小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解練習(xí)試題附答案

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第1課《乘法原理》試題附答案

第一講乘法原理

在日常生活中常常會遇到這樣一些問題，就是在做一件事時，要分幾步才

能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有

多少種方法，就用我們將討論的乘法原理來解決.

例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會.其中，他從北

京到大連可以乘長途汽車、火車或飛機，而他從大連到天津卻只想乘船.那

么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走.第一步是從北京到大

連，可以有三種走法，即：

第二步是從大連到天津,只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共

有下面的三種走法：

注意到3X1=3.

如果此人到大連后，可以乘船或飛機到天津，那么他從北京到天津則有以

下的走法：

共有六種走法，注意到3X2=6.

在上面討論問題的過程中，我們把所有可能的辦法一一列舉出來.這種方

法叫窮舉法.窮舉法對于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的.

在上面的例子中，完成一件事要分兩個步驟.由窮舉法得到的結(jié)論看到，

用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所

有的方法數(shù).

例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，

共有多少種不同的買法？

分析某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副

食后買主食）.其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法.故

可以由乘法原理解決.

例2右圖中有7個點和十條線段，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任

何線段和點不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？

例3書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各

一本，有多少種不同的取法？

例4王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報名參加學(xué)校運動會的跳遠、跳高、100

米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同的情形?

例5由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：

①可組成多少個不相等的三位數(shù)？

②可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

例6由數(shù)字1、2、3,4、5、6共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?

例7右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使

每行每列只能出現(xiàn)一個棋子.問：共有多少種不同的放法？

例8現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中

至少取一張，至多取9張，那么，共可以K成多少種不同的錢數(shù)？

答案

例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，

共有多少種不同的買法？

分析某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副

食后買主食）.其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法.故

可以由乘法原理解決.

解，由乘法原理，主食和副食各買一種共有3X5=15種不同的方法.

補充說明：由例題可以看出，乘法原理運用的范圍是：①這件事要分幾個

彼此互不影響的獨立步驟來完成；②每個步驟各有若干種不同的方法來完成.

這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題.

例2右圖中有7個點和十條線段，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任

何線段和點不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？

分析甲蟲要從A點沿線段爬到B點，必經(jīng)過C點，所以，完成這段路分兩

況即由A到C,再由C到B.而由A到C有三種走法，由C到B也有三種走法，所

以，由乘法原理便可得到結(jié)論.

解：這只甲蟲從A到B共有3X3=9種不同的走法.

例3書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各

一本，有多少種不同的取法？

分析要做的事情是從外語、語文書中各取一本.完成它要分兩步：即先年

一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）.（或先取語文書，

再取外語書.）所以，用乘法原理解決.

解：從架上各取一本共有6X4=24種不同的取法.

例4王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報名參加學(xué)校運動會的跳遠、跳高、100

米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同的情形？

分析三人報名參加比賽，彼此互不影響?yīng)毩竺?所以可以看成是分三步

完成，即一個人一個人地去報名.首先，王英去報名，可報4個項目中的一項，

有4種不同的報名方法.其次，趙明去報名，也有4種不同的報名方法.同樣，

李剛也有4種不同的報名方法.滿足乘法原理的條件，可由乘法原理解決.

解：由乘法原理，報名的結(jié)果共有4X4X4=64種不同的情形.

例5由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：

①可組成多少個不相等的三位數(shù)？

②可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

分析在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確

定.所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成.

①要求組成不相等的三位數(shù).所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取

0,故有3種不同的取法；十位上，可以在四個數(shù)字中任取一個，有4種不同的取

法；個位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3X4X4=48個不相等

的三位數(shù).

②要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0,有3種不同的取

法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個，故只剩下。和其余兩個數(shù)字，

故有3種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數(shù)字，故只能在剩下的兩

個數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3X3X2=18個沒有重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù).

解：由乘法原理

①共可組成3X4X4=48（個）不同的三位數(shù)；

②共可組成3X3X2=18（個）沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

例6由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

分析要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完

成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個位上只有能取L3、5中的一個，有3種不

同的取法；十位上，可以從余下的五個數(shù)字中取一個，有5種取法；百位上有4

種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決.

解：由1、2,3、4、5、6共可組成

3X4X5X3=180

個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).

