2023屆北京市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市通州區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：B2．等差數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，解得，所以.故選：A3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（????）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為，算出即可.【詳解】由，得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及方程，求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一定要注意將方程標(biāo)準(zhǔn)化，本題是一道基礎(chǔ)題.4．已知向量，滿足，，則等于（????）A． B．13 C． D．29【答案】C【分析】先求得向量，，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，，兩式相加得，所以，所以.故選：C5．設(shè)為正整數(shù)，的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（????）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值3，故選：B6．在中，若，，，則等于（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意由余弦定理直接求得答案.【詳解】在中，若，，,則,即，即，解得，舍去，故選：A7．“”是“”的（????）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)的特征，設(shè)函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，由此判斷“”可推出“”，舉反例說明反推不成立，可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，即為單調(diào)增函數(shù)，則，即得，所以當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，但推不出成立，故“”是“”的充分而不必要條件，故選：A8．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求得圓心的軌跡方程，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】由于半徑為1的圓（設(shè)為圓）經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，到直線距離為，所以圓的圓心到直線距離的最大值為.故選：C9．要制作一個(gè)容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應(yīng)分別為（????）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．由，可得，再利用基本不等式即可得出．【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)．此時(shí)．即當(dāng)，時(shí)取得最小值．故選：C.10．設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為（????）A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1【答案】B【分析】由題設(shè)明確點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，結(jié)合曲線方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.【詳解】由題意知點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，由于點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，最小值為1；又因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，故選：B二、填空題11．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______.【答案】##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】，所以，故答案為：12．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60°，則C的離心率為___________.【答案】2【分析】根據(jù)漸近線得到，得到離心率.【詳解】由題意可知，，離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，屬于簡(jiǎn)單題.13．已知函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則的取值范圍為______.【答案】【分析】分段求出函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的范圍，然后結(jié)合存在最大值即可求解【詳解】當(dāng)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時(shí)；當(dāng)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時(shí)，若函數(shù)存在最大值，則，解得所以的取值范圍為故答案為：14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，為數(shù)列的前項(xiàng)積，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①③④【分析】根據(jù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，即可求得的值；由得，當(dāng)時(shí)，可得，可證明為等差數(shù)列，即可求得，則可求得，則可判斷其他選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得或，又，所以，故，故①正確；因?yàn)椋傻?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當(dāng)時(shí)，，又不符合所以，故②不正確.故答案為：①③④.三、雙空題15．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹，分3組各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝2場(chǎng)及以上者獲勝.若雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，則田忌獲勝的概率為______；若已知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，則田忌獲勝的概率為______.【答案】????????##0.5【分析】列舉出齊王與田忌賽馬的每組馬對(duì)陣的所有情況，即可求出雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序時(shí)田忌獲勝的概率，列舉出田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組時(shí)的對(duì)陣情況，可求得田忌獲勝的概率.【詳解】設(shè)齊王的三匹馬分別記為，田忌的三匹馬分別記為，齊王與田忌賽馬，雙方每組對(duì)陣情況有∶，齊王獲勝；，齊王獲勝；，齊王獲勝；，田忌獲勝；，齊王獲勝；，齊王獲勝,共6種；其中田忌獲勝的只有一種則田忌獲勝的概率為；若已知田忌的上等馬與齊王的中等馬分在一組，此時(shí)情況為和共兩種，時(shí)，齊王獲勝，，田忌獲勝，此時(shí)田忌獲勝的概率為，故答案為：四、解答題16．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1).(2)，.【分析】（1）化簡(jiǎn)的表達(dá)式，根據(jù)最小正周期求得的值；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，可得的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周?依題意得，解得.（2）由（1）知，把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，即，由函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，,令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.17．