東南大學(xué)數(shù)模課件數(shù)學(xué)建模簡介

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗第一章數(shù)學(xué)建模概述1.1數(shù)學(xué)模型概念1.2數(shù)學(xué)模型的特點1.3數(shù)學(xué)模型的分類1.4建模示例課程學(xué)習(xí)的重要性科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來越起到重要作用；數(shù)學(xué)建模教育有利于學(xué)生解決實際問題的綜合能力的提高；我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學(xué)無關(guān)，但通過分析都可用簡捷數(shù)學(xué)方法完美的解決。熟悉數(shù)學(xué)知識與方法的應(yīng)用

如何挑西瓜

某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿，次日早8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店，則這人在兩天中的同一時刻經(jīng)過途中的同一地點，為什么？交通事故調(diào)查一輛汽車在拐彎時急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里。交警立即趕到事故現(xiàn)場。司機申辯說，當他進入彎道時剎車已失靈，他還一口咬定，進入彎道時其車速為40英里/小時(即該車在這類公路上的速度上限，相當于17.9米/秒），交警驗車時證實該車的制動器在事故發(fā)生時的確失靈，然而司機所說的車速是否真實呢？目標與定位架起數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，學(xué)習(xí)初步的用數(shù)學(xué)解決實際問題的一般步驟與方法體驗創(chuàng)造性地解決問題的基本過程學(xué)習(xí)如何分析問題與研究問題培養(yǎng)團體協(xié)作精神血藥濃度與周期性服藥問題飲酒駕車問題最優(yōu)的渡河策略分類問題設(shè)備的預(yù)防性維修

最優(yōu)的彩票方案網(wǎng)路在線租賃優(yōu)化的排課問題衛(wèi)星測控1.1數(shù)學(xué)模型概念原型

指人們在現(xiàn)實世界里所研究或從事生產(chǎn)管理的實際對象。比如：機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)污染擴散過程、生產(chǎn)銷售過程、計劃決策過程等。模型

指人們?yōu)榱四硞€特定的目的而將原型的某些信息精簡壓縮,加以提煉而構(gòu)造的原型的替代物。需要強調(diào)的是,模型不是原型的原封不動的復(fù)制,它實際上只是原型某些方面和某些層次的近似表示。模型分類直觀模型

通常指實物模型,以及玩具、照片等,

主要追求外觀上的逼真,這類模型的效果是一目了然的。物理模型通常指科技工作者為了某些目的，根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型,它不僅可以顯示原型的外形或某些特征,而且可以用以進行摸擬實驗,間接地研究原型的某些規(guī)律。比如風(fēng)洞中的飛機模型用來實驗飛機在氣流中的空氣動力學(xué)特性等。

思維模型

通常指人們對原型的反復(fù)認識,將獲取的知識以經(jīng)驗的形式直接存于大腦中,從而可以根據(jù)思維或者直覺作出相應(yīng)的決策。符號模型

指在一些約定或假設(shè)下借助專門的符號、線條等,

按照一定形式組合起來的原型的描述，比如地圖、電路圖等

數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)的語言和工具,對原型的信息(現(xiàn)象﹑數(shù)據(jù)﹑圖表等)加以翻譯、歸納所形成的公式、圖表等。什么是數(shù)學(xué)建模?數(shù)學(xué)實驗？

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運用先進的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進行求解。

數(shù)學(xué)實驗指利用計算機技術(shù)，選擇合適的數(shù)學(xué)軟件和算法將數(shù)學(xué)問題在計算機上加以實現(xiàn)。與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的技術(shù)

主要指計算機模擬。根據(jù)實際系統(tǒng)或過程的特征，按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)律用計算機程序語言模擬實際運行狀態(tài)，并依據(jù)大量的模擬結(jié)果對系統(tǒng)或過程進行定量分析。它是解決實際問題的有效手段。模擬

數(shù)學(xué)實驗指利用計算機技術(shù)，選擇合適的數(shù)學(xué)軟件和算法將數(shù)學(xué)問題在計算機上加以實現(xiàn)。本課程涉及的內(nèi)容數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)實驗不涉及模擬建立數(shù)學(xué)模型的一般方法機理分析是指人們根據(jù)客觀事物的特征,分析其內(nèi)部機理,弄清其因果關(guān)系,并在適當?shù)暮喕僭O(shè)下,利用合理的數(shù)學(xué)工具得到描述事物特征的數(shù)學(xué)模型。統(tǒng)計分析是指人們一時得不到事物的機理特征,便通過測試得到一系列數(shù)據(jù),再利用數(shù)理統(tǒng)計等知識,對這些數(shù)據(jù)進行處理,從而得到最終的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型建立用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟幾個過程簡介了解問題的實際背景明確建模的目的搜集建模必需的各種信息初步確定用哪一類模型。模型準備模型準備過程是非常必要的,這一步驟往往是建模過程中最困難、最費時費力的,需要查閱大量的資料,需要請教專家,而且要求自己應(yīng)具有相當?shù)膶嶋H經(jīng)驗

模型假設(shè)

一般無法將實際對象的所有影響因素都考慮到模型中,這就需要對問題進行必要的簡化。通過假設(shè),精確地描述各種影響因素的關(guān)系。

假設(shè)包含兩方面的內(nèi)容（1）有選擇地忽略一些影響因素,這種忽略

主要基于兩個方面的考慮:

