人教A版選修1-1數(shù)學第3章教案

第三章導數(shù)及其應用

§3.1.1變化率問題

【教學目標】

1.理解平均變化率的概念；

2.了解平均變化率的幾何意義；

3.會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率

【教學重點】平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率；

【教學難點】平均變化率的概念.

【教學過程】

創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了

微枳分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關(guān)：

1、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等；

2、求曲線的切線；

3、求已知函數(shù)的最大值與最小值；

4、求長度、面積、體積和重心等。

導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的

工具。導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.

二.新課講授

（一）問題提出

問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加

越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢？

V（r）=-^-3

氣球的體積V（單位:L）與半徑r（單位:dm）之間的函數(shù)關(guān)系是3

9）=秒

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么V4%

9）=卜

分析：萬，

當V從0增加到1時,氣球半徑增加了“1）一「（°）=°-62（如）Ah

-一"°）=。.62（加〃）八

氣球的平均膨脹率為i—oI

當V從1增加到2時，氣球半徑增加了"2）一尸⑴=0.16（加）I

"0.16（cbn/L）-J----------------?

氣球的平均膨脹率為"一'）

可以看一山，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

?匕）一，（匕）

思考：當空氣容量從V,增加到v2時,氣球的平均膨脹率是多少？七一匕

問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系

h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速v度粗略地描述其運動狀態(tài)？

思考計算：0<?<°.5和1</<2的平均速度v

v=—―-———=4.05（m/s）

在°W/W0.5這段時間里，0.5-0；

-/z（2）-/?（l）er,,、

v=-------------=-8.2（加/s）

在<2這段時間里，2-1

0<,<竺

探究：計算運動員在49這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

/?（—）=〃（0）

探究過程：如圖是函數(shù)h（t）=-4.9t，6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，49,

_久布）-力（0）

V=-T7---------=0。/?

--00<t<—

所以49，雖然運動員在49這段時間里的平均速度為0（"〃?），但實

際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).

（二）平均變化率概念：

/區(qū)）一-（七）

1.上述問題中的變化率可用式子與一為表示，稱為函數(shù)f（x）從右到X2的平均變化率

2.若設(shè)以=與一X],Ay=/（x2）-/（xt）（這里Ar看作是對于xi的一個“增量”可用心+?代替

△y_/5）--a）=/（/+—）一-區(qū)）

X%同樣可用△）'+/（*）代替/（》2））則平均變化率為AxX2-X\底

（說明Ax是一個整體符號，而不是△與x相乘）

【定義理解】

1、平均變化率是用來刻畫變量變化快慢的量。

2、式子中AX,Ay的值可正、可負，AX的值不能為0,Ay的值可以為0.

求函數(shù)的平均變化率的步驟：

⑴求函數(shù)的變化量公)，：/。?)

(2)計算函數(shù)平均變化率：竺=」也)7("

思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象Ax々一花

A/,_/(x2)-/(xi)

平均變化率以X2-%1表示什么？

-直線AB的斜率

?備選例題?

例1、已知函數(shù)y=/(%)=—+1,貝I」在％=2,Ax=0.1時，Ay的值為()

A、0.403、0.41C、0.43Z）、0.44

例2、已知函數(shù),)=72+乂的圖象上的一.點4(—1,-2)及臨近.點例—1+―,-2+小，)，則

包=

Ax.

解：-2+-1+原y+(—1+Ax),

”_-(-1+Ax)2+(1+詞2__加.

.?.AxAx

四.課堂練習

1.質(zhì)點運動規(guī)律為5=產(chǎn)+3,則在時間(3,3+Af)中相應的平均速度為

五.回顧總結(jié)

1.平均變化率的概念

2.函數(shù)在某點處附近的平均變化率

六.布置作業(yè)

1、本節(jié)配套練習

2、過曲線j,dxAxS上兩點P(l,1)和。(1+Ax,l+△》)作曲線的割線，求出當Ax=0.1時割線的斜率.

七.教后記

§3.1.2導數(shù)的概念

【教學目標】

1.了解導數(shù)形成的背景、思想和方法；正確理解導數(shù)的定義、幾何意義；

2.使學生在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率，建立導數(shù)的概念；掌握用導數(shù)的定義求導數(shù)的?

