《三角函數(shù)的應(yīng)用》第1課時(shí)公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)】

《三角函數(shù)的應(yīng)用（第一課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．通過研究?jī)蓚€(gè)理想的物理模型——簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和交流電，了解三角函數(shù)在刻畫周期性現(xiàn)象方面的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力．2．通過問題研究和練習(xí)鞏固，經(jīng)歷分析數(shù)據(jù)、觀察圖形、求解析式等數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用三角函數(shù)刻畫簡(jiǎn)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)．教學(xué)難點(diǎn)：將生活中與周期性現(xiàn)象有關(guān)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備視頻、Geogebra軟件、PPT課件．通過視頻播放彈簧振子的運(yùn)動(dòng)與交流電的變化；利用Geogebra作實(shí)例中的散點(diǎn)圖．教學(xué)過程教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，了解到三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)生活中周期性現(xiàn)象的理想模型，今天這節(jié)課開始，我們來研究三角函數(shù)的應(yīng)用．問題1：你能舉出生活中具有周期性現(xiàn)象的實(shí)例嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過思考和討論之后，舉出一些生活中的實(shí)例，教師進(jìn)行補(bǔ)充．預(yù)設(shè)答案：預(yù)想學(xué)生所舉周期性現(xiàn)象的例子可能包括以下幾方面：（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如表的指針的轉(zhuǎn)動(dòng)，摩天輪等；（2）自然界中的周期性現(xiàn)象。如潮汐變化，日升日落，一天當(dāng)中的氣溫變化等；（圖1）（3）物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象。如鐘擺，彈簧振子運(yùn)動(dòng)，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的交變電流等．（圖1）（二）新知探究模型一：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)播放視頻：彈簧振子的運(yùn)動(dòng)（如圖1）．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：師生共同觀看視頻．設(shè)計(jì)意圖：通過觀看視頻了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理原理，感受簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性變化．問題2：如何利用三角函數(shù)刻畫彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過程？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答．預(yù)設(shè)答案：因?yàn)閺椈烧褡与x開中心位置的位移隨著時(shí)間呈周期性變化，所以可以用彈簧振子離開中心位置的位移與時(shí)間的三角函數(shù)關(guān)系來刻畫彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過程．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用三角函數(shù)刻畫彈簧振子運(yùn)動(dòng)的思考過程．例1某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位s）與位移y（單位mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表1所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．表1表1問題3：畫出散點(diǎn)圖并觀察，位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？（圖2）預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生利用GGB軟件畫出散點(diǎn)圖，分析得出位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律．（圖2）預(yù)設(shè)答案：根據(jù)散點(diǎn)圖（如圖2），分析得出位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用這個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行刻畫．設(shè)計(jì)意圖：畫出散點(diǎn)圖，分析數(shù)據(jù)，建立變量滿足的函數(shù)模型．問題4：由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖，你能說出振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t=0）時(shí)的位移嗎？根據(jù)這些值，你能求出函數(shù)的解析式嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生觀察數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖基礎(chǔ)上回答問題，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式．教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)之后，給出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念．預(yù)設(shè)答案：A=20，T=60s，初始狀態(tài)的位移為-20mm．函數(shù)的解析式為，．教師補(bǔ)充：彈簧振子的這種運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在物理學(xué)中，把物體受到的力（總指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在生活中大量存在，如鐘擺的擺動(dòng)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，琴弦的震動(dòng)，水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)等，其主要特征是物體的位移隨著時(shí)間呈周期性變化，因此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以利用三角函數(shù)刻畫．在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)，來表示，其中A為振幅（物體離開平衡位置的最遠(yuǎn)距離），為周期，為頻率．相位，為初相．設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并得到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)．練習(xí)1：如圖3所示是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解析式．圖3圖3預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生自主解答，教師指導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)．預(yù)設(shè)答案：（1）振幅A＝3，周期T＝4，頻率f＝．（2）設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)抽象的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，讓學(xué)生經(jīng)歷由圖（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象）到數(shù)（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解析式）的思考過程．