五年(2018-2022)全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題13計數(shù)原理(解析版)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題13計數(shù)原理

一、選擇題

1.（2022高考北京卷?第8題）若（2x-l）4=4/+//+。2*24,則4+。2+4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

解析:令x=l,則4+43+42+6+4=1，

令x=-l,則4一%+4+/=（一3）4=81,

1+81

故包+生+ao=0=41，

故選,B.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理、二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2022高考北京卷?第8題

2.（2022新高考全國II卷?第5題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩

端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

解析：因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列

方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空

方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!x2x2=24種不

同的排列方式，

故選：B

【題目欄目】

【題目來源】2022新高考全國II卷?第5題

3.（2020年高考課標(biāo)II卷文科?第3題）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為設(shè)1。＜/＜心12.若

k-/=3且/T=4,則稱aj,為原位大三和弦；若k-/=4且尸=3,則稱?！╝j,以為原位小三和弦.用

這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：k-j=3,j-i=4.

.?"?=1,/=5,攵=8；，=2,/=6,攵=9；2=3,/=7,攵=10；，=4,j=8,Z=ll：i=5,j=9,攵=12.

原位小三和弦滿足：k_j=4,j-i=3.

.?.i=l,j=4?=8；i=2,j=5,k=9；j=3,j=6?=l（）；i=4,./=7,Z=ll；i=5,/=8?=12.

故個數(shù)之和為io.

故選：c.

【點睛】本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【題目欄目】計數(shù)原理'分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用

【題目來源】2020年高考課標(biāo)II卷文科?第3題

4.（2020年新高考全國I卷（山東）?第3題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個

場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同安排方法共有（）

A.120種B.90種

C.60種D.30種

【答案】C

解析：首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有C：；然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法

數(shù)有C；；最后剩下的3名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有C：?C；=6x10=60種.故選：c

【題目欄目】

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第3題

5.（2020年新高考全國卷n數(shù)學(xué)（海南）?第6題）要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能

選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2種B.3種

C.6種D.8種

【答案】C

解析：第一步，將3名學(xué)生分成兩個組，有C；C；=3種分法

第二步，將2組學(xué)生安排到2個村，有g(shù)=2種安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6種，故選：C

【題目欄目】

【題目來源】2020年新高考全國卷n數(shù)學(xué)（海南）?第6題

6.（2020北京高考?第3題）在（五-21的展開式中，X2的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】（五-2『展開式的通項公式為：&|=仁（五廣'（-2）'=（-2）'3?，

令三=2可得：r=l,則』的系數(shù)為：（-2）'C；=（-2）x5=-10.故選：C.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理\二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2020北京高考?第3題

二、多選題

7.（2021年新高考全國II卷?第12題）設(shè)正整數(shù)〃=%?2°+q?2+…+a-?2卜,+4.2*,其中%e{0,1},

記磯"）=%+4+…+4.則（）

A.0（2〃）=<y（〃）B.研2〃+3）=0（〃）+1

C.0（8"+5）=<y（4“+3）D.（y（2"-l）=〃

【答案】ACD

ikk+l

解析：對于A選項，0（〃）=4+4+…+4,2n=a?-2'+o,-2+---+ak_]-2+ak-2,所以，

<y（2〃）=4）+4+…+%.="（〃）,A選項正確；

對于B選項，取”=2,2〃+3=7=l-2°+lN+L22，=。⑺=3,而2=0?2°+12,則。（2）=1,即

O⑺中。⑵+1,B選項錯誤；

14

對于C選項，8fl+5=a。?2，+4?2’+…+%-2*+3+5=1,20+1,2"+</（）-2,+ut-2+???+ak?2"，,

所以，（y（8〃+5）=2+q）+q+…+6，

23t+2123

4/7+3=a0-2+al-2+-2+3=1-20+1-2+a0-2+a,-2+???+,

所以，”（4〃+3）=2+旬+q+…+4,因此，磯8〃+5）=。（4"+3）,C選項正確;

對于D選項，2"—l=2°+2i+~+2'i，故。（2"-1）=〃，D選項正確.

故選ACD.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項式定理的應(yīng)用

【題目來源】2021年新高考全國H卷?第12題

三、填空題

8.（2022新高考全國I卷?第13題）（1—十卜+4展開式中⑶的系數(shù)為

（用數(shù)字

作答）.