般方法

3.在教師指導下，讓學生積極主動地探索導數(shù)概念的形成過程，鍛煉運用分析、抽象、歸納、總結(jié)

形成數(shù)學概念的能力，體會數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。

【教學重點和難點】導數(shù)的概念是本節(jié)的重點和難點

【教學方法】講授啟發(fā)，自學演練。

【授課類型】：新授課.

【課時安排】：1課時.

【教具】：多媒體、實物投影儀.

【教學過程】

?、復習提問（導數(shù)定義的引入）

1.什么叫瞬時速度？（非勻速直線運動的物體在某一時刻t。的速度）

2.怎樣求非勻速直線運動在某一時刻t。的速度？

在高臺跳水運動中，如果我們知道運動員相對于水面的高度〃（單位：〃？）與起跳后的時間,（單位:

$）存在關(guān)系力（/）=-4.9〃+6.5f+10,那么我們就會計算任意一段的平均速度L通過平均速度丫來

描述其運動狀態(tài)，但用平均速度不一定能反映運動員在某一時刻的瞬時速度，那么如何求運動員的瞬

時速度呢？問題：2秒時的瞬時速度是多少？

二、新課

我們現(xiàn)在會算任意一段的平均速度，先來觀察一下2秒附近的情況。先計算2秒之前的時間段內(nèi)的

平均速度L請同學們完成表格1左邊部分，（事先準備好的），再完成表格的右邊部分〉

表格1

△￡V。時，在［2+△￡,2］這段時間內(nèi)&C>0時，在［2.2+4］這段時間內(nèi)

典（2）—%（2+A2）_4.9A/2+13.1A/-_力（2+AQ-典（2）_-4.9A/2-13.1AZ

2—（2+Az）—（2+△￡）—2△上

=Y.94-13.1=-4.9A/-13.1

當AEn-OOl時，△￡=-13.051,.當&=0.01時，=-13.051；?

當△工=一0.001時，△/=-13.0951；當△￡=0.001時，=-13.0951?,

當△￡=-0.001時，△/=-13.09951,當△2=0.001時，=-13.09951,?

當△￡=-0.0001時，=-13.099951?當△￡=0.0001時，△/=-13.099951?

表格25;

當△￡=-0.00001時，Az=-13.099951；.當△￡=0.00001時，Az=-13.099951;,

................-

&<0時，在［2+&，2］這段時間內(nèi)4>0時,在0,2+4］這段時間內(nèi)

一_/乂2）-力（2+4）_4.942+13.1加〃（2+加）―〃（2）-4.9加2一13.14

2-（2+Az）-Ar'（2+Ar）-2△t

=-4.9△一13.1=—4.9加一13.1

當加=一0.01時，v=-13.051；當加=0.01時，v=-13.149；

當4=-0.001時，v=-13.0951；當4=0.001時，v：=~13.1049；

當=-0.0001時，丫=一13.09951；當A=0.0001時，v=-13.10049；

當朋二一。。。。01時，v=-1.3.099951；當4=0.00001時，v=-13.100049；

當△'=—（）.000001時，丫=-13.0999951；當&=0.000001時,v=-13.1000049；

問題：1你能描述一下你算得的這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律嗎？（表格2）

關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對嗎？

2.當加趨近于。時，即無論f從小于2的一邊，還是f從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近

于一個確定的值T3.1加/$。

靠近-13.1且比T3.1大的任何一個數(shù)都可以是某?段12+4,2］上的平均速度；

靠近-13.1且比-13.1小的任何一個數(shù)都可以是某一段12,2+△力上的平均速度；

-13.1表示在2秒附近，運動員的速度大約是T3.1m2。

分析：'=2秒時有一個確定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬時速度，所以比

-13.1大的數(shù)作為2秒的瞬時速度不合理，比-13.1小的數(shù)作為2秒的瞬時速度也不合理，因此，運動

員在2秒時的瞬時速度是T3.1m/s。

這樣，我們就得到了2秒時的瞬時速度是T3.1機/$,現(xiàn)在我們一起回憶?下是如何得到的：首先，

,2+加）_//⑵

算出［2,2+上的平均速度2=—4.94—13.1,接著觀察當4趨近于。時，上式趨近

于一個確定的值T3.1,這個值就是運動員在2秒時的瞬時速度。為了表述方便，我們用

lim碓+△‘）_6⑵=_13.1_

A-。4表示“當￡=2,4趨近于0時，平均速度u趨近于確定值-13.1”。

思考：當加趨近于0時，平均速度-有什么樣的變化趨勢?

