2018尖子生專(zhuān)訓(xùn)3相交線平行線含答案

/尖子生專(zhuān)訓(xùn)3相交線平行線答案1．長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨,防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈,便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖,燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒,燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒,且a、b滿(mǎn)足|a﹣3b|+〔a+b﹣42=0．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°〔1求a、b的值；〔2若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒,燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),在燈B射線到達(dá)BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒,兩燈的光束互相平行？〔3如圖,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng),在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變,請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變,請(qǐng)求出其取值范圍．解：〔1∵a、b滿(mǎn)足|a﹣3b|+〔a+b﹣42=0,∴a﹣3b=0,且a+b﹣4=0,∴a=3,b=1；〔2設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,兩燈的光束互相平行,①當(dāng)0＜t＜60時(shí),3t=〔20+t×1,解得t=10；②當(dāng)60＜t＜120時(shí),3t﹣3×60+〔20+t×1=180°,解得t=85；③當(dāng)120＜t＜160時(shí),3t﹣360=t+20,解得t=190＞160,〔不合題意綜上所述,當(dāng)t=10秒或85秒時(shí),兩燈的光束互相平行；〔3設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒,∵∠CAN=180°﹣3t,∴∠BAC=45°﹣〔180°﹣3t=3t﹣135°,又∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t,而∠ACD=90°,∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣〔180°﹣2t=2t﹣90°,∴∠BAC：∠BCD=3：2,即2∠BAC=3∠BCD．2．如圖1,MN∥PQ,直線AD與MN、PQ分別交于點(diǎn)A、D,點(diǎn)B在直線PQ上,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD,垂足為G．〔1求證：∠MAG+∠PBG=90°；〔2若點(diǎn)C在線段AD上〔不與A、D、G重合,連接BC,∠MAG和∠PBC的平分線交于點(diǎn)H,請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,猜想并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系；〔3若直線AD的位置如圖3所示,〔2中的結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關(guān)系．解：〔1如圖1,∵M(jìn)N∥PQ,∴∠MAG=∠BDG,∵∠AGB是△BDG的外角,BG⊥AD,∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°,∴∠MAG+∠PBG=90°；〔22∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°,證明：①如圖,當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí),∵M(jìn)N∥PQ,∴∠MAC=∠BDC,∵∠ACB是△BCD的外角,∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC,∵AH平分∠MAC,BH平分∠DBC,∴∠MAC=2∠MAH,∠DBC=2∠DBH,∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH,同理可得,∠AHB=∠MAH+∠DBH,∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH=2∠AHB,又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=∠CBG+90°,∴2∠AHB=∠CBG+90°,即2∠AHB﹣∠CBG=90°；②如圖,當(dāng)點(diǎn)C在DG上時(shí),同理可得,∠ACB=2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴2∠AHB=90°﹣∠CBG,即2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〔2中的結(jié)論不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．①如圖,當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí),由MN∥PQ,可得：∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH,∠AHB=∠MAH+∠PBH,∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=90°+∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG,即2∠AHB+∠CBG=270°；②如圖,當(dāng)C在DG上時(shí),同理可得,∠ACB=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH,∠AHB=∠MAH+∠PBH,∴∠ACB=360°﹣2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°﹣∠CBG,∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG,∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．3．"一帶一路"讓中國(guó)和世界更緊密,"中歐鐵路"為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示,燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度,燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM：∠BAN=2：1．〔1填空：∠BAN=60°；〔2若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒,燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),在燈B射線到達(dá)BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒,兩燈互相平行？