2022年高三理科數(shù)學(xué)期末模擬模擬試題3

東莞市2022年高考數(shù)學(xué)模擬試題3(理科)考生注意：本卷共三大題，24小題，滿分150分，時(shí)間120分鐘.不準(zhǔn)使用計(jì)算器.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.\o(z,\s\up4(-))是z的共軛復(fù)數(shù),若z+eq\o(z,\s\up4(-))=3,(z-eq\o(z,\s\up4(-)))=3i(i為虛數(shù)單位),則z的實(shí)部與虛部之和為2．已知樣本M的數(shù)據(jù)如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若將樣本M的數(shù)據(jù)分別加上4后得到樣本N的數(shù)據(jù)，那么兩樣本M，N的數(shù)字特征對應(yīng)相同的是A．平均數(shù) B．眾數(shù)C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．中位數(shù)3．已知函數(shù)，則是 A．奇函數(shù) B． 偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為A． B．C． D．5．設(shè)命題p:若|eq\o(a,\s\up5(→))|=|eq\o(b,\s\up7(→))|=eq\r(2),且eq\o(a,\s\up5(→))與eq\o(b,\s\up7(→))的夾角是eq\f(3π,4),則向量eq\o(b,\s\up7(→))在eq\o(a,\s\up5(→))方向上的投影是1;命題q:“x≥1”是“eq\f(1,x)≤1”的充分不必要條件,下列判斷正確的是∨q是假命題∧q是真命題∨q是真命題D.﹁q為真命題6．已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，若側(cè)視圖的面積為，三棱錐的體積為，則的值為A．B．C．D．17．已知，那么函數(shù)的圖象不可能是ABABCD8．已知函數(shù)將函數(shù)的零點(diǎn)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B．C． D．a(chǎn)n＝2n－29．已知區(qū)域，區(qū)域，在內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是A．B．C． D．10.已知直線ax+by=0與雙曲線eq\f(x2,a2)-\f(y2,b2)=1(0＜a＜b)交于A,B兩點(diǎn),若A(x1,y1),B(x2,y2)滿足|x1-x2|=3eq\r(3),且|AB|=6,則雙曲線的離心率為A.eq\r(3)C.eq\r(2)11.阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一個(gè)未知量(圖形的體積或面積),先將它分成許多微小的量(如面分成線段,體積分成薄片等),再用另一組微小單元來進(jìn)行比較.如圖,已知拋物線y=eq\f(1,4)x2,直線l:x-2y+4=0與拋物線交于A、C兩點(diǎn),弦AC的中點(diǎn)為D,過D作直線平行于拋物線的對稱軸Oy,交拋物線于點(diǎn)B,則拋物線弓形ABCD的面積與△ABC的面積之比是A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)12．若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（），將的值稱為這兩曲線在，間的“異線曲度”，記作．現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①已知曲線，，且，則；②存在兩個(gè)函數(shù)，，其圖像上任意兩點(diǎn)間的“異線曲度”為常數(shù)；③已知拋物線，，若，則；④對于曲線，，當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，則的取值范圍是．其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2C．3 D．4二、填空題:本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置．13．某學(xué)校為調(diào)查高中三年級男生的身高情況，選取了名男生作為樣本，右圖是此次調(diào)查統(tǒng)計(jì)的流程圖，若輸出的結(jié)果是，則身高在以下的頻率為＿＿＿＿＿．14．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15.已知實(shí)數(shù)x、y滿足eq\b\lc\{(\a\al(x+y-3≥0，,x-y+1≤0，,x-2y+6≥0.))且t=ax+by(0≤a＜b)取得最小值1,則2eq\r(a+1)+3eq\r(2b+1)的最大值為______.16．如圖，三條平行直線把平面分成①、②、③、④四個(gè)區(qū)域（不含邊界），且直線到的距離相等．點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且滿足．若所在的區(qū)域?yàn)棰?則的取值范圍是是．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知集合，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素，作為復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的實(shí)部和虛部．（Ⅰ）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率；（Ⅱ）設(shè)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.18．（本小題滿分12分）如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線翻折，得到如圖2所示的幾何體，使得＝．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)若在上存在點(diǎn)，使得，求二面角的余弦值．圖1圖1圖219.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)在以為右焦點(diǎn)的橢圓上，斜率為1的直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)．(Ⅰ)求橢圓的離心率；(Ⅱ)試判斷直線，，的斜率是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，給出證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由．20．