2023屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則等于（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由題意可得：，據(jù)此確定復(fù)數(shù)所在的象限即可.【詳解】由題意可得：，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，各個(gè)象限內(nèi)復(fù)數(shù)的特征等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．已知，則（????）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：C4．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，圓心坐標(biāo)為，由，所以直線的斜率為，因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，所以直線的垂直垂直平分線方程為：，故選：A5．已知直線與平面滿足，則下列判斷一定正確的是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用線面垂直的性質(zhì)證得，再結(jié)合面面垂直的判定定理，證得，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所?故選：D.6．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（????）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．最小正周期為，且作上為增函數(shù)D．的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】C【分析】利用輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性、最小正周期公式、單調(diào)性、奇偶性逐一判斷即可.【詳解】，對(duì)于A，因?yàn)?，所以不是函?shù)圖象的對(duì)稱軸，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的最小正周期為，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)增，所以C正確；把的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，沒有奇偶性，所以D錯(cuò)誤，故選：C7．已知數(shù)列是的無窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“且，”的（????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若為遞增的等比數(shù)列，顯然后面的項(xiàng)都比大，即且，，充分性成立；反過來，若且，，即（為公比），因?yàn)?，所以，所以，從而可得為遞增數(shù)列，必要性成立，所以“為遞增數(shù)列”是“且，”的充分必要條件.故選：C.8．中國(guó)茶文化博大精深．茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．已知室內(nèi)的溫度為，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為．y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為，那么在室溫下，由此估計(jì)，剛泡好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達(dá)到最佳口感（參考數(shù)據(jù)：）（????）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意帶入數(shù)據(jù)，列出等量關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】由題意降至?xí)r口感最佳，即，帶入函數(shù)關(guān)系式即得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，所以.故選：B9．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，若，則p的值為（????）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用拋物線定義結(jié)合已知求出，再借助斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線為：，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，則，又，解得，則拋物線C的方程為：，有，，顯然直線l的斜率存在，所以直線的斜率為.故選：B10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】[方法一]：特殊值法,故選A[方法二]：解析法如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)開________________．【答案】【分析】由題知，再解不等式即可得答案.【詳解】解：要使函數(shù)有意義，則，解得且所以，函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?2．等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，若，則公比?__________．【答案】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)以及等比數(shù)列的通項(xiàng)列方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，可得，因?yàn)?，所以，解得：，故答案為?13．在四棱錐中，面，底面是正方形，，則此四棱錐的外接球的半徑為_______________．【答案】【分析】將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成正方體，求出正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即可得外接球的半徑.【詳解】將四棱錐P-ABCD補(bǔ)成正方體如圖：則此四棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以四棱錐的外接球的直徑為，因此四棱錐的外接球的半徑為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用割補(bǔ)法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.14．函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論①的值域是；②任意且，都有；③任意且，都有；④規(guī)定，其中，則．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．【答案】①②【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)的性質(zhì)、代入法逐一判斷即可；【詳解】①：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，，所以有，所以的值域是，故①正確；②：不妨設(shè)，由，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，由①可知：該函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，符合題意，故②正確；③：當(dāng)任意且時(shí)，令，，，顯然，因此不成立，故③不正確；④：當(dāng)時(shí)，，，，，，于是有，因此，故④不正確，故答案為：①②【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分式型函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、雙空題15．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，且漸近線方程為，則實(shí)數(shù)____________，___________．【答案】????1????##-0.25【分析】根據(jù)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，代入求得m，再根據(jù)其漸近線方程為求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，所以，則，又因?yàn)槠錆u近線方程為，所以，解得，故答案為：1，四、解答題16．在中，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．(1)求；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）若選①：利用正弦定理進(jìn)行求解即可；若選②：利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形面積公式、余弦定理、三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）選①：，因?yàn)?