初中數(shù)學(xué)－二元一次方程組

初中數(shù)學(xué)二元一次方程組二元一次方程組證明：連結(jié)AC，交DM于H，∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，∴∠AMD＝60°又∵AM＝MD，∴△AMD為等邊三角形，∴AM＝AD，∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°，∴CD＝CM，∴AC是DM的垂直平分線，∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC．證明二元一次方程組二元一次方程組超市出售的某種茶壺每只定價(jià)20元，茶杯每只定價(jià)3元．該超市在營銷淡季特規(guī)定一項(xiàng)優(yōu)惠方法，即買一只茶壺贈(zèng)送一只茶杯．某單位花了170元，買回茶壺和茶杯一共38只，問該單位買回的茶壺和茶杯各多少只？這個(gè)問題緊密結(jié)合實(shí)際，即生活中的“買一送一”．首先要聯(lián)系實(shí)際，結(jié)合生活經(jīng)歷去審題；其次要弄清數(shù)量關(guān)系．可以設(shè)該單位買回茶壺x只，則買回茶杯（38-x）只，根據(jù)買茶壺的錢+買茶杯的錢=170元，可得

20x＋3（38－x－x）＝170可以設(shè)該單位買回茶壺x只，買回茶杯y只，根據(jù)①茶壺只數(shù)+茶杯只數(shù)=38只②買茶壺的錢+買茶杯的錢=170元，可得

x＋y＝3820x＋3（y－x）＝170一元一次方程二元一次方程組可以設(shè)該單位買回茶壺x只第一種方法列一元一次方程，20x＋3（38－x－x）＝170，同學(xué)們可以很容易地求得x＝4，從而解決問題．第二種方法，我們列出了二元一次方程組，這是我們還沒有學(xué)過的知識(shí)，怎么解呢？x＋y＝3820x＋3（y－x）＝170x＋y＝3820x＋3（y－x）＝170列一元一次方程時(shí)，設(shè)買回的茶杯（38－x）只；列二元一次方程組時(shí)，設(shè)買回的茶杯y只，同為茶杯數(shù)，因此y應(yīng)該等于(38－x)．即y＝38－x．其實(shí)，方程組中的第一個(gè)方程x＋y＝38經(jīng)過移項(xiàng)后就能得到y(tǒng)＝38－x．既然y＝38－x，那么我們可以考慮把方程組中第二個(gè)方程的y用38－x代替，這樣就有20x＋3（38－x－x）＝170，這就與第一種方法列出的一元一次方程完全相同了，我們就能求解了．至此，我們就把一個(gè)二元一次方程組（未知）轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程（已知）了．列一元一次方程時(shí)解：由①得，y=8－x③將③代入②，得5x+3(8－x)=34解得，x=5把x=5代入③，得y=3．所以原方程組的解為①②二元一次方程組的第一種解法——代入消元法．例題主要步驟是：將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，把二元一次方程組化成了一元一次方程．通過解一元一次方程，便可得到一個(gè)未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對(duì)未知數(shù)的值．即求得了方程組的解．解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉保饕襟E解：由②，得x=13－4y③將③代入①，得2(13－4y)+3y=16－5y=－10y=2將y=2代入③，得x=5所以原方程組的解是①②實(shí)踐練習(xí)1：若方程組的解互為相反數(shù)，求k的值．

x+y=0，則y＝－x解：由題意得y＝－x，代入原方程組，得②①解①得，x＝1，代入②，得

2k－（k＋1）＝10k＝11實(shí)踐練習(xí)2：①②把③代入①，得解得y=3．把y=3代入②，得

x=2．所以方程組的解為解：由②，得③用代入消元法計(jì)算麻煩解下列方程組解：由②得5y=2x+11③把5y當(dāng)做整體將③代入①，得3x+(2x+11)=21解得x=2把x=2代入③，得5y=2×2+11y=3所以原方程的解為①②“整體”代入的解法比第一種解法簡單些解下列方程組解：①+②，得即5x=10，x=2，把x=2代入①中，得

y=3．所以原方程組的解為①②這種解法比前兩種解法都簡單方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反的數(shù)和為零，我們就將方程①和②的左右兩邊分別相加，能消去y，我們就得到一個(gè)含有x的等式，即一元一次方程．使“二元”變?yōu)椤耙辉保?/p>

解下列方程組①②方程①和②中的2x和2x相等，根據(jù)等量減等量差為零，用方程②減去①的左右兩邊，能消去x，我們就得到一個(gè)含有y的等式，即一元一次方程．使“二元”變?yōu)椤耙辉保?/p>

解：由②－①，得8y=－16，

y=－2，把y=－2代入②，得

x=5所以原方程組的解我們?cè)倏匆粋€(gè)方程組我們發(fā)現(xiàn)，方程組中如果一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組．這就是解方程組的第二種解法。

但是，在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不一定二元一次方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反．如，①②那還能不能用加減消元法來求解？①②沒有哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反，但我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對(duì)值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①×3，②×2，便可將①、②的x的系數(shù)化為相同．從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的．解：①×3，得6x+9y=36③②×2，得6x+8y=34④③－④，得y=2．將y=2代入①，得x=3．所以原方程組的解是①×3指的是方程①的每一項(xiàng)都乘以3第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù))，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元．第一步：在所解的方程組中的兩個(gè)方程，如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊分別相減，消去這個(gè)未知數(shù)．(2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”．①②解方程組：解：①×2－②×3，得－11x=33

∴x=－3把x=－3代入①得，y=－4所以原方程組的解為實(shí)踐練習(xí)3：已知方程組的解適合x+y=8，求a的值．

方法一：把方程組的解用含a的代數(shù)式表示出來，再代入x+y=8，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求出a．①×2，得6x+10y=2a+4③②×3，得6x+9y=3a④③－④，得y=4－a，把y=4－a代入②，得2x+3(4－a)=a解得x=2a－6解：所以代入x+y=8，得(2a－6)+(4－a)=8解得a=10實(shí)踐練習(xí)4：方法二；將方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，將新得到的方程與x+y=8組成方程組再用加減消元法，可輕松求得y＝－6、x＝14的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a，便可求出a的值．已知方程組的解適合x+y=8，求a的值．

這種解法綜合體現(xiàn)了“消元”的思想，同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)。二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)．例如……

在直角坐標(biāo)系中描出以x+y=5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，我們很容易發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在一次函數(shù)y=5－x的圖象上．在函數(shù)y=5－x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)一定適合方程x+y=5．綜上可知，以x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=5－x的圖象是相同的．我們?cè)佼嫵鲆淮魏瘮?shù)的圖象．二元一次方程(1)以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上．(2)反過來，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程．例如與二元一次方程和一次函數(shù)的圖象有如下關(guān)系：

在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=5－x和y=2x－1的圖象，并觀察兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)二元一次方程和一次函數(shù)圖象的關(guān)系，我們就能得到一種特殊的解二元一次方程組的方法——用作圖象的方法解方程：

圖象法所以方程組的解是分析：在同一坐標(biāo)中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象．觀察圖象的交點(diǎn)便可得出方程的解．分析：求這兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求方程組的解。①②我們只要用方程②－①，就能消去