〔3如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng),在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D,且∠ACD=120°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變,請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM：∠BAN=2：1,∴∠BAN=180°×=60°,故答案為：60；〔2設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,兩燈的光束互相平行,①當(dāng)0＜t＜90時(shí),如圖1,∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?〔30+t,解得t=30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí),如圖2,∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?〔30+t+〔2t﹣180=180,解得t=110,綜上所述,當(dāng)t=30秒或110秒時(shí),兩燈的光束互相平行；〔3∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒,∵∠CAN=180°﹣2t,∴∠BAC=60°﹣〔180°﹣2t=2t﹣120°,又∵∠ABC=120°﹣t,∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t,而∠ACD=120°,∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣〔180°﹣t=t﹣60°,∴∠BAC：∠BCD=2：1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．4．如圖1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°〔1說(shuō)明OB∥AC成立的理由．〔2如圖2所示,若點(diǎn)E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度數(shù)．〔3在〔2的條件下,若左右平移AC,如圖3所示,那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變,請(qǐng)求出這個(gè)比值．〔4在〔3的條件下,當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí),求∠OCA的度數(shù)．解：〔1∵BC∥OA,∴∠B+∠O=180°,∴∠O=180°﹣∠B=60°,而∠A=120°,∴∠A+∠O=180°,∴OB∥AC；〔2∵OE平分∠BOF,∴∠BOE=∠FOE,而∠FOC=∠AOC,∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×60°=30°,即∠EOC=30°；〔3比值不改變．∵BC∥OA,∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,∵∠FOC=∠AOC,∴∠AOF=2∠AOC,∴∠OFB=2∠OCB,即∠OCB：∠OFB的值為1：2；〔4設(shè)∠AOC的度數(shù)為x,則∠OFB=2x,∵∠OEB=∠AOE,∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x,而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x,∵∠OEB=∠OCA,∴30°+x=60°﹣x,解得x=15°,∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°．5．已知,直線AB∥DC,點(diǎn)P為平面上一點(diǎn),連接AP與CP．〔1如圖1,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,當(dāng)∠BAP=60°,∠DCP=20°時(shí),求∠APC．〔2如圖2,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫(xiě)出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由．〔3如圖3,點(diǎn)P落在CD外,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？解：〔1如圖1,過(guò)P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；〔2∠AKC=∠APC．理由：如圖2,過(guò)K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,過(guò)P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP=∠APC,∴∠AKC=∠APC；〔3∠AKC=∠APC．理由：如圖3,過(guò)K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,過(guò)P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP=∠APC,∴∠AKC=∠APC．6．如圖,已知AM∥BN,∠A=60°．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)〔與點(diǎn)A不重合,BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D．〔1求∠CBD的度數(shù)；〔2當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化,請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由；若變化,請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律．〔3當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí),∠ABC的度數(shù)是30°．解：〔1∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°,∵∠A=60°,∴∠ABN=120°,∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,∴∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠NBP,∴∠CBD=∠ABN=60°；〔2不變化,∠APB=2∠ADB,證明：∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,又∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APB=2∠ADB；〔3∵AD∥BN,∴∠ACB=∠CBN,又∵∠ACB=∠ABD,∴∠CBN=∠ABD,∴∠ABC=∠DBN,由〔1可得,∠CBD=60°,∠ABN=120°,∴∠ABC=〔120°﹣60°=30°,故答案為：30°．7．?dāng)?shù)學(xué)思考：〔1如圖1,已知AB∥CD,探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關(guān)系,并證明你的結(jié)論推廣延伸：〔2①如圖2,已知AA1∥BA1,請(qǐng)你猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3的關(guān)系,并證明你的猜想；②如圖3,已知AA1∥BAn,直接寫(xiě)出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的關(guān)系拓展應(yīng)用：〔3①如圖4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ的式子表示x,應(yīng)為BA.