（本小題滿分12分）如圖是某種可固定在墻上的廣告金屬支架模型，其中，是的中點(diǎn)，，設(shè)，且．(Ⅰ)若，求的長；(Ⅱ)求的長，并求的最小值；(Ⅲ)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某地對該種金屬支架的需求量與有關(guān)，且需求量的函數(shù)關(guān)系式為（單位：萬件），試探究是否存在某種規(guī)格的金屬支架在當(dāng)?shù)匦枨罅繛榱?？并說明理由．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位后，再向上平移一個(gè)單位，得到函數(shù)象，試證明：當(dāng)時(shí)，．請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題號后的方框涂黑.22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，是圓切線,是切點(diǎn),割線是圓的直徑，交于，，,.（Ⅰ）求線段的長；（Ⅱ）求證：.23．（本小題滿分10分）《選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程》在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若是直線與曲線的內(nèi)部的公共點(diǎn)，求的取值范圍．24．（本小題滿分10分）《選修4-5：不等式選講》已知不等式的解集與不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的值．模擬試題3理科數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題：1—5BCACC6—10DDABD11-12BC二、填空題：13．；14．；15.eq\r(39)16．；三．解答題：17．解：（Ⅰ）從集合中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素，組成復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)有種，其中位于第一象限的點(diǎn)有種，所以所求的概率為.……6分（Ⅱ）,．……7分,，，．251013……11分∴.……12分18．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，∴，又，∴平面，而平面，∴．……5分（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（Ⅰ）知，又，∴平面，∵平面，∴平面⊥平面，過作，則軸，……7分在中，，，可得．故，∵，∴為中點(diǎn)，∴．設(shè)平面的法向量為，則∴即……………9分取，則，又平面的法向量為，………11分則＝＝．故二面角的余弦值為．……12分19．解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.整理得，，即，解得或(舍)，所以離心率.……5分（Ⅱ）直線，，的斜率成等差數(shù)列，證明如下：由(Ⅰ）知，，∴橢圓直線的方程為．代入橢圓方程并整理，得.……6分設(shè)，直線，，的斜率分別為k1，k2，k3，則有.……8分可知的坐標(biāo)為．所以，……11分∴.故直線，，的斜率成等差數(shù)列．……12分20．解法一：（Ⅰ）在中，已知，，，由正弦定理得：，故.……2分當(dāng)時(shí),＝故的長為．……4分（Ⅱ）在中，已知，，，由余弦定理得：……5分……7分因?yàn)?，所以，即，則的最小值為，此時(shí)=1，即.……9分(用其它方法求出的表達(dá)式及最小值酌情給分)（Ⅲ）設(shè)x=6θ,,令,,問題轉(zhuǎn)化為在是否存在的值，使是,……10分①當(dāng)時(shí),|sinx|≤1，必有；②當(dāng)時(shí),，因?yàn)?，所以，從?在恒成立，在區(qū)間遞減，于是綜上，在,恒成立，故不存在某種規(guī)格的金屬支架,在當(dāng)?shù)匦枨罅繛榱?……12分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）設(shè)x=6θ,，令,,問題轉(zhuǎn)化為在是否存在x的值，使得使是,………………10分,令，得,∵,故存在,,使得,易知在單調(diào)遞，在(遞減，在遞增，故在,,∵,注意到,且,∴,．這樣．……………11分綜上：在,恒成立，故不存在某種規(guī)格的金屬支架,在當(dāng)?shù)匦枨罅繛榱悖?2分21．解法一：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. ……3分（Ⅱ）因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，、設(shè)()，只需即可．由，…4分(ⅰ)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．……5分(ⅱ)當(dāng)時(shí)，由，因，所以，①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足條件；②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，當(dāng)時(shí)， ，不滿足條件．……7分(ⅲ)當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．……8分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是． ……9分，∴，當(dāng)時(shí)，…10分∴.令，則.∵，∴.∴，即.……12分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．，∴，當(dāng)時(shí)，，…10分∴設(shè)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立.∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴∴.……12分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．，∴，當(dāng)時(shí)，…10分∴以下用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則.也就是說，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.由①②可得，對，都成立.………………12分22.解：（Ⅰ）因?yàn)槭菆A直徑所以,，………………1分又,，所以，………………2分又可知，所以…………………3分根據(jù)切割線定理得：，…………………4分即……………5分（Ⅱ）過作于，……………6分則，…………………7分從而有，…………………8分又由題意知所以，…………………9分因此，即……