結(jié)論：當&趨近于0時，即無論,從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度丫都

趨近于一個確定的值一131.

從物理的角度看，時間叢4間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員

在32時的瞬時速度是一13.1加/5

Hm必絲*=-13]-

為了表述方便，我們用Z表示“當f=2,加趨近于0時，平均速度v趨

近于定值73.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡

到瞬時速度的精確值。

3.函數(shù)y=/(x)在x=/處的瞬時變化率如何表示？導數(shù)的定義(板書)

1加笠=

函數(shù)＞=/⑺在》=/處的瞬時變化率是—lim

AY

我們稱它為函數(shù))'=/(x)在x=x。處的導數(shù)，記作/(X。)或

limA/=lim/(x0+Ar)-/(x0)

即/(XO)=ADAX&T。AX。例如：2秒時的瞬時速度可以表示為，⑵=T3」或

n=2=-i3.iO

附注：①導數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=xO處的瞬時變化率；②定義的變化形式：

lim.=lim"①?八=以止加電~

f(x)=A-0(Ax)Ar-?oAx.f(%)=(Ax)IX0x-XQ.

lim/(，%-加-)-/(X。)

=

/'(x)_-Ax—>0—A,.x,—XQ當AXTO時，XT/,所以

/'(x0)=lim/(x)-/(x。)_

x-x。③求函數(shù)y=〃x)在*=x。處的導數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。

三、典例分析

例1.(1)求函數(shù)y=3x?在x=l處的導數(shù).

竺=6+Axlim^=6

分析：先求Af=Ay=f(1+Ax)-f(1)=6Ax+(Ax)；再求取再求“iAx

3x2-3123(x2-I2)

/|t^lim—~—=lim^~~^=lim3(x+l)=6

解：法-(略)；法二：zx—l—x-1—

(2)求函數(shù)f(x)=-/+x在x=-l附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù).

解：包=-(-1+川2+(-1+3-2=33

ArAx

八r△)'-(-1+Ax)24-(-1+Ax)-2「八八\2

f(-1)=lim—=-----------------------=lim(3-Ar)=3

&T0AxAxQto

例2.(課本例1)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如

果第地時，原油的溫度(單位：°C)為/(X)=X2-7X+15(0WX<8),計算第2人時和第6〃時，

原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

解：在第2力時和第6力時，原油溫度的瞬時變化率就是/‘(2)和/(6)

A/_/(2+Ax)-/(x0)

根據(jù)導數(shù)定義，故―

(2+Ar)2-7(2+Ar)+15-(22-7x2+15),_…、A/'八八、

=-------——-------------------------=At-3/(2)=hm—=lim(Ar-3)=-3

Ar所以心一。Ar凝一。.同

理可得：/'(6)=5在第2/z時和第6/1時，原油溫度的瞬時變化率分別為-3和5,說明在2〃附近，原

油溫度大約以3的速率下降，在第6力附近，原油溫度大約以5的速率上升.

注：一般地，/(/)反映了原油溫度在時刻入。附近的變化情況.

17世紀，力學、航海、天文等方面取得了突飛猛進的發(fā)展，這些發(fā)展對數(shù)學提出了新的要求，它們突

出地表現(xiàn)為四類問題，其中的兩類問題直接導致了導數(shù)的產(chǎn)生：一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)

求速度和加速度；二是求已知曲線的切線。

由導數(shù)的定義，我們知道，高度力關(guān)于時間/的導數(shù)是運動員的瞬時速度；氣球半徑，關(guān)于體積V的

導數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率。

實際上，導數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，如效率、點密度、國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的增長率等等。

下面我們來看一個導數(shù)的應用。

四、課堂練習

1.質(zhì)點運動規(guī)律為s=『+3,求質(zhì)點在1=3的瞬時速度為.2,求曲線y=f(x)=x3在》=1時的導數(shù).