例7右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使

每行每列只能出現(xiàn)一個棋子.問：共有多少種不同的放法？

分析由于四個棋子要一個一個地放入方格內(nèi).故可看成是分四步完成這件

事.第一步放棋子A,A可以放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放

法；第二步放棋子B,由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也

不能放B,故還剩下9個方格可以放B,B有9種放法；第三步放C,再去掉B所在的

行和列的方格，還剩下四個方格可以放C,C有4種放法；最后一步放D,再去掉C

所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放D,D有1種放法，本題要由乘法原

理解決.

解：由乘法原理，共有

16X9X4X1=576

種不同的放法.

例8現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中

至少取一張，至多取9張，那么，共可以S已成多少種不同的錢數(shù)？

分析要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個錢數(shù)，需一步一步地來

做.如先取一角的，再取貳角的，最后取壹元的.但注意到，取2張一角的人民

幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的.這就會產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這

一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮.即

從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種.分析知，共可以組成從壹

角到捌角間的任何一種面值，共8種情況.（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳

角的人民幣是一種情況；取4張壹角的人民幣與取2張貳角的人民幣是一種情

況.）這樣一來，可以把它們看成是8張壹角的人民幣.整個問題就變成了從8

張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢.這樣，第一步，從8張壹角的

人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7,8；第二步,從3張壹元

的人民幣中取共4種取泊即0、1、2,3.由乘法原理,共有9X4=36種情形，

但注意到，要求“至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減

掉.

解：取出的總錢數(shù)是

9X4-1=35種不同的情形.

習(xí)題一

1.某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3

條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走.

問，罪犯共有多少種逃走的方法？

2.如右圖，在三條平行線上分別有一個點，四個點，三個點（且不在同一

條直線上的三個點不共線）.在每條直線上各取一個點，可以畫出一個三角

形.問：一共可以畫出多少個這樣的三角形？

BCDE

FGH

3.在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù).共可以組成多少個

不同的減法算式？

4.一個籃球隊，五名隊員A、B、C、D、E,由于某種原因，C不能做中鋒,

而其余四人可以分配到五個位置的任何一個上.問：共有多少種不同的站位方

法？

5.由數(shù)字1、2,3、4、5、6,7、8可組成多少個

①三位數(shù)？

②三位偶數(shù)？

③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

④百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

⑤百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

6.某市的電話號碼是六位數(shù)的，首位不能是0,其余各位數(shù)上可以是。?9

中的任何一個，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù).那么，這個城市最多可容納多

少部電話機？

四年級奧數(shù)下冊：第一講乘法原理習(xí)題解答

習(xí)題一解答

1.3X2X4=24（種）.

2.1X4X3=12（個）.

3.90X9=810（個）.

4.4X4X3X2X1=96（種）.

5.①8X8X8=512（個）；②4X8X8=256（個）

③4X7X6=168（個）；④IX7X6=42（個）；

（5）1X3X6=18（個）?

6.9X10X10X10X10X10=900000（部）.

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第2課《加法原理》試題附答案

笫二講加法原理

生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一

類方法中，又有幾種可能的做法.那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就

要用我們將討論的加法原理來解決.

例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天

有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天

津能有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大

類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法.上面的每一

種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法.

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法.在具體做的時候，只

要采用一類中的一種方法就可以完成.并且兩大類方法是互無影響的，那么完

成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù).

例1學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時，圖書

館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明

借一本書可以有多少種不同的選法？

例2一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色

各不相同.

問：①從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取怯？

②從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？

例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地

到丙地有3條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點出發(fā)沿著線段爬到B點，要求任何點和線段

不可重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲有多少種不同的走法？

例5有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2,3,4,

5、6.將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情

形？

例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個?

例7如下貝左圖，要從A點沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜

上方.問有多少種不同的走法？

答案

例1學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時，圖書

館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明

借一本書可以有多少種不同的選法？

分析在這個問題中，小明選一本書有三類方法.即要么選外語書，要么選

科技書，要么選小說.所以，是應(yīng)用加法原理的問題.

解：小明借一本書共有:

150+200+100=450（種）

不同的選法.

例2一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色

各不相同.

問：①從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？

②從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？

分析①中，從兩個口袋中只需取一個小球，則這個小球要么從第一個口袋

中取，要么從第二個口袋中取，共有兩大類方法.所以是加法原理的問題.

②中，要從兩個口袋中各取一個小球，則可看成先從第一個口袋中取一

個，再從第二個口袋中取一個，分兩步完成，是乘法原理的問題.

解：①從兩個口袋中任取一個小球共有

3+8=11（種），

不同的取法.

②從兩個口袋中各取一個小球共有

3X8=24（種）

不同的取法.