【答案】-28

解析：因為,『心+才-分+才,

所以（x+y）8的展開式中含Vy6的項為c*2=-28x2/,

X

1一十j（x+y）'的展開式中。6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2022新高考全國I卷?第13題

432

9.（2021年高考浙江卷?第13題）已知多項式（1-以+（x+l）4=x+a]x+a2x+a3x+a4，則％=

%+%+%=

【答案】（1）.5;（2）.10.

解析：（工-1）3=丁-3d+3工-1,

（x+1）4=f+4x3+6x2+4x+1,

所以4=1+4=5,a,=—3+6=3,

生=3+4=7,4=-1+1=0,所以/+6+44=10故答案為5,10.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式中的系數(shù)和問題

【題目來源】2021年高考浙江卷?第13題

10.（2021高考天津?第11題）在的展開式中，龍6的系數(shù)是.

【答案】160

解析：（2丁+口,的展開式的通項為&]=c（2/廠（3=2b-rC；-x's-4r,

令18-4r=6,解得r=3,所以f的系數(shù)是23。；=160.

故答案：160.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2021高考天津?第11題

1L（2021高考北京?第11題）在（d—L）4的展開式中，常數(shù)項為.

x

【答案】-4

解析：的展開式的通項靠“■G口廣信廣㈠了或…,

令12-4r=0,解得“3，故常數(shù)項為n=（-l）C=T.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2021高考北京?第11題

i345

12.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第12題）設(shè)（1+2x）5=?i+a2x+aix+a4x+a5x+a6x>貝!IOs=

01+02+。3=.

【答案】⑴.80（2）.122

解析：（l+2x）5的通項為=G（2?=2'G/,令，=4,則1=24或/=8（尻4,...4=80；

4+%+%=+23。；+25C5=122

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第12題

13.（2020天津高考?第11題）在的展開式中，f的系數(shù)是

【答案】【答案】io【解析】因為L+4]的展開式的通項公式為

（+1=瑪/=C>2Jx5-3r（r=o,1,2,3,4,5）,令5—3r=2,解得r=l.所以？的系數(shù)為

C；x2=10.故答案為：10.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2020天津高考?第11題

14.（2019年高考浙江文理?第13題）在二項式（a+x）9的展開式中，常數(shù)項是,系數(shù)為有理

數(shù)的項的個數(shù)是.

【答案】【答案】16夜，5

9

［解析】（五+工戶展開式的通項為Tr+i=C；（四）9-V（r=0,1,2,--.,9），當(dāng)/■=0時，可得二項式（a+x）展

開式的常數(shù)項是7；=C：＞（夜）:16夜.若系數(shù)為有理數(shù)，則（9-r）為偶數(shù)即可，故，可取1,3,4,5,7,9,

即豈,式,式工,工o共5項.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項式定理

【題目來源】2019年高考浙江文理?第13題

15.（2019年高考上海?第4題）己知二項式（2x+l）’，則展開式中含/項的系數(shù)為.

【答案】【答案】40

r5rr5r

［解析］7；+l=C5-（2x）--r=C5-25f-x-

令5—r=2,則r=3,一系數(shù)為C;靖=40.

【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2019年高考上海?第4題

16.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第16題）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)

字，一共可以組成個

沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

【答案】1260

解析：解法1：分類討論

四位數(shù)中有數(shù)字0的有=540種，無數(shù)字0的有=720種，

則共可以組成540+720=1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

解法2：正難則反

無限制四位數(shù)有=1440種，其中數(shù)字0在首位的有C；C；A；=180種，則共可以組成

1440-180=1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

【題目欄目】計數(shù)原理\排列問題

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第16題

17.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第14題）二項式（也+」-?的展開式的常數(shù)項是___________.

2x

【答案】7

/8TliY（1Y—8-4r、（1Y

解析："C網(wǎng)（五J=品.匕卜3,令__=04fr=2,v.=*圖=7,

故二項式（狐+1-）8的展開式的常數(shù)項是7.

2x

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理\二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第14題

18.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第3題）在（1+尤）7的二項展開式中，一項的系數(shù)為.

【答案】21

7x6

解析：由得廠=2,所以/項的系數(shù)為C；=2_）=21.

1x2

【題目欄目】計數(shù)原理'二項式定理'二項展開式通項公式的應(yīng)用

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)上海?第3題

四、解答題

19.(2019年高考江蘇?第24題)設(shè)(1+x)"=%++…+?！备?〃口4,〃GN*.已知a；-2a2a4.

⑴求”的值；（2）設(shè)（l+JJ）