轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言 形成運算能力

轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言形成運算能力轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言形成運算能力

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1671-0568〔2022〕19-0010-03

培養(yǎng)學(xué)生運算能力是?全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程規(guī)范〔2022版〕》的明確要求。數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，因此，培養(yǎng)學(xué)生運算能力的過程就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程。運算能力是學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗掌握的根底上形成和開展起來的。培養(yǎng)學(xué)生的運算能力不僅有助于他們理解算理、掌握算法，而且能促進(jìn)他們尋求合理、簡潔的運算途徑解決問題，開展數(shù)學(xué)思維。為了有效培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，教師可以有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言通常包括圖表語言、符號語言和文字語言3種。圖表語言就是包含數(shù)學(xué)信息的圖表，包括圖形語言、圖象語言和表格語言；符號語言就是數(shù)學(xué)通用的精煉語言，包括象形符號語言、縮寫符號語言和約定符號語言；文字語言就是經(jīng)過加工改造的、“數(shù)學(xué)化〞了的自然語言。

現(xiàn)以三位數(shù)除以兩位數(shù)的調(diào)商教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言中培養(yǎng)運算能力。

一、在圖形語言轉(zhuǎn)換文字語言中理解調(diào)商趨勢

圖形語言就是包含各種數(shù)學(xué)信息的圖形，如情境圖、實物圖、幾何圖、統(tǒng)計圖和匯合圖等?！疤K教版〞小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的圖形語言很多，其目的是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在“四舍五入法調(diào)商〞教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生把圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言，就是引導(dǎo)他們分析題意的過程，也是引導(dǎo)他們理解調(diào)商趨勢〔商的調(diào)整動向〕的過程。調(diào)商知識非常抽象，運算過程較為復(fù)雜，是學(xué)生學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)的難點。學(xué)習(xí)新知前，學(xué)生已有兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計算經(jīng)驗：從高位除起，除到哪一位商就寫在那一位上。兩、三位數(shù)除以一位數(shù)中的除數(shù)較小，學(xué)生能輕松通過口算確定商的大小。三位數(shù)除以兩位數(shù)時，除數(shù)較大，除數(shù)再乘一位數(shù)口算有困難；同時，把除數(shù)看作整十?dāng)?shù)以后，初商會偏大或偏小，需要調(diào)整。另外，學(xué)生不理解被除數(shù)不變，除數(shù)和商之間的反比例關(guān)系，感覺無從下手。為了幫忙學(xué)生理解調(diào)商方向，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗在實物操作中獲取操作表象，再把操作過程用圖形語言表示出來，使“物質(zhì)化〞材料“內(nèi)化〞為圖形語言，再總結(jié)變化規(guī)律，開展學(xué)生的抽象邏輯思維。

教學(xué)時，教師創(chuàng)設(shè)了一個與新知有密切聯(lián)系的問題情境：把12塊糖分給課上認(rèn)真聽講的學(xué)生，每人能得到幾塊糖？學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)：如果課堂上只有1個人表現(xiàn)好，就可以得到12塊；如果有2名同學(xué)表現(xiàn)好，每人就得到6塊……為了幫忙學(xué)生進(jìn)一步理解，教師要求學(xué)生畫圖敘述自己的想法〔如圖1〕。創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，引導(dǎo)學(xué)生在動手操作和思維操作中形成圖形語言，使學(xué)生理解總塊數(shù)不變，參與分的人數(shù)和每個人分到的塊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是總塊數(shù)÷參與分的人數(shù)=平均每人分到的塊數(shù)，并且糖的總數(shù)不變時，人數(shù)越多、每人分的塊數(shù)越少，人數(shù)越少、每人分的塊數(shù)越多。在除法算式中就是被除數(shù)不變時，除數(shù)越大商越小，除數(shù)越小商越大。這樣把圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言，學(xué)生能直觀理解除數(shù)和商之間的整體變化規(guī)律，在頭腦中初步形成除數(shù)與商之間變化關(guān)系的表象，為后續(xù)調(diào)商辦法建立自我認(rèn)知、自我調(diào)節(jié)的心理定向，為最終形成運算能力積累相關(guān)的知識經(jīng)驗。