，所以，因此有，因?yàn)?，所以；選②：由，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以有，而，解得：，由余弦定理可知：，所以的周長(zhǎng)為.17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD平面PAD，為等邊三角形，，，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn).(1)求證AE平面PCD；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根據(jù)平面得到，根據(jù)為等邊三角形，得到，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求二面角即可；（3）設(shè)，得到，然后利用空間向量和∥平面列方程，解得即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，∵為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，∵，平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵平面，平面，平面，∴平面平面，，∵為中點(diǎn)，為等邊三角形，∴，，∵平面平面，平面，∴平面，∵，，∴四邊形為平行四邊形，，如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，,∵平面，∴可以作為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.（3），，，，設(shè)，則，∵∥平面，∴，解得，所以在棱上存在點(diǎn)使∥平面，此時(shí).18．某學(xué)校有初中部和高中部?jī)蓚€(gè)學(xué)部，其中初中部有1800名學(xué)生．為了解全校學(xué)生兩個(gè)月以來的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）各分為5組：，得到初中生組的頻率分布直方圖（圖1）和高中生組的頻數(shù)分布表（表1）．表1高中生組分組區(qū)間頻數(shù)21014122(1)求高中部的學(xué)生人數(shù)并估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)；(2)從課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記為3人中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該校高中部抽取10名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有k名學(xué)生的閱讀時(shí)間在的概率為，請(qǐng)直接寫出k為何值時(shí)取得最大值．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)高中部的學(xué)生人數(shù)為人，估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)為人；(2)的分布列見解析，；(3).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，結(jié)合分層抽樣的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典型概率公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）100名學(xué)生中高中生有人，初中生有人，設(shè)高中部的學(xué)生人數(shù)為，則有，設(shè)100名學(xué)生中初中生在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為，則有，100名學(xué)生中高中生在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為人，因此全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)估計(jì)為：；（2）課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本中，初中學(xué)生人數(shù)為人，高中學(xué)生人數(shù)為人，所以，因此有，，，所以的分布列如下：的數(shù)學(xué)期望為；（3）由（1）高中部的學(xué)生人數(shù)為，其中閱讀時(shí)間在的人數(shù)為，所以每個(gè)人被抽到內(nèi)的概率為，因此，假設(shè)為最大項(xiàng)，則有，解得：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最大值.19．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若和有相同的最小值，求a的值．【答案】(1)(2)答案見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論求解即可；（3）結(jié)合（2）得，求得，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究其零點(diǎn)即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，所以，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，增區(qū)間為.（3）解：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，所以，即，令，，令，，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，等價(jià)于20．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，射線分別交橢圓C于點(diǎn)A，B，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)和焦距定義進(jìn)行求解即可；（2）利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為2，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，且，，把代入中，得，所以，于是，，直線的方程為，則有，或，因此，所以；由根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，此時(shí)A，B兩點(diǎn)重合，坐標(biāo)為，所以；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，且時(shí)，設(shè)，由題意可知：，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得，因此有，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得，因此有，顯然有，，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，，由和可知：，因此有，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，于是有所以有?dāng)時(shí)，則，把代入中，得，即所以，綜上所述：為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把證明為定值轉(zhuǎn)化為證明為定值是解題的關(guān)鍵.21．已知項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P；①；②對(duì)任意的、，與至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)．(1)分別判斷數(shù)列、、、和、、、是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等比數(shù)列，求的值．【答案】(1)數(shù)列、、、不具有性質(zhì)，數(shù)列、、、不具有性質(zhì)，理由見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題中定義判斷即可得出結(jié)論；（2）推導(dǎo)出，設(shè)且，分析可知為數(shù)列中的項(xiàng)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得出，可得出，，，，利用累乘法可證得結(jié)論成立；（3）分析可知當(dāng)時(shí)，、、成等比數(shù)列；根據(jù)（1）可知滿足題意；討論當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題中定義以及不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知不成立，從而可得出的值.【詳解】（1）解：對(duì)于數(shù)列、、、，因?yàn)?，，所以，?shù)列、、、不具有性質(zhì)；對(duì)于數(shù)列、、、，當(dāng)時(shí)，，，所以，數(shù)列、、、不具有性質(zhì).（2）證明：因?yàn)椋驗(yàn)?，則