3.例2中，計算第3〃時和第5〃時;原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

五、小結(jié)

1.導數(shù)的產(chǎn)生是由于17世紀力學、天文學等的飛速發(fā)展，對數(shù)學提出的要求，主要是兩類問題：一

是根據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度和加速度；二是求已知曲線的切線;

1.△于_1./（x+Ax）-/（x）

r'/\0lim——li0m------------------

2.導數(shù)就是瞬時變化率；3.導數(shù)的計算公式：JH。上以7?！狝r

4.求函數(shù)）'=/（》）在“=無。處的導數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”

六、布置作業(yè)

配套資料本節(jié)練習

七、教后記

§3.1.3導數(shù)的幾何意義

【教學目標】

知識與技能目標：

（1）使學生掌握函數(shù)/（X）在X=X。處的導數(shù)/（X。）的幾何意義就是函數(shù)/（X）的圖像在

_f1（X。）=lim幾+8）一"/）

“一"。處的切線的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：4t°?=切線的斜率

（2）會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“以直代曲”的數(shù)學思想方法。

過程與方法目標：通過讓學生在動手實踐中探索、觀察、反思、討論、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，

從而達到培養(yǎng)學生的學習能力，思維能力，應用能力和創(chuàng)新能力的目的。

【教學方法】采用計算機（Flash,Powerpoint）,實物投影等多媒體手段，增大教學容量與直觀性，

有效提高教學效率和教學質(zhì)量。

【教學重點與難點】

重點：導數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法。

難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義

【教學過程】

（-）作業(yè)點評，承上啟下：

問題:在高臺跳水運動中，/秒C）時運動員相對于水面的高度是//（f）=-4.9〃+6.5/+10（單位：m）,

求運動員在f=Is時的瞬時速度，并解釋此時的運動狀態(tài)；在"05s時呢？

教師點評作業(yè)的優(yōu)點及不足；由學生甲解釋?=Is,f=05s時運動員的運動狀態(tài)。

（說明：實例引入，承上啟下，有效鋪墊，直接過渡）

（-）課題引入，類比探討：

山導數(shù)的物理意義是瞬時速度，我們知道了導數(shù)的本質(zhì)。

?問（一）：導數(shù)的本質(zhì)是什么？寫出它的表達式。

學生活動：在“學生動手實踐”中，學生寫出：

導數(shù)/（/）的本質(zhì)是函數(shù)/（X）在x=處的瞬時變化率，即：

,（%）=1沁"々廿）二"囹）

加—oAr

（說明：教師不能代替學生的思維活動，學生將大腦中已有的經(jīng)驗、認識轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號，有利于學

生思維能力的有效提高，為學生“發(fā)現(xiàn)”，感知導數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)）

?問（二）：導數(shù)的本質(zhì)僅是從代數(shù)（數(shù)）的角度來詮釋導數(shù)，若從圖形（形）的角度來探究導數(shù)的

兒何意義，應從哪兒入手呢？

教師引導學生：數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要結(jié)合“數(shù)”：即：導數(shù)的代數(shù)表

