常系數(shù)非齊次線微分方程市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

常系數(shù)非齊次線性微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九節(jié)一、二、第十二章第1頁第1頁二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:依據(jù)解結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解辦法依據(jù)f(x)特殊形式,待定形式,代入原方程比較兩端表示式以擬定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁第2頁一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特性方程根,則取從而得到特解形式為為m次多項(xiàng)式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁第3頁(2)若是特性方程單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特性方程重根,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特性方程k重根時(shí),可設(shè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁第4頁例1.一個(gè)特解.解:本題而特性方程為不是特性方程根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁第5頁例2.

通解.

解:本題特性方程為其根為相應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁第6頁例3.

求解定解問題解:本題特性方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故相應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁第7頁于是所求解為解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁第8頁二、第二步求出下列兩個(gè)方程特解分析思緒:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程特解第四步分析原方程特解特點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁第9頁第一步利用歐拉公式將f(x)變形機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁第10頁第二步求下列兩方程特解

是特性方程k

重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③特解.②③設(shè)則②有特解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁第11頁第三步求原方程特解

利用第二步結(jié)果,依據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項(xiàng)式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁第12頁第四步分析因均為m次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁第13頁小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特性方程

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁第14頁例4.

一個(gè)特解

.解:本題特性方程故設(shè)特解為不是特性方程根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁第15頁例5.

通解.

解:特性方程為其根為相應(yīng)齊次方程通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特性方程單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁第16頁例6.解:(1)特性方程有二重根因此設(shè)非齊次方程特解為(2)特性方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程特解形式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁第17頁例7.求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼逼迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第七節(jié)例1(P294)中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁第18頁當(dāng)干擾力角頻率p

≈固有頻率k時(shí),自由振動(dòng)逼迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁第19頁若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡也許靠近,或使伴隨t增大,逼迫振動(dòng)振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)逼迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振也許引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振也許起有利作用,如收音機(jī)調(diào)頻放大即是利用共振原理.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁第20頁內(nèi)容小結(jié)為特性方程k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特性方程k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁第21頁思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提醒:1.

(填空)

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁第22頁2.

求微分方程通解(其中為實(shí)數(shù)).解:特性方程特性根:相應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁第23頁3.已知二階常微分方程有特解求微分方程通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為相應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回