黑龍江省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（一）

黑龍江省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（一）

（理科）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題：（每題5分，共60分）

1.拋物線x21y的準線方程是（）

A.y=lB.y=-1C.y-D.y=-

2."sinA§"是"A=30?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也必要條件

3.若直線I的一個方向向量為條（2,5,7）,平面a的一個法向量

為口=（1,1,-1）,則（）

A.\//aB.I±aC.luaD.A、C都有可能

4.已知命題p：。工{0},q：3e{1,2}由它們構(gòu)成"pVq","pAq",

“「p"三個命題中，真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

22

5.雙曲線得---2=1的焦距是（）

m+124-m

A.8B.4C.2&D.與m有關(guān)

6.已知橢圓的兩個焦點是（-4,0）,（4,0）,且過點（0,3）,則

橢圓的標準方程是（）

2222

A.\+r,=lB,工+2_=1

2592516

2222

C.三+y-=10.工+匕1

9251625

7.平面內(nèi)有兩定點A、B及動點P,如果|PA|+|PB|=2a（a為常數(shù)）,

那么P點的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.不能確定

8.已知Fi，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過久且與橢圓長軸垂直的直線交

橢圓于A,B兩點，若4ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心

率是（）

A.匚B.乎C.V2-1D.V2

9.若點0和點F分別為橢圓號+番=1的中心和左焦點，點P為橢圓

上的任意一點，則而?祚的最大值為（）

A.2B.3C.6D.8

10.拋物線y=4xz上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是

（）

A—B—C—D0

16168

11.已知正方體ABCD-AjBigDi，E是棱CD中點，則直線A】E與直

線BCi所成角的余弦值為（）

A.乎B.aC.坐D.0

333

22

12.已知雙曲線^--^-=1，直線I過其左焦點F1，交雙曲線左支于A、

m7

B兩點,且|AB|=4,F2為雙曲線的右焦點,ZSABF2的周長為20,則m

的值為（）

A.8B.9C.16D.20

二、填空題：（每題5分，共20分）

13.橢圓*+。=1的兩焦點為Fi，F(xiàn)2，一直線過h交橢圓于P、Q,

則△PQF2的周長為.

14.準線方程是尸￡的拋物線的標準方程是—.

22

15.已知直線y=-x+1與橢圓當?+G=l(a>b>0)相交于A,B兩點，

ab

且線段AB的中點在直線x-2y=0上，則此橢圓的離心率為—.

16.P為正方體ABCD-A1BC5對角線BD]上的一點,且BPTBD1(入

e(0,1)).下面結(jié)論：

①A]D，C1P；

②若BD」平面PAC,則人斗

③若APAC為鈍角三角形，則入￡(0,1)；

④若入￡(4,1),則APAC為銳角三角形.

其中正確的結(jié)論為—.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

三、解答題：(共70分)

22

17.求雙曲線工工=1的實軸長和虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近

169

線方程.

18.求以雙曲線y2-3x2=12的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓的方程.

19.已知拋物線的焦點在x軸上，且經(jīng)過點P§,-1),

(1)求拋物線的標準方程；

(2)經(jīng)過焦點F且傾斜角是云的直線L與拋物線相交于兩點A和B,

求弦長|AB|.

20.已知p：x2-8x-20>0,q：x2-2x+l-a2>0.若p是q的充分

而不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB_LAD,ZABC=60°,

PA=AB=BC,AD=^AB,E是PC的中點.

證明：PD,平面ABE.

22

22.若Fi，F(xiàn)2分別是橢圓與■+%=1(a>b>0)的左右焦點，p是該橢

ab

圓上的一個動點，且iPFil+lPFjN，1?!?2|=273.

(1)求出這個橢圓方程；

(2)是否存在過定點N(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點A,

B,使水1瓦(其中O為坐標原點)？若存在，求出直線I的斜率k；

若不存在，請說明理由.

參考答案

一、單項選擇題

1.D.2.B3.D.4.B.5.A.6.A.7.D.8.C9.C.

10.B.11.D.12.B.

二、填空題

13.答案為20.

14.答案為x?=2y.

15.答案為：當.

16.答案為：①②④.

三、解答題

22

17.解：雙曲線--匚=1,實軸長2a=8；虛軸長2b=6；

169

c=Va2+b2=V42+32=5，

焦點坐標是(-5,0),(5,0)；

離心率e—

a4

漸近線方程為尸土卷x.

22

18.解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：丫？-3x2=12,變形可得工-21

124

=1,

分析可得其焦點在y軸上，且a2=12,b2=4,

則有c=7a^+b^=4，

即該雙曲線的焦點坐標為（0,±4）,頂點坐標為（0,±2/§）,

又由題意，要求的橢圓以（0,±4）為頂點，（0,±26）為焦點，

則其a〃=i6,c'2=（2匹）2=12,

故b,2=16-12=4,

則要求橢圓的標準方程為:

164

故求以雙曲線y2-3x2=12的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓的方程為

164

19.解：（1）拋物線的焦點在x軸上，經(jīng)過點P（1,-1）,設(shè)拋物線

方程y2=2px,

將P&-1）,代入拋物線方程:l=2pXq,2P=4,

；?拋物線的標準方程y2=4x；

（2）方法一：由（1）可知拋物線的焦點坐標F（1,0）,直線I的斜

率k=l,

設(shè)直線I的方程y=x-l,

yZZjr-1

則，，整理得：得X?-6x+l=0.

、y=4x

設(shè)A（X],y]）,B（X2,Y2），

貝（JXi+X2=6.

AB=x1+x2+p=6+2=8；

4

方法二：由拋物線的焦點弦公式可知：lABljj/b=（亞）2=8,

弦長|AB|長為8.

20.解：p：x<-2或>10,

q：x<l-a或x>l+a

???由P是q的充分而不必要條件，

,,ll+a<10

即0VaW3.

21.證明：tPA，底面ABCD,

APAIAB,PA±CD

又AB_LAD,.,.AB±if|PAD,.\AB±PD；

又設(shè)AD=^AB=^a,AB_LAD,ZABC=60°,

???CD=g亭2-?a?竽a?亭喏a

AAC±CD,ACDl?PAC,ACDlAE.

VPA=AB=BC=AC,E是PC的中點，

AAEIPC,

vcDnpc=c,

.\AE±?PCD,

AAElPD.

VABnAE=A,

.,.PD±ffiABE.

22.解：(1)由已知可得：2a=4,2c=2、瓜

/.a=2,c=?,則b2=a2-c2=l.

2奏

，橢圓方程為￥+y2=l;

(2)存在過定點N(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點A,B,

使水1而,此時k=±2.

由題意可知，直線I的斜率存在且不為0,

則直線I的方程為y=kx+2.

y=kx+2

聯(lián)立/,，得(l+4k2)x2+16kx+12=0.

T+y=1

貝4△=(16k)2-48(l+4k2)=64k2-48＞0,得k＜等或k＞容.

再設(shè)A(X],Y、),B(X2,丫2)，

貝！JX]+x2=X