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如圖5,AB∥CD,且∠AFE=40°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,請(qǐng)你根據(jù)上述結(jié)論直接寫(xiě)出∠GHM的度數(shù)是30°．解：〔1證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)P作OP∥AB,∵AB∥CD,∴OP∥AB∥CD,∴∠1=∠PAB,∠2=∠PCD,∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,即∠APC=∠PAB+∠PCD；〔2①如圖2,過(guò)點(diǎn)A2作A2O∥AA1,由〔1可知∠B1=∠A1+∠1,∠B2=∠2+∠A3,所以,∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3；②如圖3,由①可知：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；〔3①如圖4,過(guò)∠x(chóng)的頂點(diǎn)作CD∥AB,則∠x(chóng)=〔180°﹣α+〔β﹣γ=180°﹣α﹣γ+β,②如圖5,由〔1可知,40°+∠GHM+50°=∠G+∠M,∵∠G=90°,∠M=30°,∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°．故答案為：B；30°．8．已知直線AB∥CD．〔1如圖1,直接寫(xiě)出∠ABE,∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2如圖2,BF,DF分別平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3如圖3,點(diǎn)E在直線BD的右側(cè),BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系2∠BFD+∠BED=360°．解：〔1∠ABE+∠CDE=∠BED．理由：如圖1,作EF∥AB,∵直線AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED,即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2∠BFD=∠BED．理由：如圖2,∵BF,DF分別平分∠ABE,∠CDE,∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=〔∠ABE+∠CDE,由〔1,可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE∠BED=∠ABE+∠CDE,∴∠BFD=∠BED．〔32∠BFD+∠BED=360°．理由：如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD,,∵AB∥CD,EG∥CD,∴AB∥CD∥EG,∴∠ABE+∠BEG=180°,∠CDE+∠DEG=180°,∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°,由〔1知,∠BFD=∠ABF+∠CDF,又∵BF,DF分別平分∠ABE,∠CDE,∴∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,∴∠BFD=〔∠ABE+∠CDE,∴2∠BFD+∠BED=360°．故答案為：2∠BFD+∠BED=360°．9．已知AM∥CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn),AB⊥BC于B．〔1如圖1,直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系∠A+∠C=90°；〔2如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D,求證：∠ABD=∠C；〔3如圖3,在〔2問(wèn)的條件下,點(diǎn)E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù)．解：〔1如圖1,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°,∴∠A+∠C=90°,〔2如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,又∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG,∵AM∥CN,BG∥AM,∴CN∥BG,∴∠C=∠CBG,∴∠ABD=∠C；〔3如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由〔2可得∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得〔2α+β+3α+〔3α+β=180°,①由AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,②由①②聯(lián)立方程組,解得α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．10．已知直線l1∥l2,直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D,點(diǎn)P是直線l3上一動(dòng)點(diǎn)〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠PAC,∠APB,∠PBD之間存在什么數(shù)量關(guān)系？〔2當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)〔P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合,如圖2和圖3,上述〔1中的結(jié)論是否還成立？若不成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠PAC,∠APB,∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系,不必寫(xiě)理由．解：〔1∠APB=∠PAC+∠PBD,如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,∴∠APB=∠PAC+∠PBD；〔2不成立,如圖2：∠PAC=∠APB+∠PBD,理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD,∴∠PAC=∠APB+∠PBD；如圖3：∠PBD=∠PAC+∠APB,理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC,∴∠PBD=∠PAC+∠APB．11．已知,∠AOB=90°,點(diǎn)C在射線OA上,CD∥OE．〔1如圖1,若∠OCD=120°,求∠BOE的度數(shù)；〔2把"∠AOB=90°"改為"∠AOB=120°",射線OE沿射線OB平移,得O′E,其他條件不變,〔如圖2所示,探究∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關(guān)系；〔3在〔2的條件下,作PO′⊥OB垂足為O′,與∠OCD的平分線CP交于點(diǎn)P,若∠BO′E=α,請(qǐng)用含α的式子表示∠CPO′〔請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．解：〔1∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°；〔2如圖2,過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD,∵CD∥OE,∴OF∥OE,∴∠AOF=180°﹣∠OCD,∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣〔∠OCD+∠BO′E=120°,∴∠OCD+∠BO′E=240°；〔3∵CP是∠OCD的平分線,∴∠OCP=∠OCD,∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP=150°﹣∠OCD=150°﹣〔240°﹣∠BO′E=30°+α．