如圖，在四棱雉中，底面為矩形，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)再從條件①，條件②兩個(gè)中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，,證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）選條件①，由可證,繼而證明平面,推出，結(jié)合,建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用面面角的空間向量求法，即可求得答案；選條件②，根據(jù)，證明，結(jié)合,建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用面面角的空間向量求法，即可求得答案；【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，,因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以有且,因?yàn)?，，所以?所以四邊形為平行四邊形,所以,又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）選擇條件①：因?yàn)槠矫嫫矫?，為矩?,平面平面平面,所以平面,平面,所以,又因?yàn)椋桑?）可知，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平?平面,所以,平面,故平面,以A為原點(diǎn)，以，，分別為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系，則，，，,則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，因?yàn)槠矫妫士勺鳛槠矫娴姆ㄏ蛄?，則平面與平面夾角的余弦值.選擇條件②：.因?yàn)槠矫嫫矫?，為矩?平面平面平面,所以平面,所以,又因?yàn)?，取中點(diǎn)為，連接，，則有，,所以,所以,則,所以,平面,故平面,以A為原點(diǎn)，以，，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，,則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，因?yàn)槠矫?，故可作為平面的法向量，則平面與平面夾角的余弦值.18．為了解兩個(gè)購物平臺(tái)買家的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得A平臺(tái)問卷100份，B平臺(tái)問卷80份.問卷中，對(duì)平臺(tái)的滿意度等級(jí)為：好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：5分、3分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：好評(píng)中評(píng)差評(píng)A平臺(tái)75205B平臺(tái)6488假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且買家對(duì)平臺(tái)的滿意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立.(1)估計(jì)買家對(duì)A平臺(tái)的評(píng)價(jià)不是差評(píng)的概率；(2)從所有在A平臺(tái)購物的買家中隨機(jī)抽取2人，從所有在B平臺(tái)購物的買家中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人中恰有2人給出好評(píng)的概率；(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若購物，選擇哪個(gè)平臺(tái)？說明理由.【答案】(1)(2)(3)選擇A平臺(tái)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)統(tǒng)計(jì)表即可求得答案；（2）計(jì)算出買家對(duì)平臺(tái)好評(píng)的概率，明確這4人中恰有2人給出好評(píng)的情況有哪幾種，根據(jù)互斥事件以及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，可得答案.（3）列出買家對(duì)平臺(tái)的滿意度評(píng)分的分布列，分別計(jì)算均值和方差，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)“買家對(duì)A平臺(tái)的評(píng)價(jià)不是差評(píng)”為事件，則.（2）設(shè)“這4人中恰有2人給出好評(píng)”為事件，由已知數(shù)據(jù)估計(jì)，買家在A平臺(tái)好評(píng)的概率為，買家在平臺(tái)好評(píng)的概率，事件包含：A平臺(tái)2個(gè)好評(píng)，平臺(tái)0個(gè)好評(píng)；A平臺(tái)1個(gè)好評(píng)，平臺(tái)1個(gè)好評(píng)；A平臺(tái)0個(gè)好評(píng)，平臺(tái)2個(gè)好評(píng),故.（3）設(shè)一位買家對(duì)A平臺(tái)的滿意度評(píng)分為，一位買家對(duì)平臺(tái)的滿意度評(píng)分為，可得其分布列如下表：5310.750.20.055310.80.10.1則，，，,從買家對(duì)兩個(gè)平臺(tái)滿意度得分看兩個(gè)平臺(tái)均分相等，但,所以選擇A平臺(tái).19．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)以為直徑的圓過定點(diǎn)，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率列方程組求解即可；（2）設(shè)，由題意可得，，設(shè)定點(diǎn)為，利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以所以求橢圓的方程為.（2）設(shè)，由（1）可知，斜率存在且不為0，依題意可知的直線方程為，的直線方程為，令，可得，，假設(shè)以為直徑的圓過定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為，依題意可知，，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，令，可得，解得，，所以以為直徑的圓過定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】判斷以為直徑的圓過定點(diǎn)時(shí)，常用向量法，根據(jù)向量數(shù)量積為0，代入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)后即可得到結(jié)論.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)函數(shù)存在極小值時(shí)，求證：函數(shù)的極小值一定小于0.【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，即可得切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，確定單調(diào)性，即可得單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，確定函數(shù)極小值點(diǎn)，求極小值即可證明.【詳解】（1）解：當(dāng)，，則，因?yàn)?，所?所以曲線在的切線方程為.（2）解：函數(shù)定義域?yàn)?，令，解得：.①當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，無單調(diào)遞增區(qū)間.②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)和，；當(dāng)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.③當(dāng)即時(shí)，當(dāng)和，；當(dāng)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上所述：時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，無單調(diào)遞增區(qū)間.時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）證明：函數(shù)定義域?yàn)?由題意，函數(shù)存在極小值，則在極小值點(diǎn)有定義，且在該點(diǎn)左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，在該點(diǎn)右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增.由（2）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，即；當(dāng)時(shí)，又，函數(shù)無極小值，所以函數(shù)的極小值一定小于0.21．約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；(3)記，求證：.【答案】(1)8.(2).(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意即可寫出a的一個(gè)值；（2）由題意可知，，，，結(jié)合構(gòu)成等比數(shù)列，可推出是完全平方數(shù)，繼而可得，由此可知為，即可求得a；（3）由題意知，，從而可得，采