知∠OAB=α，桿上端與墻面的摩擦系數(shù)為μ。求桿B端不至滑下時(shí)，桿與AO所在平面與鉛垂面的最大傾角θ以及此刻墻對(duì)桿B端的支承力N。

分析與解:設(shè)圖為臨界狀態(tài)時(shí)的系統(tǒng)位形，坐標(biāo)OXYZ如圖中所示。OYZ為墻面，O為A在墻上的垂足，Z軸鉛直向上。桿上受力為三維空間受力。若B端在墻上滑動(dòng)，將畫出一個(gè)以O(shè)為圓心，lsinα為半徑的半圓，如圖中虛線所示。桿B端受摩擦力f與圓相切，且與y軸夾θ角，還受支承力N，指向x軸正向。桿上A端受力未知，圖中未畫出。盡管一起先我們并不知道如何寫平衡方程會(huì)使求解簡(jiǎn)化。但可以試著寫出轉(zhuǎn)動(dòng)方程，使與題無關(guān)的未知力不要出現(xiàn)在方程中。先寫出桿上受力對(duì)AO軸的力矩平衡方程，方程中不出現(xiàn)A端受到的未知力，B端受到的支承力N的力矩為零，只有B端受到的摩擦力f和重力mg對(duì)AO軸有力矩，平衡方程為：又聯(lián)立解得：①②③由于?未知，此式還不能得到角θ。由于圖中所示為臨界狀態(tài)，?與N有關(guān)系：聯(lián)立方程②、④、⑤，得經(jīng)分析，再寫出對(duì)A點(diǎn)的鉛直軸AE的力矩平衡方程。同樣，桿上A端未知力不出現(xiàn)在方程中，重力mg不產(chǎn)生力矩，只有B端受到的支承力N和摩擦力在y方向分力對(duì)軸AE有力矩，平衡方程為：④⑤⑥聯(lián)立方程③、④、⑥，得到支承力表達(dá)式：11。如圖，由4根長桿AD、BC、CF、DE和4根短桿AO1、BO1、EO4、FO4構(gòu)成一個(gè)框架（各連接處都是鉸鏈），總質(zhì)量為M。下面再掛一個(gè)m，θ1θ2之間用輕繩連接，使框架呈三個(gè)正方形，求繩上的張力。解：假設(shè)O2O3繩縮短了Δx，那么m將升高3Δx，整個(gè)框架的重心將升高1.5Δx，這些勢(shì)能的獲得正是由于O2O3繩做了功。設(shè)上的張力是T可解得：12.如圖所示，一光滑的圓截面之半圓環(huán)管內(nèi)裝滿2n個(gè)相同的滾珠，每珠重P，與管恰好密合，放在鉛直平面內(nèi)且兩端等高，如Nm是由頂端起第m個(gè)和第（m+1）個(gè)珠間的壓力，證明：（兩種解法）解Ⅰ：每個(gè)球?qū)A心的張角因此第m個(gè)小球E(見圖)Nm與OE的夾角為 將E球的重力P、Nmax、Nm投影到垂直于OE的方向用力的方法來解題因而其中(湊積化和差)因而即解Ⅱ：設(shè)想從第1到第m個(gè)球都發(fā)生小位移ΔS，則第k個(gè)小球上升的高度為Δhk，有：設(shè)每個(gè)小球所對(duì)的圓心角為Δθ，有：故有： 因而從第1到第m小球的總勢(shì)能增量為：用能量的方法為求上述值，須借助矢量法，