二、在圖形語言轉(zhuǎn)換符號語言中明確調(diào)商對象

圖形語言比擬直觀，有助于學(xué)生理解知識，掌握知識。借助實物圖，可以幫忙學(xué)生理解算理；借助豎式，可以幫忙學(xué)生明確調(diào)商對象〔調(diào)商過程中作為目標(biāo)的事物或數(shù)字〕。計算三位數(shù)除以兩位數(shù)時，學(xué)生需要明確計算過程中每一步算什么、怎么算和為什么這樣算的道理。只有完全理解算理，才能真正具備運算能力。比擬被除數(shù)與除數(shù)乘商的積，當(dāng)被除數(shù)不夠減或余數(shù)大于除數(shù)時，豎式計算就要調(diào)商。如果學(xué)生對這兩種比擬結(jié)果能正確判斷時，就會迅速調(diào)整商的大??；如果被除數(shù)比積小，用積減被除數(shù)或者余數(shù)比除數(shù)大卻繼續(xù)除下去時，表明學(xué)生沒有調(diào)商意識。為了避免學(xué)生產(chǎn)生錯誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確理解豎式圖形結(jié)構(gòu)以及每一步的操作規(guī)那么。

教學(xué)時，教師創(chuàng)設(shè)如下情境：把12塊糖平均分給3個同學(xué)時，不小心依次給每個同學(xué)分了3塊，要求學(xué)生進(jìn)行實物操作或畫圖，并用豎式表示操作過程。

看一看：以問題驅(qū)動察看所畫圖形〔如圖2〕。學(xué)生察看圖形后，教師問學(xué)生對操作后的結(jié)果有什么想法？有的學(xué)生說12塊糖平均分給3人，每人可以分到4塊；現(xiàn)在只分了3塊，還可以每人再分1塊；有的學(xué)生說余下的3塊糖和3人相等、可以繼續(xù)分；有的學(xué)生說余數(shù)等于除數(shù)，可以繼續(xù)分，商從3變成4；有的學(xué)生說余數(shù)要比除數(shù)小，如果余數(shù)和除數(shù)相等就可以繼續(xù)分……

擺一擺：以開放式情境引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，除了平均分后有殘余，還可能會出現(xiàn)什么情況？怎么調(diào)整？問題驅(qū)動學(xué)生翻開思維，有的學(xué)生想到多分的情況，如把12塊糖平均分給3個同學(xué)，一不小心在先分時每人分了5塊，結(jié)果出現(xiàn)第3個同學(xué)不夠分的現(xiàn)象，并用圖表示〔如圖3〕：商大了，被除數(shù)不夠減，出示算式12-15=3〔實際上是15-12=3〕，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、反思，體會錯誤的基本原因，幫忙學(xué)生改過錯誤，強化認(rèn)識，建構(gòu)清晰的表象，得出不夠分〔試商偏大〕的現(xiàn)實問題，為學(xué)生探究三位數(shù)除以二位數(shù)初商偏大要調(diào)商提供依據(jù)。想一想：剛剛平均分物體時，出現(xiàn)了哪些情況？如何進(jìn)行調(diào)整？

學(xué)生從剛才經(jīng)歷的動手操作中獲得“物化〞表象，把這種表象內(nèi)化為智力活動的過程就是把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程，有助于學(xué)生理解試商和調(diào)商的算理。正如加里培林所說的，物質(zhì)化是學(xué)生最易理解和最方便的形式。用圖形語言外化操作形式，并轉(zhuǎn)換為符號語言〔豎式計算〕，就把教材中的程序性知識變成了學(xué)生心里的合理化操作模式，有助于學(xué)生接納與理解新知識。有了符號語言結(jié)構(gòu)的深刻體驗，學(xué)生在頭腦中就能迅速形成解題策略，思維聚焦關(guān)注點更集中，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的運算能力。

