彈性力學(xué)課件 應(yīng)變狀態(tài) V2011

應(yīng)變狀態(tài)理論

董興建(donxij@)機(jī)械學(xué)院A樓832室振動(dòng)、沖擊與噪聲研究所參考文獻(xiàn)吳家龍.彈性力學(xué).北京：高等教育出版社2009第3章

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位移分量和應(yīng)變分量相對(duì)位移張量轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換主應(yīng)變應(yīng)變張量不變量應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變狀態(tài)理論參考文獻(xiàn)吳家龍.彈性力學(xué).北京：高等教育出版社2009第3章錢偉長(zhǎng).彈性力學(xué).北京：科學(xué)出版社1980第2章位移和應(yīng)變－－引言變形的拉格朗日描述變形的歐拉描述簡(jiǎn)單說來：拉格朗日描述采用變形前的坐標(biāo)作為自變量；歐拉描述采用變形后的坐標(biāo)作為自變量。固體力學(xué)中，多用拉格朗日描述；流體力學(xué)中，多用歐拉描述。觀察者位于空間的一個(gè)固定點(diǎn)，觀察流過你所在的體積單元。位移和應(yīng)變－－引言Chapter4.1

單軸應(yīng)變xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)FChapter4.1

單軸應(yīng)變微元的長(zhǎng)度變化：Taylor級(jí)數(shù)展開：位移和應(yīng)變－－引言Chapter4.1

單軸應(yīng)變略去高階項(xiàng)：?jiǎn)屋S應(yīng)變（工程應(yīng)變）定義為：位移和應(yīng)變－－引言1位移分量和應(yīng)變分量由于荷載的作用或者溫度的變化，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，就會(huì)產(chǎn)生位移。一、位移第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因此稱為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形位移。兩種位移：1位移分量和應(yīng)變分量M（x，y，z）移動(dòng)至M'（x'，y'，z'）u=x'-x=u（x，y，z）

v=y'-y=v（x，y，z）

w=z’-z=w（x，y，z）為后面運(yùn)算需要，假設(shè)位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xzy點(diǎn)的位移為MM'在數(shù)學(xué)上，x'，y'，z'

必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)

1位移分量和應(yīng)變分量二、應(yīng)變?nèi)绻鼽c(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對(duì)距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長(zhǎng)度的變化，稱為正應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)定義為直角的改變，直角變小為正，直角變大為負(fù)。1位移分量和應(yīng)變分量m

a

b

變形前坐標(biāo)變形后：m'點(diǎn)的坐標(biāo)為

a'點(diǎn)的坐標(biāo)為

b'點(diǎn)的坐標(biāo)為

變形量1位移分量和應(yīng)變分量同理上式為正應(yīng)變的幾何方程1位移分量和應(yīng)變分量同理：1位移分量和應(yīng)變分量同理可得：這六式為幾何方程（柯西方程）這樣，平面上一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化來描述，稱為應(yīng)變分量，也就是所說的幾何方程。從幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。思考題：當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量是否能完全確定。1位移分量和應(yīng)變分量空間一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化－切應(yīng)變來描述。張量形式為1位移分量和應(yīng)變分量空間的應(yīng)變分量共九個(gè)分量，是一個(gè)對(duì)稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個(gè)互相垂直的主方向，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時(shí)，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L(zhǎng)方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對(duì)角陣，切應(yīng)變分量為零。1位移分量和應(yīng)變分量2相對(duì)位移張量轉(zhuǎn)動(dòng)分量形變協(xié)調(diào)方程形變協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程數(shù)學(xué)意義

εij=εji，6個(gè)獨(dú)立分量

ωij=-ωji，3個(gè)獨(dú)立分量反之,9個(gè)形變不能唯一確定3個(gè)位移,需6個(gè)限制條件力學(xué)意義——變形連續(xù)

變形后不開裂、不重疊彈性體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束3個(gè)位移9個(gè)獨(dú)立分量,或ui,j

例1設(shè)ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求位移。解：顯然該應(yīng)變分量沒有對(duì)應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。要使幾何方程求解位移時(shí)方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件基本方法:對(duì)形變求二階偏導(dǎo),利用位移三階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系,使線形變與角形變之間、角形變與轉(zhuǎn)動(dòng)分量之間產(chǎn)生約束，利用可積分條件(形變求位移的單值條件)推得協(xié)調(diào)方程從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對(duì)y和

x求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加可得對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則將幾何方程的四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則:應(yīng)變協(xié)調(diào)方程圣維南SaintVenant方程

分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式：變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義使3個(gè)位移為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系。證明——協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上要求位移分量單值連續(xù)。目標(biāo)——如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。利用位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量的全微分，則：輪換x,y,z，可得dw，dv和dwy，dwz

如通過積分，計(jì)算出是單值連續(xù)