12．探究：如圖①,已知直線l1∥l2,直線l3和l1,l2分別交于點(diǎn)C和D,直線l3上有一點(diǎn)P．〔1若點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),問(wèn)∠PAC,∠APB,∠PBD之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．〔2若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)〔點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合,請(qǐng)嘗試自己畫(huà)圖,寫(xiě)出∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由．〔3如圖②,AB∥EF,∠C=90°,我們可以用類(lèi)似的方法求出∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．解：〔1如圖①,當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l1,∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1,∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；〔2如圖甲,當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l1上方時(shí),∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2,∴∠PEC=∠PBD,∵∠PEC=∠PAC+∠APB,∴∠PBD=∠PAC+∠APB．如圖乙,當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng),且在l2下方時(shí),∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：∵l1∥l2,∴∠PED=∠PAC,∵∠PED=∠PBD+∠APB,∴∠PAC=∠PBD+∠APB．〔3∠α+∠β﹣∠γ=90°．證明：如圖②,分別過(guò)C、D作AB的平行線CM和DN,∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠α=∠BCM,∠MCD=∠NDC,∠NDE=∠γ,∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ,又∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°,∴∠α+∠β=90°+∠γ,即∠α+∠β﹣∠γ=90°．13．如圖1,AB∥CD,E是AB、CD之間的一點(diǎn)．〔1判定∠BAE,∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔2如圖2,若∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F．直接寫(xiě)出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；〔3將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3,若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角,求∠BAE的大?。猓骸?∠BAE+∠CDE=∠AED．理由如下：作EF∥AB,如圖1,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,∴∠BAE+∠CDE=∠AED；〔2如圖2,由〔1的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF,∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F,∴∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE,∴∠AFD=〔∠BAE+∠CDE,∵∠BAE+∠CDE=∠AED,∴∠AFD=∠AED；〔3由〔1的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG,而射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G,∴∠CDG=4∠CDF,∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2〔∠AED﹣∠BAE=2∠AED﹣∠BAE,∵90°﹣∠AGD=180°﹣2∠AED,∴90°﹣2∠AED+∠BAE=180°﹣2∠AED,∴∠BAE=60°．14．如圖1．將線段AB平移至CD,使A與D對(duì)應(yīng),B與C對(duì)應(yīng),連AD、BC．〔1填空：AB與CD的關(guān)系為AB∥CD,且AB=CD,∠B與∠D的大小關(guān)系為相等〔2如圖2,若∠B=60°,F、E為BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),∠EFD=∠EDF,DG平分∠CDE交BE于G,求∠FDG．〔3在〔2中,若∠B=α,其它條件不變,則∠FDG=．解：〔1AB∥CD,且AB=CD,∠B與∠D相等；〔2∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B,由三角形的外角性質(zhì)得,∠CDF=∠DFE﹣∠DCE,∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE﹣∠DCE+∠FDG,在△DEF中,∠DEF=180°﹣2∠DFE,在△DFG中,∠DGF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE,∴∠EDG=∠DGF﹣∠DEF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣〔180°﹣2∠DFE=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE,∵DG平分∠CDE,∴∠CDG=∠EDG,∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE,∴∠FDG=∠DCE,即∠FDG=∠B,∵∠B=60°,∴∠FDG=×60°=30°；〔3思路同〔2,∵∠B=α,∴∠FDG=．故答案為：〔1AB∥CD,且AB=CD,相等；〔3．15．問(wèn)題情境：如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB,通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．〔1按小明的思路,易求得∠APC的度數(shù)為110度；〔2問(wèn)題遷移：如圖2,AB∥CD,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng),記∠PAB=α,∠PCD=β,當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),問(wèn)∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3在〔2的條件下,如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)〔點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．〔1解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,∴∠APE=50°,∠CPE=60°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．〔2∠