新教材高考數(shù)學一輪復習考點規(guī)范練23解三角形含解析新人教版

PAGEPAGE7考點規(guī)范練23解三角形一、基礎鞏固1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=2,A=60°,則c等于()A.12 B.1C.3 D.22.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosA=bcosB,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面積S=3,則b等于()A.13 B.4 C.3 D.154.如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A.30° B.45°C.60° D.75°5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,則△ABC的周長為()A.7.5 B.7 C.6 D.56.設△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,則這個三角形的形狀是()A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形7.(2020全國Ⅲ,文11)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則tanB等于(A.5 B.25C.45 D.858.(多選)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,則下列結論正確的是()A.cosC=33 B.sinB=C.a=3 D.S△ABC=29.如圖,為了測量兩山頂D,C間的距離,飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量,在A位置時,觀察點D的俯角為75°,觀察點C的俯角為30°;在B位置時,觀察點D的俯角為45°,觀察點C的俯角為60°,且AB=3km,則C,D之間的距離為km.

10.已知島A南偏西38°方向,距島A3nmile的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10nmile/h的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5h能截住該走私船?參考數(shù)據(jù):二、綜合應用11.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若b2+c2-a2=3bc,且b=3a,則下列關系一定不成立的是()A.a=c B.b=cC.2a=c D.a2+b2=c212.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,A.43 B.23 C.2 D.313.某學校高一同學參加社會實踐活動,應用所學知識測量一個四邊形公園的面積,如圖所示,測得公園的四邊邊長分別為AB=1km,BC=3km,CD=AD=2km,∠A=120°,則公園的面積為km2.當?shù)卣?guī)劃建一條圓形的公路,使得整個公園都在圓形公路的里面,則這條公路的總長度的最小值為km.(備注:把公路看成一條曲線,公路寬度不計)

14.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA(1)若△ABC還同時滿足下列四個條件中的三個:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面積S=103,請指出這三個條件,并說明理由;(2)若a=3,求△ABC周長L的取值范圍.三、探究創(chuàng)新15.(多選)在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對的邊,若3a=2csinA,且0<C<π2,b=4,則下列說法正確的是(A.C=πB.若c=72,則cosB=C.若sinA=2cosBsinC,則△ABC是等邊三角形D.若△ABC的面積是23,則該三角形外接圓的半徑為416.如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2,在下面給出的三個條件中任選一個,補充在上面的問題中,并加以解答.

①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan(∠BAC+π6)=3;③2BCcos∠ACB=2AC-3(1)求∠DAC;(2)求△ADC面積的最大值.

考點規(guī)范練23解三角形1.B由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.2.D∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D.3.A由題意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∵sinB≠0,∴cosB=12.∵B∈(0,π),∴又S=12acsinB=12×1×c×32∵b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12∴b=134.B依題意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD2-C所以從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為45°.5.D∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=6.D∵△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,∴B=π∵sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,∴sin2B=sinAsinC.由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,∴△ABC為等邊三角形.7.C由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=16+9-2×4×3×23=9,即AB=由余弦定理的推論知cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=9+9-162×3×8.AD由A+3C=π,得B=2C.根據(jù)正弦定理bsinB=csinC,得23sinC=3×2sinCcosC,又sinC≠0,故cosC=33.因為C∈(0,π),所以sinC=63由c2=a2+b2-2abcosC,化簡得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.若a=3,則A=C=π4,B=π2,不滿足題意,故a=S△ABC=12absinC=12×19.5在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=∴∠ADB=60°.由正弦定理可得ABsin即3sin60得AD=3sin45°由題意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,則BC=AB=3km,于是AC=3km.在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠DAC=5,即CD=5km.10.解如圖,設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上的一點,緝私艇的速度為xnmile/h,則BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依題意,∠BAC=180°-38°-22°=120°.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,則BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理,得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=53故緝私艇以14nmile/h的速度向正北方向行駛,恰好用0.5h截住該走私船.11.B∵b2+c2-a2=3bc,∴cosA=b∵0°<A<180°,∴A=30°.∵b=3a,∴sinB=3sinA=32,∴B=60°或B=120°當B=60°時,C=90°,此時△ABC為直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;當B=120°時,C=30°,此時△ABC為等腰三角形,得到a=c.故選B.12.A∵在△ABC中,2a-cb=cosCcosB由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.則2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∵sinA≠0,∴cosB=12,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,當且僅當a=c時,取等號,因此,△ABC的面積S=12acsinB=34ac≤4313.23221π3連接BD(圖略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=1+4-2×1×所以cosC=CD2+CB2-BD22CD·CB=4+9-72×2×3=12,則C=60°,則四邊形ABCD的面積等于S△ABD+S△BDC=12由∠A+∠C=180°,得四邊形ABCD存在外接圓,即為△ABD的外接圓.設外接圓半徑為R,則由正弦定理可知BDsinA=7sin120°=2R14.解因為sinA所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A),因為A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=π(1)△ABC還同時滿足條件①③④,理由如下:若△ABC同時滿足條件①②,則由正弦定理,得sinB=bsinAa=537>1,這不可能,所以△ABC不能同時滿足條件因為△ABC的面積S=12bcsinA=12×b×8×3所以b=5,與②矛盾,所以△ABC還同時滿足條件①③④.(2)在△ABC中,由正弦定理,得bsinB=c因為C=2π3-B,所以b=23sinB,c=23sin所以L=a+b+c=23sinB+sin2π3-B+3=6(32sinB+12cos因為B∈0,2π3,所以B+π6∈π6,5π615.AC由正弦定理可將條件3a=2csinA轉化為3sinA=2sinCsinA,因為sinA≠0,所以sinC=32,因為C∈0,π若c=72,則由正弦定理可知csinC=bsinB,則sinB=bcsinC=472×32=4若sinA=2cosBsinC,則根據(jù)正弦定理可得a=2ccosB,因為3a=2csinA,即a=233csinA,即有233csinA=2ccosB,所以sinA=因為A+B=π-C=2π3,則A=2π3-B,所以sin(2π3-B)=3cosB,整理得32cosB+12sinB=3cosB,即12sinB=32cos因為A=B=C=π3,所以△ABC若△ABC的面積是23,即12absinC=23,解得a=2,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+16-2×2×4×12=12,即設△ABC的外接圓半徑是R,由正弦定理可得2R=csinC=16.解若選①:(1)在△ABC中,由正弦定理,得ABsin∵3AB=4BC,sin∠ACB=23,∴sin∠BAC=∵AB⊥AD,則0<∠BAC<π2,∴∠BAC=π∴∠DAC=π(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,則S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤1當且僅當AC=AD時取“=”.故△ADC面積的最大值為3若選②:(1)由tan∠BAC+π6=∵AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4.則S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12當且僅當AC=AD時取“=”.故△ADC面積的最大值為3若選③:(1)已知2BCcos∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理,得2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,則2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-3sin∠ACB,得