達式，并回憶求導數(shù)/（X。）的步驟。

?問（三）求導數(shù)/（X。）的步驟有哪幾步？（教師引導學生回答：

第一步：求平均變化率/（/+&）―/（/）；第二步：當Av趨近于0時，平均變化率

Ax

/（%+Ax）-/（Xo）

X無限趨近于的常數(shù)就是/（/）。（回歸本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合）

教師進一步引導學生：這是從“數(shù)”的角度來求導數(shù)，若從“形”的角度探索導數(shù)的兒何意義，類比

地，也可以分兩個步驟：

?問（四）：第一步：平均變化率小土世二世」的幾何意義是什么？請在函數(shù)圖像中畫出來；

垃

/（X。+Ax）-—-0）

學生動手活動：見“學生動手實踐”。由學生乙回答：平均變化率顯的幾何意義是

割線AB的斜率。A（x°,/（/））,BQ+Ar,/（x0+-））。教師提醒學生A、B兩點的坐標必須寫清楚。

?問（五）：第二步：△X-?0時，割線AB有什么變化？請畫出來。

學生動手活動：見“學生動手實踐”。

教師展示學生作品，引導學生觀察：類比數(shù)的變化：Ax-?°,

8（XO+AXJ（XO+AI））TA（x0j（xo））,當Ax-0,割線45有一個無限趨近的確定位置，這個

確定位置上的直線叫做曲線在工=%處的切線，請把它畫出來。

學生動手活動：見“學生動手實踐”。

教師展示學生作品，引導學生發(fā)現(xiàn)，并說出：（形）Ax-?0,割線487切線40,

則割線A3的斜率—切線AO的斜率由數(shù)形結(jié)合，得“7。Ax=切線

AO的斜率所以，函數(shù)/“）在”=/處的導數(shù)/（*。）的幾何意義就是函數(shù)/*）的圖像在"=/處

的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合）。

（說明：動手實踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學生經(jīng)歷探究“導數(shù)的幾何意義”的過程以獲得理智和情感體驗,

建構(gòu)“導數(shù)及其幾何意義”的知識結(jié)構(gòu)，準確理解“導數(shù)的兒何意義”，掌握“數(shù)形結(jié)合，類比探討”

的數(shù)學思想方法。）

動畫演示，總結(jié)歸納

1.演示Flash動畫，將同學們畫圖、思考、數(shù)形結(jié)合

的過程展示出來。

2.教師提問：此處切線定義與以前學過的切線定義

有什么不同？展示Powerpoint動畫。

初中平面幾何中，圓的切線的的定義：直線和

圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切。這時，直

線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點。

圓是一種特殊的曲線。這種定義并不適用于一

般曲線的切線。例如上圖中，直線人雖然與曲線有

惟一的公共點，但我們不能認為它與曲線相切；而

另一條直線4雖然與曲線有不只一個公共點，我們

還是認為它是曲線的切線。因此，以上圓的切線定

義并不適用于一般的曲線。

通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直

線定義為切線（交點可能不惟一），適用于各種曲

3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點P附近，曲線/（X）可以用在點P處的切線近似代替，這是微積分中重

要的思想方法——以直代曲（以簡單的對象刻畫復雜的對象）。（動畫演示：通過信息技術(shù)將函數(shù)曲

線某?點附近的圖象放大得到一個近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數(shù)

函數(shù)曲線就一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，

即“以直代曲”）

教師引導學生看書，理解，在課堂教學中緊密結(jié)合教材。

（說明：適時、有效地采用計算機等多媒體輔助教學，可以不僅加強學生對“導數(shù)的幾何意義”形象、

直觀地理解，還能將學生的動手實踐（感知體驗）與抽象思維（深層內(nèi)化）有效結(jié)合，增強學生的思

維能力訓練，提高教學效率和教學質(zhì)量。）

（四）訓練鞏固、加強理解：

1.在函數(shù)"（'）=一4.9〃+6.5，+1°的圖像上，⑴用圖形來體現(xiàn)導數(shù)=-33,*（0.5）=1.6

的幾何意義，并用數(shù)學語言表述出來。（2）請描述、比較曲線"（'）在小附近增（減）以及增（減）

快慢的情況。在‘3/4附近呢？

（說明：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（討論、描述運動員的運動狀態(tài)），體會利

用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）

2.如圖表示人體血管中的藥物濃度c=/?）（單位："喏/"也）隨時間,（單位：min）變化的函數(shù)

圖像,根據(jù)圖像,估計）=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表

格的形式列出。（精確到0.1）

（說明：要求學生動腦（審題），動手（畫切線），動口（說出如何估計切線斜率），進一步體會利

用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，歸納小結(jié)：

1.抽象概括：山練習2抽象概括出導函數(shù)（簡稱導數(shù)）的概念：

/（/）是確定的數(shù)（靜態(tài)），/（X）是》的函數(shù)（動態(tài)）

,（x0）=lim/（/+&）-/So）

由&一°X（特殊------般）

-------?/"（x）=lim/（x+?）/（x）（靜態(tài)—動態(tài)）

（說明：體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領(lǐng)會從特殊到?般的辯證思想

2.歸納小結(jié):