三、在符號語言轉(zhuǎn)換符號語言中形成調(diào)商辦法

豎式計算是一種約定符號語言，也是約定俗成的一種除法計算的書寫形式。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情和教學(xué)需要，引導(dǎo)學(xué)生把豎式計算這種符號語言進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，這有助于學(xué)生理解并掌握所學(xué)知識。豎式計算中的調(diào)商辦法是學(xué)生正確計算三位數(shù)除以兩位數(shù)所應(yīng)該遵循的某種方式、途徑和程序，一般用“四舍五入〞法把除數(shù)看作與其接近的整十?dāng)?shù)進(jìn)行試商，再根據(jù)余數(shù)和除數(shù)的大小關(guān)系進(jìn)行調(diào)商：如果余數(shù)比除數(shù)小，商正好；如果余數(shù)比除數(shù)大，表明商偏小要調(diào)大；如果被除數(shù)不夠減，表明商偏大要調(diào)小。教師要及時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)調(diào)商的變化趨勢和調(diào)商中的問題體驗調(diào)商過程并形成表象。

教學(xué)時，教師出示情境圖后提出要求：你遇到了什么問題？怎樣解決？再放手讓學(xué)生獨立計算252÷36。學(xué)生知道把36用五入法估作40，試商為6，用除數(shù)36×6=216，252-216=36，余數(shù)和除數(shù)相等，初商小了要調(diào)大〔把6調(diào)為7〕。但學(xué)生往往因為試商和調(diào)商在一個算式上，涂抹嚴(yán)重，甚至因為涂改不清形成新的計算錯誤。于是，師生商議怎樣解決不涂抹、又能在豎式中正確退商的辦法，最終決定把試商過程用橫式寫出思考過程，得出調(diào)商結(jié)果后，再把確定的商寫在豎式中〔如圖4〕。學(xué)生在理解算理的根底上，明確計算思路，并用符號語言正確、清晰地敘述調(diào)商過程和口算辦法：橫式由開始寫在豎式旁邊移到草稿本上、橫式由原來完整記錄過程演變?yōu)橹挥浄e的大小〔比擬被除數(shù)與積的大小以及確定調(diào)整新商的過程都在學(xué)生頭腦中完成〕，調(diào)商辦法由會調(diào)整變得非常簡化，縮減了思維程序，提高了豎式計算效率。

這樣，學(xué)生由豎式計算中的符號語言轉(zhuǎn)換成橫式計算中的符號語言，再轉(zhuǎn)換為豎式計算中的符號語言，這種轉(zhuǎn)換過程是學(xué)生理解并掌握調(diào)商辦法的過程，也是學(xué)生形成運算能力的過程：學(xué)生在嘗試和交流中借助文字語言內(nèi)化辦法，通過簡縮思維，運算技能在逐漸減少筆算過程、增加口算過程中形成自動化程序，從而掌握正確的豎式計算辦法，初步形成運算能力。

四、在文字語言轉(zhuǎn)換表格語言中形成運算結(jié)構(gòu)

文字語言轉(zhuǎn)換成表格語言，就是把文字語言用表格形式展示出來，幫忙學(xué)生在比擬中發(fā)現(xiàn)規(guī)律或形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生有了清晰調(diào)商的思路后，隨著調(diào)商規(guī)律的不斷內(nèi)化，逐漸形成除法豎式計算的整體程序化結(jié)構(gòu)，并作為圖式結(jié)構(gòu)存在于學(xué)生頭腦中，而這種結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定、越準(zhǔn)確、越靈活，就會形成“技能組塊〞，并且形成嫻熟的運算能力，從而有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)其他新知時迅速產(chǎn)生鏈接，順利實現(xiàn)知識和能力的遷移。

學(xué)生理解三位數(shù)除以兩位數(shù)的程序規(guī)那么、形成“四舍五入法〞調(diào)商的表象后，教師引導(dǎo)他們比擬“四舍法〞調(diào)商和“五入法〞調(diào)商過程中的異同，促進(jìn)學(xué)生自主歸納概括出：用四舍法試商，被除數(shù)不夠減，初商偏大要調(diào)??；用五入法試商，余數(shù)比除數(shù)大，初商偏小要調(diào)大。學(xué)生深刻體驗后，就會在頭腦中產(chǎn)生清晰表象、形成完整的表格〔如表1〕。學(xué)生完整建構(gòu)四舍