高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)4函數(shù)-反函數(shù)

第章函課題：2.4反函數(shù)1)教學(xué)目：握反函數(shù)的概念和表示法，會求一個函數(shù)的反函數(shù)教學(xué)重難：函數(shù)的定義和求法教學(xué)過：一、復(fù)習(xí)引入：我們知道，物體作勻速直運動的位移s是間t的數(shù)，即其速度v常量,義域t

值域

；反過來，也可以由位移s和度v（常量）確定物體作勻速直線運動的時間，即

t

s

，這時，位移s是變量，時間t是位移s的定義域s值t綜合，我們由函數(shù)s=vt得了函數(shù)

t

s

不難看出，這對函數(shù)中，兩函數(shù)之間存在著必然的聯(lián)系①們的對應(yīng)法則是互逆的②它們的定義域和值域相即前者的值域是后者定域，而前者的定義域是后者的域我們稱這樣的一對函數(shù)是互為反函數(shù).二、講解新課：反函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)y(A)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表出，得到若對于在C中任何一個值，通過x=，x在A中有唯一的值和它對應(yīng)就表示是變量是變量y的數(shù)的數(shù)(y)C)叫做函數(shù)yf(xA)的函數(shù)，記作f

(y),慣上改寫成f

()開始的例子s=vt記ft)vt，則它的反函數(shù)就可以寫為f

(.探討1所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？為什么？反函數(shù)也是函數(shù)，因為它合函數(shù)的定義，從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)yf()來說不定反函數(shù)如

2

只“一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)，yx

2

x[0,有反函數(shù)是x探討2互為反函數(shù)定義域、值域的關(guān)系從映射的定義可知函yf(x)是義域A到域C的射而它的反函數(shù)yf

()集合到合A映射，因此，函數(shù)yf(的義域正好是它的反函數(shù)f

()

的域函數(shù)yf(的域正好是它的反函數(shù)f

()

的定義域

f[f(x)]=

;f

-1[f(x)]x,x

（如下表函數(shù)

yf()

反函數(shù)

f

()定義域值域

AC

CA探討3f

()的函數(shù)是什么？若函數(shù)y(x)

有反函數(shù)f()

那么函數(shù)f()

的反函就是yf()

這是，函數(shù)yfx)

與f

()

互為反函數(shù)注單函數(shù)一定有反函數(shù)反函數(shù)的函數(shù)不一定有反函數(shù)f(x)在定義域上不單調(diào)，但有函數(shù)?；榉春瘮?shù)的兩個函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性保持一致。三、講解例題：例．下列函數(shù)的反函數(shù)：

x(

2①2

yx)

；②

y

)

；③

y

x

；④

y

2x

(R且x

⑤y1

（1<x<0）總結(jié)：⑴求反函數(shù)的一般驟分三步，一解二換、三注明⑵反函數(shù)的定義域由原來函數(shù)的值域得到，而不能由反函數(shù)的解析式得到⑶求反函數(shù)前先判斷一下決定這個函數(shù)是否有反函數(shù)，即判斷映射是否是一一映射例2.知

f()=x-2x(x<0),

f

(x

說明二函數(shù)在指定區(qū)間上的反函數(shù)可以用求根公式反求x也以用配方法求x但方時必須注意原來函數(shù)的義域。例3.函數(shù)

xx

(x≥，x≠的反函.解：⑴由原函數(shù)變形為y-y

x

x

，即

x

=(y-1)/(y+1)--①∵

x

≥，∴(y-1)/(y+1)≥，得y<-1或≥1,⑵由①兩邊平得x=[(y-1)/(y+1)]⑶∴原函數(shù)的函數(shù)是

f

(x

=[(x-1)/(x+1)]

2

（x<-1或≥說明：原函數(shù)的值域是借于變形中的①式：≥0而到的，對于一個比較復(fù)雜的函數(shù)，求它的值域時要注意題目的現(xiàn)有條件例設(shè)函數(shù)

f()

=

x(x2x

，求它的反函數(shù)說明：求分段函數(shù)的反函，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，再合的值域而得反函數(shù)的定義域，這一點絕不能混例

f(x(0)試求f()