由學生進行開放式小結(jié)：

（1）函數(shù)/（X）在x=%。處的導數(shù)廣（與）的幾何意義就是函數(shù)/（X）的圖像在

'處的切線AD的斜率。（數(shù)形結(jié)合），即：

z

/（x0）=limJ'。+—）一”/）

Ax=切線A。的斜率

（2）利用導數(shù)的兒何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結(jié)合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）導函數(shù)（簡稱“導數(shù)”）的概念。"旬X

（六）作業(yè)布置，分層要求：

配套資料本節(jié)練習

（七）教后記

§3.1.3導數(shù)的兒何意義(2)

【教學目標】

知識與技能：通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題。

過程與方法：讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想；培養(yǎng)學生運用類比、聯(lián)想等方法提出問題.

情感態(tài)度與價值觀：通過具體的情境感知導數(shù)的幾何意義；體會數(shù)學的簡潔美，培養(yǎng)學生的審美情趣,

形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度.

【教學重點與難點】

【重點】用導數(shù)的幾何意義解題

【難點】用導數(shù)的幾何意義解題

【教學過程】

一、復習引入

導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率，

八)=lim/(/+.)-/(/):女

即&T。Ax

說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①求出P點的坐標；

f(xQ)=lim/(%+加-=卜

②求出函數(shù)在點/處的變化率加一°X,

得到曲線在點(/，/(/))的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.

二、探究新知

1、導函數(shù)：

由函數(shù)f(x)在x=x。處求導數(shù)的過程可以看到，當時，了‘(X。)是一個確定的數(shù)，那么，當x變化時，便是

x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：/(X)或了，

r(x)=y=iim/(x+Ax)~/(x)

即：X注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù).

2、函數(shù)A*）在點/處的導數(shù)/‘（X。）、導函數(shù)/‘（X）、導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

1）函數(shù)在一點處的導數(shù)/‘（/）,就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一

個常數(shù)，不是變數(shù)。

2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f（x）的導函數(shù)

3）函數(shù)“X）在點/處的導數(shù)/（/）就是導函數(shù)/'（%）在*=/處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點不處

的導數(shù)的方法之一。

三、典例分析

例1:⑴求曲線y=f（x）=x、l在點P（l,2）處的切線方程.

（2）求函數(shù)y=3x?在點（L3）處的切線方程.

..［（1+Ar）2+1］-（12+1）..2Ax+Ar2）

y|.=hm---------------------=lim---------=2

解：（］）一Axm一。Ax,

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為＞一2=2（》-1）即2*-＞，二°

.3r2-3123fx2-I2）

y|t=l=lim--------=lim-.......=lim3（x+1）=6

（2）因為X-lx-lx-iXT

所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為5-3=6（尤-1）即6"-卜一3=°

四、課堂練習

1.求曲線y=f（x）=Y在點（ID處的切線方程。

2.求曲線在點（牝2）處的切線方程。

五、回顧總結(jié)

1.曲線的切線及切線的斜率；

2.導數(shù)的幾何意義

六、布置作業(yè)

Pso3、4題

七、教后記

§3.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)

【教學目標】

1.能夠用導數(shù)的定義求幾個常用函數(shù)的導數(shù)；

2.利用公式解決簡單的問題。

【教學重點和難點】

1.重點：推導幾個常用函數(shù)的導數(shù)；

2.難點：推導幾個常用函數(shù)的導數(shù)。

【教學方法】

自己動手用導數(shù)的定義求幾個常用函數(shù)的導數(shù)，感知、理解、記憶。

【教學過程】

一、復習

1、函數(shù)在?點處導數(shù)的定義；

2、導數(shù)的幾何意義；

3、導函數(shù)的定義；

4、求函數(shù)的導數(shù)的步驟。

二、新課

例1.推導下列函數(shù)的導數(shù)

(1)/(x)=c

Ay/(x+Ax)-/(x)c-c_...?