（i）該變量與其它變量相比,對實際問題

行為特征的影響較?。唬╥i）對于那些在各種條件下,對實際問題

行為特征的影響雖然比較大,但是影

響程度的變化基本上是不變的。

(2)確定所選變量的關(guān)系

有些變量間的關(guān)系是明確的,我們勿需對此作假設(shè)或簡化,有些變量間的關(guān)系是模糊的,對此類變量,為明確其關(guān)系,我們可以對它再作進一步的假設(shè)或簡化,甚至為了研究這些變量的關(guān)系,我們還可以建立子模型。建立模型根據(jù)所作的假設(shè)利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具,構(gòu)成實際問題的數(shù)學(xué)描述,建模應(yīng)遵循簡單原則:

盡管同一個研究對象可以利用多個學(xué)科的數(shù)學(xué)知識來建模,但應(yīng)盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,以便更多的人了解和使用。建模除了需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外,還常常需要廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識開拓思路,除用到微積分、常微分方程、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識外,還用到諸如運籌與規(guī)劃、排隊論、圖論、對策論等方面的知識。模型的求解與分析

模型的求解與分析所謂模型的求解與分析指的是利用數(shù)學(xué)方法給出模型的結(jié)果,或者是利用數(shù)學(xué)語言描述模型所揭示的含義。

模型分析對模型結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析,給出定量或定性的結(jié)果,如有可能還應(yīng)該給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報、數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策與控制方法等。對結(jié)果進行誤差分析、靈敏度分析及穩(wěn)定性分析也是模型分析中必不可少的工作。模型應(yīng)用

應(yīng)用建立的模型解決實際問題，這是建模的真正目的。好的模型有時可以產(chǎn)生巨大的影響。模型檢驗經(jīng)模型檢驗證明模型是可靠的或適用的后,模型即可以應(yīng)用實際問題,用于評價、預(yù)測或指導(dǎo)工程實踐。模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的分類分類標準具體類別了解程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數(shù)學(xué)方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、…數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、…表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容1）建模的基本概念和方法（數(shù)學(xué)建模課程的主要內(nèi)容）2）建模過程中常用的數(shù)學(xué)方法(微積分、代數(shù)、概率外)，主要有：計算方法(如數(shù)值微分和積分、微分方程數(shù)值解、代數(shù)方程組解法)，優(yōu)化方法(如線性、非線性規(guī)劃)，數(shù)理統(tǒng)計(如假設(shè)檢驗、回歸分析)，圖論(如最短路)等。本課程只要求知道實際問題與這些數(shù)學(xué)知識之間的對應(yīng)關(guān)系（如哪些問題可用線性規(guī)劃求解，或線性規(guī)劃可解決哪些問題），以及用它們建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。3）合適的數(shù)學(xué)軟件的用法?；旧夏芡瓿缮鲜龇椒ǖ能浖鏜ATLAB,MATHEMATICA,LINGO等。1.4建模示例一輛汽車在拐彎時急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里（見圖1.1）。交警立即趕到事故現(xiàn)場。司機申辯說，當他進入彎道時剎車已失靈，他還一口咬定，進入彎道時其車速為40英里/小時(即該車在這類公路上的速度上限，相當于17.9米/秒），交警驗車時證實該車的制動器在事故發(fā)生時的確失靈，然而司機所說的車速是否真實呢？例1交通事故調(diào)查圖1.1汽車軌跡運行圖交警在現(xiàn)場獲取的相關(guān)數(shù)據(jù):

X指剎車痕跡方向；Y指垂直X軸方向。經(jīng)勘察還發(fā)現(xiàn)，該車并沒有偏離它的行駛轉(zhuǎn)彎方向，也就是說車頭一直指向轉(zhuǎn)彎曲線的切線方向。x0369121516.64y01.192.152.823.283.533.55x182124273033.27y3.543.312.892.221.290表1.1剎車痕跡的測量值(米)模型假設(shè)該車的重心沿一個半徑為r的圓做圓周運

動（根據(jù)交通學(xué)原理，現(xiàn)有公路的彎道

通常是按圓弧段設(shè)計的,需要檢驗）。汽車速度v是常數(shù)（因剎車失靈，所以剎車不起作用）。設(shè)摩擦力f作用在汽車速度的法線上，摩擦系數(shù)為常數(shù)k，汽車質(zhì)量為m。模型建立根據(jù)牛頓運動學(xué)定律：

f=kmg=mv2/r

（1.1）模型求解由（1.1）式得v=

（1.2）關(guān)于半徑r的估計:假設(shè)已知圓的弦長為c,弓形高度為h,由勾股定理得,由表1.1得c≈33.27m,h≈3.55m,求得r≈40.75m.摩擦系數(shù)k的值通?？梢愿鶕?jù)路面與汽車輪胎的情況測出,也可以通過交通部門獲得,本例取

kg=8.175m/s。代入(1.2)式得v=18.2m/s。

模型解釋

這一結(jié)果（18.2m/s）比司機所說的車速(17.9m/s)略大一些,但基本上可以認為司機所說的情況屬實。

井深的估算假如你站在井邊且身上帶著一只具有計時功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計井的深度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算井的深度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有計時功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。除去地球引力外，對石塊下落影響最大的當屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=-g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應(yīng)時間

進一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算水井高度