2023屆高考數(shù)學(xué)二輪精講三角與向量第5講平面向量的概念和線性運(yùn)算

/06/6/第5講平面向量的概念和線性運(yùn)算知識(shí)與方法本專題主要內(nèi)容是向量的基本概念及線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)、向量共線定理及其在證明三點(diǎn)共線中的應(yīng)用.1.向量的有關(guān)概念(1)向量的定義、模及表示法.(2)兩個(gè)特殊的向量:零向量、單位向量.(3)平行(共線)向量:方向相同或相反的非零向量(零向量和任一向量平行).(4)相等(反)向量:長(zhǎng)度相等且方向相同(反)的向量.2.向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法三角形法則(圖1):.平行四邊形法則(圖2):.(2)向量的減法三角形法則(圖3):.(3)向量的數(shù)乘定義:一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作,長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下.(1).(2)當(dāng)時(shí),與方向相同;當(dāng)時(shí),與方向相反;當(dāng)時(shí),.3.共線向量定理及其應(yīng)用定理:向量與共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使得.應(yīng)用:如圖4,若三點(diǎn)共線4.如圖5,在四邊形中,.(1)四邊形是平行四邊形.(2)且四邊形是菱形.(3)四邊形是矩形.(4)平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì):.典型例題【例1】(多選題)下列命題正確的有（）A.若,則B.向量與向量是共線向量,則四點(diǎn)在一條直線上C.當(dāng)兩個(gè)非零向量共線時(shí),一定有,反之也成立D.在中,若是的中點(diǎn),則【例2】在中,已知為邊上的中線,為的中點(diǎn),則_____.A. B.C. D.【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.(1)若.證明:三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù),使和共線.【例4】記設(shè)為平面向量,則（）A. B.C. D.【例5】如圖,在中,已知點(diǎn)在線段BC上,且滿足,過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn).若,則;若,寫出類似的結(jié)論:.(答案不唯一)【例6】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn).若點(diǎn)滿足,其中,且,則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【例7】設(shè)是平面上的定點(diǎn),是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【例8】若是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足,則的形狀為_____.【例9】已知是內(nèi)一點(diǎn),且,則的面積與的面積之比為_____.【例10】已知,點(diǎn)在線段上,且的最小值為1,則的最小值為_____.A. B. C.2 D.強(qiáng)化訓(xùn)練1.給出下列命題:(1)若是不共線的四點(diǎn),則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件;(2)若都是單位向量,則;(3)向量與相等.所有正確命題的序號(hào)是（）A.(1) B.(3) C.(1)(3) D.(1)(2)2.在中,已知為邊上的高,為的中點(diǎn).若,則（）A.1 B. C. D.3.已知向量,則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線4.設(shè)是兩個(gè)非零向量,下列選項(xiàng)正確的是().A.若,則B.若,則C.若,則存在實(shí)數(shù),使得D.若存在實(shí)數(shù),使得,則5.如圖,在中,已知是上一點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為_____.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)),則_____.A.100 B.101 C.200 D.2017.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心8.已知為四邊形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),若,則四邊形一定是（）A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形9.在中,已知分別為的中點(diǎn).為線段上的