—=----------=---------=0f(x)=lim—=lim0=0

解：AxAc,以句

1.求/。)=%的導數(shù)。

竺J(x+Ar)-/(x)=*0]/?)=1而包=liml=l

解：ArArAr204AD

y=1表示函數(shù)y=x圖象上每一點處的切線的斜率都為1.若卜="表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則

y=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動。

思考：(1).從求y=x,y=2x,y=3x,y=4x的導數(shù)如何來判斷這幾個函數(shù)遞增的快慢？

(2).函數(shù))=近伏*°)增的快慢與什么有關(guān)？

可以看出，當k>0時，導數(shù)越大，遞增越快；當k<0時，導數(shù)越小，遞減越快.

2.求函數(shù)y=/□)=/的導數(shù)。

電=/(X+AY)―/(X)=(x+Axf-l=21+Ay

解：ArArAr,

y'=f\x)=hm^=lim(2x+Ar)=2x

AXTOAXAXTOo

)'=2x表示函數(shù)y=》2圖象上每點小力)處的切線的斜率為2x,說明隨著x的變化，切線的斜率

也在變化：

22

(1)當x<0時，隨著X的增加，>=廠減少得越來越慢；(2,)當x>0時，隨著X的增加，y=x-增

加得越來越快。

、1

y=/(》)=一

3.求函數(shù)X的導數(shù)。

1____1

包_/(x+Ax)_/(x)_春瓦―：_一-*+八0__]

解.AxAxAxx(x+Ax)Arx2+x-Ax

y=f(x)=lim—=lim(——--------)=--

'&T0Ax&T。x~+x/^xx

思考：(1)如何求該曲線在點(1,1)處的切線方程？％=/(1)=-1,所以其切線方程為〉=一"+2。

(2)改為點(3,3),結(jié)果如何？

(3)把這個結(jié)論當做公式多好呀，，既方便，又減少了復雜的運算過程。

三、例題

1.試求函數(shù)了=/(幻=4的導數(shù)。

解：

Ay_/(x+Ar)-/(x)_Vx+Ax-Vx

AxAxAx

_(J.+Ax-Vx)(V%+Ax+Vx)

AX(VX4-AX+y[x)

1

(Jx+Ax+Vx)

y=/(x)=lim—=lim/1——廣

ATTO?&\TOJX+AX+JX

2.已知點P（T,1）,點Q（2,4）是曲線）'=x上的兩點，求與直線PQ平行的曲線的切線方

程。

解：y=2x,設(shè)切點為"（X。,%）,則）'|個=2%

kr4TL1,

因為PQ的斜率2+1'又切線平行于PQ,

即42,切點“弓'/,

所以“=2%=1

所求直線方程為4x-4yT=0。

四、練習

1.如果函數(shù)/（*）=5,則/⑴=（）

A.5B.1C.0D.不存在

2.曲線y=-2/+1在點（0,］）的切線斜率是（）

A.-4B.0C.2D.不存在

5兀

y=-x2（1,-）--71

3.曲線2在點2處切線的傾斜角為（）A.4B.1C.4D.4

答案：1.C2.B3.C

五、小結(jié)

1.記熟幾個常用函數(shù)的導數(shù)結(jié)論，并能熟練使用；

2.在今后的求導運算中，只要不明確要求用定義證明，上述幾個結(jié)論直接使用。

六、作業(yè)

1.P85,A組1

1

y=一

2.求雙曲線x過點的切線方程。

七、教后記

§3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（1）

【教學目標】

知識與技能：理解基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，會使用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)

過程與方法：讓學生掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，體會數(shù)學思想；培養(yǎng)學生運算能力。

情感態(tài)度與價值觀：通過具體的情境感知基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則；培養(yǎng)學生

的審美情趣”形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。

【教學重點與難點】

【重點】會使用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)

【難點】會使用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)

【教學過程】

一、復習引入

幾個常用函數(shù)的導數(shù)結(jié)論

二、探究新知

（一）、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

1.若/(x)=c,則/(x)=0;

2.若〃x)=x"5e。，),則，(x)=x"L

3.若/(x)=sinx,則/'(x)=cosx;

4.若/(x)=cosx,則/'(x)=-sinx;

5.若f(x)=屋，則廣(x)=a'Inx;

6.若/(x)=e*,貝lj/(x)'=

7.若/(x)=log?x,則/(x)'=——;

xIn〃

8.若/(x)=Inx,則/'(x)=—.

x

(二)、講解例題

例1假設(shè)某國家在20年期間的年均通貸膨脹率為5%,物價0(單位：元)與時間,(單位：年)有如下

函數(shù)關(guān)系P")=Po(l+5%)',其中°。為f=°時的物價.假定某種商品的?。=1,那么在第10個年頭，

這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到0.01)?