補充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，

乘法原理中，做完一件事要分成若干個步驟，一步接一步地去做才能完成這件

事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可

以完成這件事.

事實上，住住有許多事情是有幾大類方法來做的，而每一類方法又要由幾

步來完成，這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個原理.

例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地

到丙地有3條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

分析從甲地到丙地共有兩大類不同的走法.

第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地.這時，要分兩步走，第一步從甲地到乙

地，有4種走法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時共有4

X2=8種不同的走法.

第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法.

解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：

4X2+3=11（種）

不同的走法.

例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點出發(fā)沿著線段爬到B點，要求任何點和線段

不可重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲有多少種不同的走法？

分析從A點到B點有兩類走法，一類是從A點先經(jīng)過C點到B點，一類是從A點

先經(jīng)過D點到B點.兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，

都要用乘法原理，而最后計算從A到B的全部走法時，只要用加法原理求和即

可.

解：從A點先經(jīng)過C到B點共有：

1X3=3（種）

不同的走法.

從A點先經(jīng)過D到B點共有：

2義3=6（種）

不同的走法.

所以，從A點到B點共有：

3+6=9（種）

不同的走法.

例5有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2,3、4、

5、6.將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情

形？

分析要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個

數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮.

第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù).由于放兩個正方體可認為是一個一個地放.

放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1,3,5；放第二個正方體，出現(xiàn)

奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有3X3=9種不同的情形.

第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3X3=9種不同

情形.

最后再由加法原理即可求解.

解：兩個正方體向上的一面同為奇數(shù)共有

3X3=9（種）

不同的情形；

兩個正方體向上的一面同為偶數(shù)共有

3X3=9（種）

不同的情形.

所以，兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有

3X3+3X3=18（種）

不同的情形.

例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？

分析從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).

一位數(shù)中，不含4的有8個，它們是1、2,3、5、6、7、8、9；

兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5,6、

7,8,9這八種情況.個位上,不含4的有0、1、2,3、5、6、7,8、9這九種情

況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時

共有8X9=72個數(shù)不含4.

三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有

1、2、3、這三種情況.十位上，不含4的有0、1、2,3、5、6、7、8、9這九種

情況，個位上，不含4的也有九種情況.要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，

再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有3X9X9=243個三位數(shù).

由于500也是一個不含4的三位數(shù).所以，1~500中，不含4的三位數(shù)共有3X9X

9+1=244個.

解：在1~500中，不含4的一位數(shù)有8個；不含4的兩位數(shù)有8X9=72個；不

含4的三位數(shù)有3X9X9+1=244個，由加法原理，在1~500中，共有：

8+8X9+3X9X9+1=324（個）

不含4的自然數(shù).

補充說明：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個0的三位數(shù)，

如：把1看成是001.把兩位數(shù)看成是前面有一個。的三位數(shù).如：把11看成

011.那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去500外，考

慮不含有4的這樣的“三位數(shù)百位上，有0、1、2、3這四種選法；十位上，

有0、1、2,3、5、6、7、8、9這九種選法；個位上，也有九種選法.所以，除

500外，有4X9X9=324個不含4的“三位數(shù)”.注意到，這里面有一個數(shù)是

000,應(yīng)該去掉.而500還沒有算進去，應(yīng)該加進去.所以，從1到500中，不含4

的自然數(shù)仍有324個.

這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對“三位數(shù)”重新給予規(guī)

定之后，問題很簡捷地得到解決.

例7如下或左圖，要從A點沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜

上方.問有多少種不同的走法？

分析觀察下頁左圖，注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下貫

右圖中C、D、E、F四點中的某一點的路線一定不再經(jīng)過其他的點.也就是說從A

到B點的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F的路線.

第一類，經(jīng)過C的路線，分為兩步，從A到C再從C到B,從A到C有2條路可

走，從C到B也有兩條路可走，由乘法原理，從第直到B共有2X2=4條不同的路

線.

第二類，經(jīng)過D點的路線，分為兩步，從A到D有4條路，從D到B有4條路，由

乘法原理，從M至D到B共有4X4=16種不同的走法.

第三類，經(jīng)過E點的路線，分為兩步，從A到E再從E到B,觀察發(fā)現(xiàn).各有一

條路.所以，從的變到B共有1種走法.

第四類，經(jīng)過F點的路線，從M登到B只有一種走法.

最后由加法原理即可求解.

