線性代數(shù)2021年期末試題

線性代數(shù)2021年期末試題

一、填空題（共10題，每題2分，共20分）

1.只于自身合同的矩陣是矩陣.

7](王

2.二次型/（尤1，9）=（3%2）的矩陣為

6八%2

3.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則當(dāng)實(shí)數(shù)f，小+A是正定矩陣.

4.正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為。

5.標(biāo)準(zhǔn)正交基下的度量矩陣為.

6.線性變換可對(duì)角化的充要條件為o

7.在P”中定義線性變換b為：b（X）=（"，寫出。在基

d

E”，耳2，芻?,&2下的矩陣?

8.設(shè)乂、匕都是線性空間V的子空間，且用1匕，若dimK=dim%,則

9敘述維數(shù)公式

10.向量a在基%%,???,%（1）與基Si，%…，￡“（2）下的坐標(biāo)分別為x、y>

且從基（1）到基（2）的過渡矩陣為A,則x與y的關(guān)系為

_____________________________O

二、判斷題（共10題，每題1分，共10分）

1.線性變換在不同基下的矩陣是合同的。（）

2.設(shè)o■為〃維線性空間V上的線性變換，則oV+crT（0）=V。（）

3.平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，對(duì)于向量的加法和數(shù)

量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。（）

4.設(shè)匕與匕分別是齊次線性方程組西+巧+…+怎=0與百=々=~=%的解

空間，則

匕十匕=P"()

5.一K為正定二次型。（）

/=!\/=1J

6.數(shù)域上任意一個(gè)矩陣都合同于一對(duì)角矩陣。（）

7.把復(fù)數(shù)域?？醋鲝?fù)數(shù)域上的線性空間令n=1,則<7是線性變

換。（）

8.若。是正交變換，那么。的不變子空間的真正交補(bǔ)也是。的不變子空間。

（）

9.歐氏空間中不同基的度量矩陣是相似的.（）

10.若o■為P[x]（〃>1）中的微分變換，則。不可對(duì)角化。（）

三、計(jì)算題（共3題，每題10分，共30分）

’122、

1.設(shè)線性變換。在基與,￡2，￡3下的矩陣為A=212求。的特征值與

1221,

特征向量，并判斷。是否可對(duì)角化？

2.f取什么值時(shí)，下列二次型是正定的?

/（不馬,芻）=片+4+54+2比也一2%毛+4為七

3.設(shè)三維線性空間V上的線性變換（7在基￡「￡2,心下的矩陣為:

a\2陽

A。23，求cr在基與且左HO）,j下的矩陣反

〃32。337

四、證明題（共4題，每題10分，共40分）

1.證明:

4、4i、

AA-2

A與B相似，其中4%，…，是

4”，

1,2,…，〃的一個(gè)排列.

2.證明：和Z匕是直和的充要條件為:匕nWX={0}（i=2,3,…,s）。

3.設(shè)A是〃級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2=A,證明：存在正交矩陣T,使得:

;1

1

T-'AT=1

0

OJ

’4

4.證明：A=

其中,A，…,i,是1,2,…,”的一個(gè)排列。

答案

<39、

一.1.零2.3.充分大4o正交矩陣5oE6.有

（96）

〃個(gè)線性無關(guān)的特征向量

’a0b0、

Qa0b

7o8oV9.

c0J012

、0c0d,

dim（K+%）=dim%+dim%-dim（V；01%）

10.X=AY

二.lox2.x3.x4oV5ox6ox7。x8。J

9Ox10.V

2-1-2-2

三.lo解：〃/1）=|花_.=-22-1-2=（2-5）（2+l）2（3分）

-2-22-1

所以，b的特征值為4=7（二重）和4=5。把4=T代入方程組

（2E-A）X=0W：

—2%—2々—2A?2=00

?—2X]—2x,—2X2—0基礎(chǔ)解系為〃1—0n2=1

—2X]—29—2%2=0—1-1

因此，b屬于-1得兩個(gè)線性無關(guān)得特征向量為：

41~￡2^2~￡2~￡3

因而屬于-1的全部特征向量就是匕￡1+e￡2，占、42取遍P中不全為零的全

基礎(chǔ)解系內(nèi)J1

部數(shù)對(duì)（6分），再用4=5代入（XE—A）X=0得:因此,

屬于5的全部特征向量是女左，k是P中任意不等于零的數(shù)。（9分）

因?yàn)閎有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以?？赡軐?duì)角化。（10

分）

’1t-P

2.解：/的矩陣為：A=f12

㈠25,

1t、II7m4

vl>0,=1—產(chǎn)>0,旬=-5r-4/>0.得：一一<r<0

t1115

4

「?當(dāng)一g＜，＜0時(shí)，/是正定的。

3.解：,.?寵|=〃］向+，〃2］（攵￡2）+生產(chǎn)3(2.5分)

k

cr(^2)=ka.1+々22(^2)+%253(2o5分)

。J)=陽今+%&(%4)+⑵5分）

K

'?11、

I

在基下的矩陣為B。22(2.5分)

K

a

<3\攵“327

四.1。證：任意〃維向量空間V,VV的基華,。2,,則三唯一"creUV）

使4,%…%)=3%…%).(3分)

即=i=1,2,…,〃

。（如）=^i2ai2

b（a?,）=4,,a加

；.b在基%，弓2,…,鬼，下的矩陣為3（6分）

A與8相似（1分）

2.證：0.5匕是直和???匕0工匕={可（3分）

?=1評(píng)

?.“n￡v,vKnZ%.?.匕「€"={0}（2分）

片1評(píng)j=l

<=令a[+…+%+ax=0???%=_（%+—+%）

；.&€匕點(diǎn)匕（3分）

7=1

cts=0,同理砥_|=3=%=%=0

；.￡匕是直和。（2分）

/=1

3.證：設(shè)4是A的任一特征值

,使Aa=/l。

/.A%=A（4。）=CL

A2=A,/.A2a=Aa

—X）a=0?「awOA2—A=0

X=1或幾=0

???A實(shí)對(duì)稱矩陣

p