的反函數(shù)

fx)四、練習(xí)：已知函數(shù)

f)2

的反函數(shù)為

yf)，f

1()2

。

第章

函課題：2.4函數(shù)（2）教學(xué)目1掌握反函數(shù)概念的基礎(chǔ)上步會求非單調(diào)函數(shù)在各不同單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)，會利用反函數(shù)解決相關(guān)綜合問題．培養(yǎng)培養(yǎng)觀察分析、抽象概括能力、歸納總結(jié)能力、邏輯推理能力、化歸轉(zhuǎn)化能力；．培養(yǎng)堅忍不拔的意志，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識、善于獨立思考的習(xí)慣，體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證觀點教學(xué)重難：復(fù)雜的函數(shù)的反函數(shù)的求法及其應(yīng)用教學(xué)過：一、復(fù)習(xí)引入：．反函數(shù)的定義；求反函數(shù)的一般步驟分一、二換、三注明互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖關(guān)系：函數(shù)

y()與yf

(x)

的象于線對稱..反函數(shù)的定義域由原函數(shù)值域得到，而不能由反函數(shù)的解析式得到．函數(shù)

y()、y

(x)xf(y)、f

(y)

間的系：y()

與

yf(x)

、

xfy)

與

xf()

互為反函數(shù)；y()

與

x

(y、xf(y

與

yf(x)

為同一函數(shù)二、講解例題：例1.求函數(shù)

yx

（

x

）的反函數(shù)，并畫出原來的函數(shù)它的反函的圖像解：由

yx

解得

3

∴函數(shù)yx()，3它們的圖像為：

的反函數(shù)是

總結(jié)：由反函數(shù)的定義可，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線對。

注：互為反函數(shù)的兩個函如果有交點，則交點或在y＝x上或關(guān)于直線＝x對稱。例已函數(shù)

ax

3x的反函數(shù)是(x∈R,x≠2)，求值.解：⑴由

3x

2y(x≠解出x=，∵原函數(shù)的值域是y≠3,∴

3xx(x≠的反函數(shù)是(x≠∈R).⑵由互為反函的函關(guān)系知，

y

2ax與yxx

是同函，∴a=2,b=1,c=-3.例3.點A(1,2)既函數(shù)

f()

=

ax

的圖象上在

f()

的函的象的.分析：求，要有兩個關(guān)于a,b的程，如何尋求？①A(1,2)

f)

圖象上，這是很容易看出來②如何用它也在

f()

的反函數(shù)的圖象上呢？其一，真求反函數(shù)，再把A(1,2)代入能能不求反函數(shù)？其二A(1,2)反函數(shù)圖象上，則

就在原函數(shù)的圖象上即滿足y=

f)

，應(yīng)滿足y=

f

(x

，反之亦然

解：由A(1,2)在

f)=，則有

--；由在其反函數(shù)圖象上，可知A(2,1)也在函數(shù)

f()圖象上，∴又有

②解聯(lián)立①②的程組得例4.知函數(shù)

yf()

的反函數(shù)為

yf

(x)

，又方程

f()

與

f

(x)的實數(shù)解分別是

，

，求

＋

的值。簡解函

yf()

與

yf)

的圖象關(guān)于直線

對稱且線

y－x

與線垂直。于是直線

y－x

分別與函數(shù)

yf()

與

yf)

的圖的個點A、于直線

對稱，依此有A、兩的橫、縱坐標(biāo)互換，而A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為故A點坐標(biāo)是

且A在線

－

上。

＝－

，即有

＋

＝例5.知

yf()

過

，則

yf(4)

的反函數(shù)

yg()

的象過

A

點求

A

的標(biāo)。例6.

f(x)

axx

(

的圖象與其反函數(shù)

f

()

的圖象經(jīng)－13

fx)的解集。例7.知函數(shù)

f(x)

2x

且函數(shù)

yg()

的圖象與

yf(x

的象于線

對稱，求。三、練習(xí)：求函數(shù)y=