解：如上右圖，從A到B共有下面的走法：

從M直到B共有2X2=4種走法；

從M至D到B共有4X4=16種走法；

從M迎到B共有1種走法；

從M卸到B共有1種走法.

所以，從A到B共有：

4+16+1+1=22

科不目的去注

習(xí)題二

1.如右圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁

地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有多少種走法？

?三①

2.書架上有6本不同的畫報和7本不同的書，從中最多拿兩本（不能不

拿），有多少種不同的拿法？

3.如下圖中，沿線段從點A走最短的路線到B,各有多少種走法?

4.在1~1000的自然數(shù)中，一共有多少個數(shù)字0?

5.在1~500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個？

6.十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問：最多試開多少

次，就能把鎖和知匙配起來？

四年級奧數(shù)下冊：第二講加法原理習(xí)題解答

習(xí)題二解答

1.3X3+2X4=17（種）.

2.6+7+15+21+6X7=91（種）.

提示：拿兩本的情況分為2本畫報或2本書或一本畫報一本書.

3.（1）6；（2）10；（3）20；（4）35.

4.9+180+3=192（個）.

5.8+8X8+3X8X8=264（個）.

6.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）.

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第3課《排列》試題附答案

第三講排列

在實際生活中常遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一

列，計算有多少種排法.就是排列問題.在排的過程中，不僅與參加排列的事

物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).

例如某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間.問：應(yīng)準備有多少種

不同船票？

分析這個問題，可以用枚舉法解決，三個城市之間，船票有下面六種設(shè)置

方式：

船票

天津------青島

天津------大連

青島------天津

青島------大連

大連------天津

,、今

如果不用枚舉法，注意到要準備的船票的種類不僅與所選的兩個城市有

關(guān)，而且與這兩個城市作為起點、終點的順序有關(guān)，所以，要考慮共準備多少

種不同的船票，就要在三個城市之間每次取出兩個，按照起點、終點的順序排

列.

首先確定起點站，在三個城市中，任取一個為起點站，共有三種選法.

其次確定終點站，每次確定了一個起點站后，只能從剩下的兩個城市之中

選終點站，共有兩種選法.

由乘法原理，共需準備:

3X2=6

種不同的船票.

為敘述方便，我們把研究對象（如天津、青島、大連）看作元素，那么上

面的問題就是在三個不同的元素中取出兩個，按照一定的順序排成一列的問

題.我們把每一種推法叫做一個排列（如天津一一青島就是一個排列），把所

有排列的個數(shù)叫做排列數(shù).那么上面的問題就是求排列數(shù)的問題.

一般地，從n個不同的元素中任取出m個（n<n）元素，按照一定的順序排

成一列.叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

由排列的定義可以看出，兩個排列相同，不僅要求這兩個排列中的元素完

全相同，而且各元素的先后順序也一樣.如果兩個排列的元素不完全相同.或

者各元素的排列順序不完全一樣，則這就是兩個不同的排列.

從n個不同元素中取出m個（Mn）元素的所有排列的個數(shù)，叫做從

n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記做P弋.

例1計算（l）P。（2）P；-2P；.

例2有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可

以表示多少種不同的信號？

例3用1、2、3,4、5、6、7、8可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?

例4幼兒園里的6名小朋友去坐優(yōu)不同的椅子，有多少種坐法?

例5幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不

同的坐法？

例6有4個同學(xué)一起去郊游，照相時，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能

有多少種拍照情況？（照相時3人站成一排）

答案

例1計算⑴P；;（2）P；-2P：.

解：由排列數(shù)公式知：

①我=5X4X3=60；

②"=8X7X6X5=1680

4個因斂

2P=2X(8X7)=112

2個因敘

P；-2P^=1680-112=1568.

例2有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可

以表示多少種不同的信號？

分析這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信

號，就是有三個位置.我們的問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三

個位置的問題.由于信號不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置

有關(guān)，所以是排列問題，且其中n=5,nP3.

解：由排列數(shù)公式知，共可組成

pJ=5X4X3=60

種不同的信號.

補充說明：這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有

關(guān)的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步

地分析考慮，使問題簡化.

例3用1、2,3,4、5、6、7、8可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

分析這是一個從8個元素中取5個元素的排列問題，且知n=8,而5.

解：由排列數(shù)公式，共可組成：

P^=8X7X6X5X4=6720

54?因麴

個不同的五位數(shù).

例4幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法？

分析在這個問題中，只要把3把椅子看成是3個位置，而6名小朋友作為6個

不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn)化成從6個元素中取3個，排在3個不同位置的排列問

題.

