圓周率的計算

關(guān)于圓周率的計算第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三1、實驗時期通過實驗進行估算,這是計算圓周率

的的第一階段中國:“圓徑一而周三”----《周髀算經(jīng)》(2)“周三徑一,方五斜七”----木工口訣

古埃及：數(shù)谷粒與稱重量：第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2、幾何算法用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形逼近的方法第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三6邊形12邊形24邊形圓劉徽:割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣

3n=3072)阿基米德第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽:巴黎“發(fā)現(xiàn)宮”科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率,莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像,月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……公元5世紀(jì),祖沖之《隋書·律歷志》：“宋末,南徐州從事祖沖之更開密法.以圓徑一億為丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間.密率:圓徑一百一十三,圓周三百五十五約率,圓徑七,周二十二。”

第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三1579年,韋達證明1630年,德國人魯?shù)婪?小數(shù)點以后35位1150年,印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅:3.141614241424年,中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家卡西:3.14159265358979325……….3.141

592

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88第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三3、分析方法

從十七世紀(jì)中葉起,人們開始用分析方法來求π的近似值,其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù).

麥琴(Machin)給出(Machin公式)第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三1656年,沃里斯(Wallis)證明取k=10取k=20第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三歐拉證明了(1735)注：BaselProblem,1644年提出第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三1、Buffon投針1.在白紙上畫上許多條間距為d的平行直線2.取長為l(l<d)的針,隨機地投擲在白紙上,投擲n次,觀察與直線相交的次數(shù),記為m.4、概率方法針線相交的概率第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三隨機投針的概率含義針的中點M與平行線的距離x均勻分布于區(qū)間[0,d/2]

針與平行線的交角均勻分布于區(qū)間記針的中點為M,x表示點M與較近的平行線間距離,θ表示針與平行線間夾角在間隔為d的平行線間隨機投擲長度為l的針[0,d/2]中隨機選取x,[0,π]中隨機產(chǎn)生θ,構(gòu)成平面中點[x,θ]第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三計算針和直線相交的概率是設(shè)投擲n次,相交m次,則針與線相交的頻率為m/n針與平行線相交的條件n=2212,Buffon:π=3.142;n=5000,Wolf:π=3.1593第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三d=45;l=36;n=20000;x=[];y=[];P=[];Q=[];fori=1:n,x1=rand*d*0.5;

y1=rand*pi;

if2*x1<=l*sin(y1),x=[x,x1];y=[y,y1];

elseP=[P,x1];Q=[Q,y1];endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plot(s,l*sin(s)/2,'k','Linewidth',2)holdonplot(y,x,'r.'),plot(Q,P,'b.'),plot([0,pi],[0,0],'k','Linewidth',2),plot([0,pi],[22.5,22.5],'k','Linewidth',2)plot([0,0],[0,22.5],'k','Linewidth',2),plot([pi,pi],[0,22.5],'k','Linewidth',2)axis([-0.2,3.3,-2,24])第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三利用蒙特卡洛算法計算圓周率第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三利用蒙特卡洛算法計算定積分第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三2、互素數(shù)分布取一個大整數(shù)N,在1到N之間隨機取一對整數(shù)a,b,它們互素的概率注：隨機整數(shù)randint(1,1,[])求a,b最大公約數(shù)gcd(a,b)第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三5、數(shù)值積分方法第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)值積分方法第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三6、代數(shù)迭代對正數(shù)a0,b0,定義算術(shù)均值數(shù)列和幾何均值數(shù)列若兩數(shù)列極限相等,則稱此極限為它們的算術(shù)幾何均值,記為AGM(a0,b0)取則有記第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三年代19491973198919992011精確位數(shù)2035100萬10億2061億2000萬億“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi),三十位小數(shù)便能使整個可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。”

——西蒙·紐克姆

第20頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三實驗一小結(jié)1、幾何算法:割圓法,