立體幾何求角

立體幾何求角一．解答題（共 8小題）1．如圖，在正四棱錐 P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點(diǎn)．1）求證：PC⊥BD；2）求直線BE與PA所成角的余弦值．2．如圖，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直， 且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BD，CD上，沿直線EF將△EFD向上翻折使得D與A重合（Ⅰ）求證：AB⊥CF；（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成角．第1頁(yè)（共15頁(yè)）3．如圖，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)．1）求證：DE⊥BC；2）求三棱錐E﹣BCD的體積．4．如圖：ABCD是平行四邊形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°1）求證：EC∥平面PAD；2）求證：平面PAC⊥平面EBC；3）求直線PC與平面PABE所成角的正弦值．5．如圖所示，四棱錐 P﹣ABCD中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是第2頁(yè)（共15頁(yè)）AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=1，AB=2．1）求證：MN∥平面PAD；2）求證：平面PMC⊥平面PCD；3）求點(diǎn)D到平面PMC的距離．6．如圖，在四棱錐 P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線 AB與平面PBC所成角的正弦值．7．如圖，已知三棱錐 P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M為第3頁(yè)（共15頁(yè)）PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大?。?．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．1）求證：PA⊥BD；2）若∠PCD=45°，求點(diǎn)D到平面PBC的距離h．第4頁(yè)（共15頁(yè)）立體幾何求角一．解答題（共 8小題）1．如圖，在正四棱錐 P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點(diǎn)．1）求證：PC⊥BD；2）求直線BE與PA所成角的余弦值．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，且 PA=AB=a，∴△PBC，△PDC都是等邊三角形，?（ 2分）∵E是棱PC的中點(diǎn)，∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE?（5分）又BD?平面BDE，∴PC⊥BD?（6分）解：（2）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連OE．四邊形ABCD為正方形，∴O是AC的中點(diǎn)?（8分）又E是PC的中點(diǎn)∴OE為△ACP的中位線，∴AP∥OE∴∠BEO即為BE與PA所成的角?（10分）第5頁(yè)（共15頁(yè)）在Rt△BOE中，BE=，EO=，?（12分）∴cos∠BEO=．∴直線BE與PA所成角的余弦值為．?（14分）2．如圖，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直， 且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BD，CD上，沿直線EF將△EFD向上翻折使得D與A重合（Ⅰ）求證：AB⊥CF；（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成角．【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90°CF⊥BC，F(xiàn)C⊥面ABC，AB⊥CF?（5分）（2）設(shè) ，設(shè) BE=t，則 ED=EA=2 ﹣t，第6頁(yè)（共15頁(yè)）取BC的中點(diǎn)H，連接HE，AH，又?（7分）又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2= +t2﹣t+ ，，∴點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，?（10分）HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA為所求角的線面角?（12分）?（14分）∴所以直線AE與平面ABC所成角為?（15分）．3．如圖，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)．1）求證：DE⊥BC；2）求三棱錐E﹣BCD的體積．第7頁(yè)（共15頁(yè)）【解答】證明：（1）取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，則EF△BCB1的中位線，∴EF∥BB1，EF= BB1，∵AD∥BB1，AD= BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴DE∥AF，∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．2）∵BB1⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴BB1⊥AF，又∵AF⊥BC，BC?平面 BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，∵AC=5，BC=6，∴CF= =3，∴AF= =4，∴DE=AF=4∵BC=BB1=6，∴S△BCE= =9．∴三棱錐E﹣BCD的體積V= S△BCE?DE= =12．4．如圖：ABCD是平行四邊形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°1）求證：EC∥平面PAD；2）求證：平面PAC⊥平面EBC；第8頁(yè)（共15頁(yè)）（3）求直線 PC與平面PABE所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)?BE∥PA，BE?平面PAD，PA?平面 PAD，所以BE∥平面PAD，同理BC∥平面PAD，所以平面PAD∥平面EBC，因?yàn)镋C?平面 EBC，所以EC∥平面PAD?（4分）2）證明：因?yàn)锳B=2，BC=1，∠CBA=60°，由余弦定理得，AC=，所以由勾股定理逆定理∠BCA=90°，所以AC⊥BC，又因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，則有AC⊥平面EBC，AC?平面PAC所以平面BEC⊥平面PAC．?（8分）3）解：作CH⊥AB于H，連結(jié)PH，又因?yàn)镃H⊥PA，所以CH⊥平面PABE，所以∠HPC即為線面角，∴．?（13分）5．如圖所示，四棱錐 P﹣ABCD中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=1，AB=2．第9頁(yè)（共15頁(yè)）1）求證：MN∥平面PAD；2）求證：平面PMC⊥平面PCD；3）求點(diǎn)D到平面PMC的距離．【解答】（1）證明：設(shè) PD的中點(diǎn)為 E，連接AE、NE，由N為PC的中點(diǎn)知 EN平行且等于 DC，又ABCD是矩形，∴DC平行且等于 AB，∴EN平行且等于 AB又M是AB的中點(diǎn)，∴EN平行且等于 AM，∴AMNE是平行四邊形∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD∴MN∥平面PAD（2）證明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．（3）解：設(shè)點(diǎn) D到平面PMC的距離為 h，則 ，第10頁(yè)（共15頁(yè)）∴點(diǎn)D到平面PMC的距離h= ．6．如圖，在四棱錐 P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線 AB與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線 AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得 ，故 ．所以，異面直線 AP與BC所成角的余弦值為 ．證明：（Ⅱ）因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面 PDC，所以AD⊥PD．第11頁(yè)（共15頁(yè)）又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）過點(diǎn)D作AB的平行線交 BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得 ．所以，直線 AB與平面PBC所成角的正弦值為 ．7．如圖，已知三棱錐 P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M為PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．第12頁(yè)（共15頁(yè)）【解答】解：（Ⅰ）證明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因?yàn)椤螦CB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)MO、過O作HO⊥AC于H，連結(jié)MH，因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，所以MO∥PA，又因?yàn)镻A⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO為二面角 M﹣AC﹣B的平面角．設(shè)AC=2，則BC=2 ，MO=1，OH= ，在Rt△MHO中，tan∠MHO= ．二面角M﹣AC﹣B的大小為 300．8．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．1）求證：PA⊥BD；2）若∠PCD=45°，求點(diǎn)D到平面PBC的距離h．【解答】（1）證明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，第13頁(yè)（共15頁(yè)）∴BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°=3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，∴BD