鞏固利用三角函數(shù)刻畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)．練習(xí)2：如圖4，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一段固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內(nèi)做周期擺動(dòng)．若線長(zhǎng)lcm，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是當(dāng)l=25時(shí)，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001rad）；圖4已知g=9.8m/s2，要使沙漏擺動(dòng)的周期是1s，線的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是多少（精確到0.1cm）？圖4預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生觀看沙漏擺動(dòng)的視頻，自主解決問題，教師指導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)．預(yù)設(shè)答案：（1）最大偏角為0.1203rad．（2）要使沙漏擺動(dòng)的周期是1s，線的長(zhǎng)度l應(yīng)當(dāng)為24.8cm．設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)具體的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的研究過程，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)利用三角函數(shù)刻畫周期性現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，初步了解三角函數(shù)在解決實(shí)際問題方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用．模型二：交變電流播放視頻：交變電流的產(chǎn)生預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：師生共同觀看視頻．設(shè)計(jì)意圖：通過觀看視頻了解交變電流的物理原理，感受交變電流的周期性變化．問題5：如何利用三角函數(shù)刻畫交變電流的周期性變化？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充．預(yù)設(shè)答案：因?yàn)榻蛔冸娏麟S著時(shí)間呈周期性變化，所以可以用交變電流與時(shí)間的三角函數(shù)關(guān)系來刻畫交變電流的周期性變化．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用三角函數(shù)刻畫交變電流的思考過程．例2如圖5（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交變電流i（單位A）隨時(shí)間t（單位s）變化的圖象．將測(cè)得的圖象放大，得到圖5（2）．（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求電流i．圖5（1）圖5（2）圖5（1）圖5（2）問題6：觀察圖象，交變電流i隨時(shí)間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師補(bǔ)充．預(yù)設(shè)答案：由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用來刻畫．教師補(bǔ)充：其中A為振幅，為頻率，為相位，為初相．設(shè)計(jì)意圖：分析圖象，建立變量滿足的函數(shù)模型，給出利用三角函數(shù)刻畫交變電流時(shí)相應(yīng)參數(shù)的意義．問題7：根據(jù)圖象，你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t=0）時(shí)的電流嗎？由這些值，你能進(jìn)一步解決問題（1）、（2）嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生解答．預(yù)設(shè)答案：A=5，T=s，初始狀態(tài)的電流為4.33A．由這些值可求得電流i隨時(shí)間t的變化的解析式是．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷由圖到數(shù)的分析過程，具體求某些具體的電流，了解三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．練習(xí)3：一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時(shí)間之間的關(guān)系如圖6所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位V）關(guān)于時(shí)間t（單位s）的函數(shù)解析式．圖6圖6預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生自主解答，教師引導(dǎo)和點(diǎn)撥．預(yù)設(shè)答案：周期為0.02，頻率為50，電壓的最大值為311V．電壓和時(shí)間的函數(shù)解析式為U＝311sin100πt，t∈[0，+∞)．設(shè)計(jì)意圖：通過研究交流電壓隨時(shí)間變化的問題，進(jìn)一步鞏固利用三角函數(shù)刻畫與交變電流有關(guān)的周期性現(xiàn)象，體會(huì)到一個(gè)周期性現(xiàn)象可以伴隨產(chǎn)生其它周期性現(xiàn)象，感受三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性．（三）歸納小結(jié)問題8：對(duì)于一個(gè)周期性現(xiàn)象，你該如何利用三角函數(shù)來刻畫？你能舉出一些符合三角函數(shù)規(guī)律的實(shí)際模型嗎？在本節(jié)課中，你經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，還有哪些其它方面的收獲？預(yù)設(shè)答案：利用三角函數(shù)刻畫周期性現(xiàn)象，就是要找出這一現(xiàn)象中哪兩個(gè)變量滿足“當(dāng)其中一個(gè)變量增加相同的常數(shù)時(shí)，另一個(gè)變量的值重復(fù)出現(xiàn)”，并求出這兩個(gè)變量之間滿足的三角函數(shù)關(guān)系．物理中的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和交變電流都是理想當(dāng)中的三角函數(shù)模型．在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了由一般到特殊，由抽象到具體學(xué)習(xí)過程，涉及到數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)建模思想．設(shè)計(jì)意圖：在回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)經(jīng)歷，感悟數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上談收獲，進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)．（四）布置作業(yè)教科書習(xí)題．（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式．預(yù)設(shè)答案：（1）振幅是3，周期是4，頻率是；（2）．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生利用三角函數(shù)刻畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)由三角函數(shù)模型的圖象得到函數(shù)解析式．2．彈簧振子以點(diǎn)O為平衡位置在B，C間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B，C相距20cm，某時(shí)刻振子位于點(diǎn)B，經(jīng)0.5s振子首次到達(dá)點(diǎn)C．求：（1）振動(dòng)的周期和頻率；（2）振子在5s內(nèi)通過的路程及此時(shí)位移的大小．預(yù)設(shè)答案：