（課標通用）2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例10.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例學(xué)案理

PAGE1-§10.3變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例考綱展示?1.會作兩個相關(guān)變量的散點圖，會利用散點圖認識變量之間的相關(guān)關(guān)系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸系數(shù)公式建立線性回歸方程．3．了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的根本思想、方法及其簡單應(yīng)用．4．了解回歸分析的根本思想、方法及其簡單應(yīng)用．考點1變量間的相關(guān)關(guān)系1.常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是________；與函數(shù)關(guān)系不同，________是一種非確定性關(guān)系．答案：相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系2．從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為________，點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為________．答案：正相關(guān)負相關(guān)對回歸系數(shù)的理解：解釋變量；預(yù)報變量．某工廠工人月工資y(元)依勞動產(chǎn)值x(萬元)變化的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝900x＋600，以下判斷正確的選項是__________．①勞動產(chǎn)值為10000元時，工資為500元；②勞動產(chǎn)值提高10000元時，工資提高1500元；③勞動產(chǎn)值提高10000元時，工資提高900元；④勞動產(chǎn)值為10000元時，工資為900元．答案：③解析：回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的意義為：解釋變量每增加1個單位，預(yù)報變量平均增加b個單位.[典題1](1)以下四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系的是()ABCD[答案]D[解析]觀察散點圖可知，只有D選項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關(guān)關(guān)系．(2)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]D[解析]由回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))知，當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＞0時，y與x正相關(guān)，當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＜0時，y與x負相關(guān)，∴①④一定錯誤．[點石成金]相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點圖，假設(shè)散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關(guān)性，假設(shè)呈曲線型也是有相關(guān)性，假設(shè)呈圖形區(qū)域且分布較亂那么不具備相關(guān)性．考點2線性回歸分析1.回歸分析對具有________的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析．其根本步驟是：(ⅰ)畫散點圖；(ⅱ)求________；(ⅲ)用回歸直線方程作預(yù)報．答案：相關(guān)關(guān)系回歸直線方程2．回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在________附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．答案：一條直線3．回歸直線方程的求法——最小二乘法設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的一組觀察值為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，那么回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的系數(shù)為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)，))其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，y＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點的________．答案：eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)中心4．相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時，說明兩個變量________；當(dāng)r＜0時，說明兩個變量________．r的絕對值越接近于1，說明兩個變量的線性相關(guān)性________．r的絕對值越接近于0，說明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性．答案：正相關(guān)負相關(guān)越強[教材習(xí)題改編]回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為(4,5)，那么回歸直線方程為__________．答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08解析：設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋eq\o(a,\s\up6(^))，因為回歸直線必過樣本點的中心(x，y)，將點(4,5)代入回歸直線方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝0.08，所以所求方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.變量的相關(guān)關(guān)系：散點圖；回歸直線過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)有如下幾組樣本數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5據(jù)相關(guān)性檢驗，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7，那么當(dāng)產(chǎn)量x＝10噸時，估計相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為__________噸標準煤．答案：7.35解析：先求得eq\x\to(x)＝4.5，eq\x\to(y)＝3.5，由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝0.35，所以回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.當(dāng)x＝10噸時，eq\o(y,\s\up6(^))＝7＋0.35＝7.35(噸標準煤)．[典題2](1)x，y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么eq\o(a,\s\up6(^))＝()x0134y2.24.34.86.7A.3.25 C．2.2 D．0[答案]B[解析]由得eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝4.5，因為回歸方程經(jīng)過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝4.5－0.95×2＝2.6.(2)由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25.①求所支出的維修費y對使用年限x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；②(ⅰ)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；(ⅱ)當(dāng)使用年限為8年時，試估計支出的維修費是多少．附：在線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，其中eq\x\to(x)，eq\x\to(y)為樣本平均值．[解]①∵eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝5，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112－5×4×5,90－5×42)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.2×4＝0.2.∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.②(ⅰ)由①知，eq\o(b,\s\up6(^))＝1.2>0，∴變量x與y之間是正相關(guān)．(ⅱ)由①知，當(dāng)x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝9.8，即使用年限為8年時，支出維修費約是9.8萬元．[點石成金]1.正確理解計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．2．回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．3．在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，假設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么可通過線性回歸方程來估計和預(yù)測.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是局部統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20222022202220222022需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的回歸直線方程預(yù)測該地2022年的糧食需求量．解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來配回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2010－4－2024需求量－257－21－1101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得，eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.2.由上述計算結(jié)果知，所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))－257＝eq\o(b,\s\up6(^))(x－2010)＋eq\o(a,\s\up6(^))＝6.5(x－2010)＋3.2，即eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×(x－2010)＋260.2.(2)利用(1)中所求回歸直線方程，可預(yù)測2022年的糧食需求量為6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸)．考點3獨立性檢驗1.分類變量：變量的不同“值〞表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．2．