2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.2.下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)方差為（）A.1 B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.7.國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買方案（）A5 B.4 C.3 D.28.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.59.如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國(guó)糧食總產(chǎn)量?jī)|斤，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．13.已知菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是________．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．18.如圖，在中，，，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最大值是________．19.矩形中，，，將沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則長(zhǎng)為________．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．24.為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計(jì)圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有多少人？25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．27.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購(gòu)買甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），的面積為S．（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．黑龍江省龍東地區(qū)2024年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式，運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則求出各選項(xiàng)的結(jié)果后再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；B、，故選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；C、，此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D、，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤，此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2.下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意．故選：B．3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖的知識(shí)，主視圖是由4個(gè)小正方形組成，而左視圖是由4個(gè)小正方形組成，故這個(gè)幾何體的底層最少有3個(gè)小正方體，第2層最少有1個(gè)小正方體．【詳解】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個(gè)幾何體的底層最少有1+1+1=3個(gè)小正方體，第二層最少有1個(gè)小正方體，因此組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有3+1=4個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，意在考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案．4.一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了方差的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是方差的計(jì)算公式的識(shí)記．根據(jù)方差的計(jì)算公式，先算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】平均數(shù)為：方差為：故選：D．5.關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．6.已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，，整理得，，當(dāng)時(shí)，方程無解，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時(shí)，或．故選：A．7.國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買方案（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)購(gòu)買支筆記本，個(gè)碳素筆，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，再結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出購(gòu)買方案的個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買支筆記本，個(gè)碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數(shù)，或或或，共有4種不同的購(gòu)買方案．故選：B．8.如圖，雙曲線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，證明，有，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，，進(jìn)而有，，可得，，則有，問題隨之得解．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，垂足為F，設(shè)，，∵軸，，∴軸，，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．9.如圖，菱形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，垂足為，交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線與交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長(zhǎng)，由解三角形即可求出，．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形中，與互相垂直平分，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故選：C．10.如圖，在正方形中，點(diǎn)H在邊上（不與點(diǎn)A、D重合），，交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②點(diǎn)G是的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，則；④；⑤若，則，其中正確的結(jié)論是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】連接，可得，垂直平分，先證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，即可判斷①；根據(jù)垂直平分，結(jié)合互余可證明，即有，則可判斷②正確；證明，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得，再證明，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即求出，同理可證明，可得，即可得，進(jìn)而可判斷③．【詳解】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴，，∴，故①正確，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，故②正確，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤錯(cuò)誤，如圖，③若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，設(shè)，即，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識(shí)，證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國(guó)糧食總產(chǎn)量是億斤，將億用科學(xué)記數(shù)法表示為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】?jī)|，億故答案為：12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，且，解得，，故答案為：．13.已知菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加條件_________________可使菱形成為正方形．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，依據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形，可添加：；根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的條件為：或．14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的結(jié)果有12種，∴選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的概率為：，故答案為：．15.關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，這3個(gè)整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．16.如圖，內(nèi)接于，是直徑，若，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵內(nèi)接于，是直徑，∴，∵,，∴∴，故答案為：．17.若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù)．【詳解】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，可得解得：，，解得，側(cè)面展開圖的圓心角是．故答案為：．18.如圖，在中，，，，，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出取最大值時(shí)B、P、M三點(diǎn)的位置關(guān)系．取的中點(diǎn)M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當(dāng)在下方時(shí)，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點(diǎn)，∴．如圖，當(dāng)在下方時(shí)，如果B、P、M三點(diǎn)共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．19.矩形中，，，將沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線于點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則長(zhǎng)為________．【答案】或或10【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，先根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出即可．