《常微分方程》教學(xué)大綱

《常微分方程》課程教學(xué)大綱一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，68學(xué)時，4學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生正確理解微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法，具有一定的解題能力，為學(xué)習(xí)本學(xué)科的近代內(nèi)容和后繼課程打下基礎(chǔ)，同時使學(xué)生認(rèn)識到微分方程在解決實際問題的重要性，以及數(shù)學(xué)來源于實踐，又服務(wù)于實踐，從而有助于樹立辨證唯物主義觀點。實施本大綱請注意：１.貫徹理論聯(lián)系實際的原則，力求反映微分方程的實際背景及其應(yīng)用，各章安排適當(dāng)?shù)膽?yīng)用例題。２.要抓住基本內(nèi)容，重點放在系統(tǒng)地介紹線性方程(組)的基本理論與主要方法上。３.注意通過典型例題的介紹，使學(xué)生理解與掌握基本概念領(lǐng)會基本理論的作用與意義。４.注意基本技能的訓(xùn)練，安排一定數(shù)量的練習(xí)題，以及難度適宜的證明題。５.加強與有關(guān)課程的聯(lián)系與配合，通過對數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、普通物理等課程中已學(xué)得的知識的應(yīng)用，使學(xué)習(xí)得到鞏固和深化。６.適當(dāng)注意內(nèi)容現(xiàn)代化，如列入有關(guān)穩(wěn)定性理論的基本概念和問題，講授微分方程組的理論時，要注意多用矩陣工具。三、與其它課程的聯(lián)系本課程的先修課是數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)等課程。數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)為本課程打下基礎(chǔ)；后續(xù)課程，如數(shù)學(xué)模型、控制論、偏微分方程數(shù)等課程為其提供應(yīng)用和發(fā)展。故本課程應(yīng)安排在第三學(xué)期講授。四、課程的基本內(nèi)容、重點及難點(一)緒論內(nèi)容：某些物理過程的數(shù)學(xué)模型?；靖拍睿?常微分方程和偏微分方程，線性和非線性，通解和特解，解和隱式解，積分曲線和方向場。)基本要求：要求掌握微分方程的一些物理背景和方程的建立問題，正確理解微分方程的最基本的概念。重點與難點：教學(xué)重點為基本概念；教學(xué)難點是積分曲線和方向場。(二)一階微分方程的初等解法內(nèi)容：分離方程與變量變換；線性方程與常數(shù)變易法；恰當(dāng)方程與積分因子；一階隱方程與參數(shù)表示。基本要求：掌握五種類型的方程的初等解法；理解和掌握變量分離方程和恰當(dāng)方程的聯(lián)系，對其它類型的方程要求掌握借助變量變換或積分因子化為變量分離方程或恰當(dāng)方程。重點與難點：教學(xué)重點為解一階微分方程的幾個直接方法；教學(xué)難點是恰當(dāng)方程與積分因子,一階隱方程與參數(shù)表示。(三)一階微分方程的解的存在定理內(nèi)容：解的存在唯一性定理與逐步逼近法;解的延拓;解對初值的連續(xù)性和可微性定理?；疽螅菏炀毢驼莆沼弥鸫伪平ㄗC明解的存在唯一性定理；熟練掌握用逐次逼近法求方程的近似解和誤差的估計；掌握解的一般性質(zhì)。重點與難點：教學(xué)重點為Picard逼近方法，解的延拓、連續(xù)性和可微性、唯一性和奇性；教學(xué)難點是解的存在唯一性定理的證明。(四)高階方程(講授12學(xué)時，習(xí)題2課學(xué)時)內(nèi)容：線性微分方程的一般理論;常系數(shù)線性方程的解法;高階方程的降階和冪級數(shù)的解法?；疽螅赫_理解線性方程的基本理論；熟練掌握求常系數(shù)齊線性方程的基本解組的特征根法，常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，一般非線性方程的常數(shù)變易法，求一般二階齊線性方程特解的冪級數(shù)解法和高階方程可降階的一些方程類型的解法。重點與難點：教學(xué)重點為齊次和非齊次方程解之間的關(guān)系，解的結(jié)構(gòu)和形式，求解方法；教學(xué)難點是求常系數(shù)非齊線性方程的特解的待定系數(shù)法，求一般非線性方程的常數(shù)變易法。(五)線性微分方程組(講授16學(xué)時，習(xí)題課2學(xué)時)內(nèi)容：存在唯一性定理;線性微分方程組的一般理論;常系數(shù)線性微分方程組;利用首次積分求解常微分方程?；疽螅豪斫饩€性方程組解的存在唯一性定理；熟悉和掌握逐步逼近法；熟悉向量與矩陣的表述方法；正確理解線性方程組的一般理論熟練掌握常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法和應(yīng)用常數(shù)變易公式求非齊次線性方程組的解法；掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系；熟練掌握利用首次積分求解常微分方程。重點與難點：教學(xué)重點為基解矩陣，Picard逼近方法，求解公式，級數(shù)解；教學(xué)難點是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣的求法;利用首次積分求解常微分方程。(六)非線性微分方程和穩(wěn)定性（講授12學(xué)時，習(xí)題2課學(xué)時）內(nèi)容：本章介紹相平面；介紹按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性;李雅普諾夫第二方法；周期解和極限圈；二次型V函數(shù)的構(gòu)造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性?；疽螅赫莆辗€(wěn)定性理論要求掌握特殊或一般的非線性徽分方程組的解的穩(wěn)定性態(tài)，包括局部或全局的穩(wěn)定性。重點與難點：教學(xué)重點為線性和非線性的本質(zhì)區(qū)別，穩(wěn)定性的基本概念和方法；教學(xué)難點是周期解和極限圈；二次型V函數(shù)的構(gòu)造與控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。五、學(xué)時分配表章節(jié)主要內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配備注講授實驗討論習(xí)題課外其它小計一緒論4116二一階微分方程的初等解法82212三一階微分方程解的存在定理82212四高階方程102214五線性微分方程組82212六非線性微分方程和穩(wěn)定性82212合計46111168六、考核方式筆試(閉卷)各教學(xué)環(huán)節(jié)占總分的比例:作業(yè)及平時測驗:30%,期末考試:70%七、建議教材和教學(xué)參考書1.《常微分方程》第三版王高雄等編人民教育出