列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)(其中n＝________為樣本容量)，那么利用獨立性檢驗判斷表來判斷“X與Y的關(guān)系〞．答案：a＋b＋c＋d(1)[教材習(xí)題改編]為調(diào)查中學(xué)生的近視情況，測得某校150名男生中有80名近視，140名女生中有70名近視．在檢驗這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時，最有說服力的方法是________．(填序號)①回歸分析；②期望與方差；③獨立性檢驗；④概率．答案：③解析：“近視〞與“性別〞是兩個分類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)該用獨立性檢驗來判斷．(2)[教材習(xí)題改編]在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得出“吸煙與患肺癌有關(guān)〞的結(jié)論，并且有99%以上的把握認為這個結(jié)論是成立的，有以下四種說法：①100個吸煙者中至少有99人患有肺癌；②1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌；③在100個吸煙者中一定有患肺癌的人；④在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有．其中正確說法的序號是________．答案：④對獨立性檢驗的理解：K2的計算；對P(K2≥k0)的解釋．[2022·湖南張家界模擬]某高校教“統(tǒng)計初步〞課程的教師隨機調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.因為k>3.841，所以判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為________．附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828答案：5%解析：∵k>3.841，查臨界值表，得P(K2≥3.841)＝0.05，故這種判斷出錯的可能性為5%.[典題3](1)為了判斷高中三年級學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到2×2列聯(lián)表：理科文科總計男131023女72027總計203050P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，那么認為選修文理科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為________．[答案]5%[解析]由K2≈4.844＞3.841.故認為選修文理科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為5%.(2)[2022·江西九江模擬]某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計本校高三年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生的成績分為6組，得到如下所示的頻數(shù)分布表.分數(shù)段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男39181569女64510132①估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān)；②規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分)，請你根據(jù)條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)〞.優(yōu)分非優(yōu)分總計男生女生總計100附表及公式：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解]①eq\x\to(x)男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，eq\x\to(x)女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)．②由頻數(shù)分布表可知，在抽取的100名學(xué)生中，“男生組〞中的優(yōu)分有15人，“女生組〞中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計男生154560女生152540總計3070100可得K2＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)≈1.79，因為1.79<2.706，所以沒有90%以上的把握認為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)〞．[點石成金]1.獨立性檢驗的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并計算出K2的值．2．弄清判斷兩變量有關(guān)的把握性與犯錯誤概率的關(guān)系，根據(jù)題目要求作出正確的答復(fù).[2022·廣西玉林、貴港聯(lián)考]某市地鐵即將于2022年6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下；月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]贊成定價者人數(shù)123534認為價格偏高者人數(shù)4812521(1)假設(shè)以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價者〞與“認為價格偏高者〞的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保存2位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異〞.月收入低于55百元的人數(shù)月收入不低于55百元的人數(shù)總計認為價格偏高者贊成定價者總計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.050.01k03.8416.635解：(1)“贊成定價者〞的月平均收入為eq\x\to(x)1＝eq\f(20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4,1＋2＋3＋5＋3＋4)≈50.56.“認為價格偏高者〞的月平均收入為eq\x\to(x)2＝eq\f(20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1,4＋8＋12＋5＋2＋1)＝38.75，∴“贊成定價者〞與“認為價格偏高者〞的月平均收入的差距是eq\x\to(x)1－eq\x\to(x)2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：月收入低于55百元的人數(shù)月收入不低于55百元的人數(shù)總計認為價格偏高者29332贊成定價者11718總計401050K2＝eq\f(50×7×29－3×112,10×40×18×32)≈6.27<6.635，∴沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異〞.[方法技巧]1.求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，由于eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的計算量大，計算時應(yīng)仔細謹慎，分層進行，防止因計算而產(chǎn)生錯誤．(注意線性回歸方程中一次項系數(shù)為eq\o(b,\s\up6(^))，常數(shù)項為eq\o(a,\s\up6(^))，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同．)2．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程．[易錯防范]1.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否那么，求出的線性回歸方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進行預(yù)報，僅是一個預(yù)報值，而不是真實發(fā)生的值．2．獨立性檢驗中統(tǒng)計量K2的觀測值k的計算公式很復(fù)雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時出錯，而導(dǎo)致整個計算結(jié)果出錯．真題演練集訓(xùn)1．[2022·福建卷]為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元答案：B解析：由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴當(dāng)x＝15時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．2．[2022·新課標全國卷Ⅲ]以下圖是我國2022年至2022年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1－7分別對應(yīng)年份2022－2022.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2022年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解：(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)，得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2022年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2022年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．3．[2022·新課標全國卷Ⅰ]某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,)eq\r(xi).(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．(3)這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v)),\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2))，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解：(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y)),\a\vs4\al(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2))＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大．4．[2022·新課標全國卷Ⅱ]某地區(qū)2022年至2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2022202220222022202220222022年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2022年至2022年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解：(1)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\x\to(t)＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))t＝4.3－0.5×4＝2.3.所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2022年至2022年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2022年的年份代號t＝9代入(1)中的回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×9＋2.3＝6.8，故預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元．課外拓展閱讀