【詳解】解：①點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖1，∵在矩形中，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴∴∴，∴∴；②點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線上，如圖2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；③點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線延長(zhǎng)線上，如圖3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴∴；綜上所述：則長(zhǎng)為或或10．故答案為：或或10．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，在正方形內(nèi)部緊靠正方形的邊（方向?yàn)椋┳鰺o滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第二次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；第三次滾動(dòng)后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，的坐標(biāo)是；如此下去，……，則的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動(dòng)方式，依次求出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：正方形頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，,是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，等邊三角形高為，由題知，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；繼續(xù)滾動(dòng)有，的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；的坐標(biāo)是；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以，，，，12個(gè)為一組，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)一樣為，故答案為：．三、解答題（滿分60分）21.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及特殊三角函數(shù)值，先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用特殊三角函數(shù)值進(jìn)行代值求解即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)原式．22.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）【答案】（1）作圖見解析，（2）作圖見解析，（3）【解析】【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對(duì)稱和扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)、以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）先求出，再由旋轉(zhuǎn)角等于，利用弧長(zhǎng)公式即可求出．【小問1詳解】解：如圖，為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，【小問2詳解】如圖，為所求；，【小問3詳解】，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．23.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中，．（1）求拋物線的解析式．（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的面積最大值是【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：（1）將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出b，c的值即可；（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，根據(jù)可得二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】解：將，代入得，解得：【小問2詳解】解：對(duì)于，令則解得，，∴，∴∵，∴，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，如圖，設(shè)，且點(diǎn)P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為24.為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績(jī)，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合下圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A3BmC20D14E5（1）頻數(shù)分布表中，扇形統(tǒng)計(jì)圖中．（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在組別．（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C（3）估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有228人【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)表、中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體，（1）用A組的頻數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)減去其它組的人數(shù)，即可求得B組的人數(shù)，用C組的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的求法，即可求解；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生人數(shù)所占，即可求解．【小問1詳解】解：被抽取的學(xué)生數(shù)為：(人)故（人），，即，故答案為：，；【小問2詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，，，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)都在C組，故本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)落在C組，答案為：C；【小問3詳解】解：（人）答：該校立定跳遠(yuǎn)成績(jī)合格的男生有人．25.甲、乙兩貨車分別從相距的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是，乙貨車的速度是；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．【答案】（1）30，40（2）的函數(shù)解析式是（3）經(jīng)過1.5h或或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運(yùn)用，認(rèn)真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)圖象表示的意義是解題關(guān)鍵．（1）由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為，所用時(shí)間為，乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)后返回，所用時(shí)間為，根據(jù)速度=距離÷時(shí)間即可得；（2）甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，由圖象結(jié)合已知條件可知和點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出y與x的關(guān)系式即可得答案；（3）分兩車到達(dá)配貨站之前和乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地后、甲貨車卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案．【小問1詳解】解：由圖象可知甲貨車到達(dá)配貨站路程為105km，所用時(shí)間為3.5h，所以甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是（）∴乙貨車到達(dá)配貨站路程為，到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，總路程為240km，總時(shí)間是6h，∴乙貨車速度，故答案為：30；40【小問2詳解】甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，由圖象可知和點(diǎn)設(shè)∴解得：，∴甲貨車距A地的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式【小問3詳解】設(shè)甲貨車出發(fā)，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，①兩車到達(dá)配貨站之前：，解得：,②乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)開始返回，甲貨車未到達(dá)配貨站：，解得：，③甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時(shí)：，解得：，答：經(jīng)過或或甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26.已知是等腰三角形，，，在的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，探究如下：由，可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則且，連接，易證，可得，在中，，則有．（2）當(dāng)時(shí)，如圖②：當(dāng)時(shí)，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．【答案】圖②的結(jié)論是：；圖③的結(jié)論是：；證明見解析【解析】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，構(gòu)造全等三角形，得出，，再證明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得結(jié)論；選③方法同②【詳解】解：圖②的結(jié)論是：證明：∵∴是等邊三角形，∴，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得圖③的結(jié)論是：證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在外作，在上截取，連接，過點(diǎn)Q作，垂足為H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購(gòu)買甲、乙兩種品牌毽子．已知購(gòu)買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購(gòu)買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購(gòu)買甲乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購(gòu)買毽子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）購(gòu)買一個(gè)甲種品牌毽子需15元，購(gòu)買一個(gè)乙種品牌毽子需10元（2）共有3種購(gòu)買方案（3）學(xué)校購(gòu)買甲種品牌毽子60個(gè)，購(gòu)買乙種品牌毽子10個(gè)，商家獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是340元【解析】【分析】本