變式：如果上式中某種商品的0。=5,那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少？

(三)、課堂練習

練習1：P851

練習2：根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式計算下列導數(shù)

,=_Ly=-L

(1)>=x6(2)y=G(3)v/⑷正

(四)、課堂小結(jié)：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

(五)、課后作業(yè)：1、P85習題3.21、2題

2、過曲線,一】上點(1」)且與過這點的切線平行的直線方程是

(六)教后記

§3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則(2)

【教學目標】

知識與技能：記住兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)運算法則，理解導數(shù)運算法則是把一個復雜函數(shù)

求導數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個或多個簡單函數(shù)的求導問題;能通過運算法則求出導數(shù)后解決實際問題.能利用給出

的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)；

過程與方法：讓學生進一步掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，體會數(shù)學思想；培養(yǎng)學生運算能力。

情感態(tài)度與價值觀：通過具體的情境感知基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則；培養(yǎng)學生

的審美情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。

【教學重點與難點】

【重點】基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則

【難點】基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則

【教學過程】

一、復習引入

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

1.若/1(x)=c，貝曠(x)=0;

2.茍(x)=x"(〃eQ*),則f(%)=-；

3.若了(x)=sinx,貝曠(x)=cosx;

4.若y(x)=cosx,則/'(x)=-sinx;

5.^/(x)=優(yōu),貝=axInx;

6.若/(x)=e，，則/(xh/;

7.茍(x)=log,,x,則/(x)'=—;

xma

8.粉(x)=Inx,則廣(x)=-.

x

二、探究新知

(一)、導數(shù)運算法則

1.[/(%)±g(x)]'=/'(X)±g1x)；

2.[/(x)?g(x)]'=/(x)?g〈x)；

7r/(x)]/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

.g(x)」[g(x)]-

（二）、講解例題

例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則,求函數(shù)y=x'一2x+3的導數(shù)

=（X3-2X+3丫=（丁丫—（2爐+（3丫

解：=3X2-2.

二.函數(shù)y=X3-2》+3的導數(shù)是）/=3》2一2.

例3日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1

噸水凈化到純凈度為x%時所需費用（單位：元）為

c（x）=-^-（80<x<100）.

100-x

求凈化到下列純度時，所需凈化費用的瞬時變化率：

（1）90%；（2）98%.

（補例）已知函數(shù)》二.11》.

（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；

（2）這個函數(shù)在點》=1處的切線方程.

（三）、練習：求下列函數(shù)的導數(shù)

⑴y=sinx+3^2—y[x⑵y=(2x+l)(3x+2)

x

(3)y=tanx(4)y=eInx(5)x+1

(四)、課堂小結(jié)：

1、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

2、導數(shù)運算法則

L"(x)±g(x)]=/，(x)±g〈x);

2」/(x)?g(x)]'=/'(x)?g'(x)；

3/(X)=/'(x)g(K)—/(x)g'(x)

[g(x)][g(x)『

(五)、課后作業(yè)：

P85習題3.2A組4、5、6

(六)教后記

§3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

【三維目標】

知識與技能：

1.探索函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

2.會利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

過程與方法：

1.通過本節(jié)的學習，掌握用導數(shù)研究單調(diào)性的方法

2.在探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié)，培養(yǎng)學生的探索精

神，引導學生養(yǎng)成自主學習的學習習慣。

【教學重點難點】

教學重點：探索并應用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間。

教學難點：探索函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系。

【教具】多媒體

【教學方法】問題啟發(fā)式

【教學過程】

一、復習回顧

復習