解：由排列數(shù)公式，共有：

p；=6X5X4=120

種不同的坐法.

例5幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不

同的坐法？

分析與例4不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把6把椅子看成是6個元

素，而把3名小朋友作為3個位置，則問題轉(zhuǎn)化為從6把椅子中選出3把，排在3名

小朋友面前的排列問題.

解：由排列公式，共有：

P；=6X5X4=120

種不同的坐法.

例6有4個同學(xué)一起去郊游，照相時，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能

有多少種拍照情況？（照相時3人站成一排）

分析由于4人中必須有一個人拍照，所以，每張照片只能有3人，可以看成

有3個位置由這3人來站.由于要選一人拍照，也就是要從四個人中選3人照相，

所以，問題就轉(zhuǎn)化成從四個人中選3人，排在3個位置中的排列問題.要計算的

是有多少種排法.

解：由排列數(shù)公式，共可能有：

P；=4X3X2=24

種不同的拍照情況.

習(xí)題三

1.計算

①吟②味母；

③3P：-P：；④?X玲）+p=

2.某鐵路線共有14個車站，這條鐵路線共需要多少種不同的車票.

3.有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一

種信號，問共可以組成多少種不同的信號？

4.班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員、生活委

員、宣傳委員和體育委員.問：有多少種不同的分工方式？

5.由數(shù)字1、2、3,4、5、6可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的

①三位數(shù)？

②個位是5的三位數(shù)？

③百位是1的五位數(shù)?

④六位數(shù)?

四年級奧數(shù)下冊：第三講排列習(xí)題解答

習(xí)題三解答

1.（1）30；（2）2002；（3）156；（4）1.

2酰-

-182；

3.456；

9120；

③=120；②P；=20；

=120；④P；=720.

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第4課《組合》試題附答案

笫四講組合

日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，

從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要討

論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題.

例如某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間.那么，船票共有幾種

價格（住返票價相同）？

注意到由天津到青島的票價與從青島到天津的票價是一樣的，所以問題實

際上就是計算從三個城市中取兩個城市，有多少種不同的取法，即這時只與考

慮的兩個城市有關(guān)而與兩個城市的順序無關(guān).

由枚舉法知，共有下面的三種票價：

天津-f青島

青島^--?大連

大連一f天津

我們把研究對象（如天津、青島、大連）看作元素，那么上面的問題就是

從3個元素中取出2個，組成一組的問題，我們把每一組叫做一個組合，把所有

的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)，上面的問題就是要求組合數(shù).

一般地，從n個不同元素中取出m個（iKn）元素組成一組不計較組內(nèi)各元

素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

由組合的定義可以看出，兩個組合是否相同，只與這兩個組合中的元素有

關(guān)，而與取到這些元素的先后順序無關(guān).只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同

時，它們才是不同的組合.

從n個不同元素中取出m個元素（iKn）的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同

元素中取出m個不同元素的組合數(shù).記作Cmn.

如上面的例子，就是要計算從3個城市中取2個城市的組合數(shù)小3,由枚舉法

得出的結(jié)論知：C23=3.

那么它是怎樣計算出來的呢?

從第三講開頭的例子，即準備天津、青島、大連三個城市之間的船票的問

題發(fā)現(xiàn)，這個問題實際上可以這樣分兩步完成：第一步是從三個城市中選兩個

城市，是一個組合問題，由組合數(shù)公式，有取辭3法.第二步是將取出的兩個城

市進行排列，由全派列公式，有F3和排法，所以，由乘法原理得到43=03乂

P?3.故有：

C：3=P*3-P*2=(3X2)+2=3.

在數(shù)學(xué)中可以把a+b(b盧0)記作;，其中a叫做分子，b叫做分母，所

b

一般地，求從n個不同元素中取出m個元素排成一列的排列數(shù)Pirn可以分兩步

求得：

第一步：從n個不同元素中取出m個元素組成一組，共有Cim種方法；

第二步：將每一個組合中的m個元素進行全排列，共有Pinir種排法.

故由乘法原理得到：

Pmn=Cim?Pnm

因此

(■P,?■n(n-D(n-2)…(n-m+1).

n

Pm?m!

這就是組合數(shù)公式.

例1計算：①C訪，C46；②C”，C57.

6x5

解，①喘-15

2^7

6x5x4x3

4x3x2xl

例2計算，①C198200；②C5556；(DC98100-2C100100.

例3從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數(shù)

的乘法題，問?

①有多少個不同的乘積？

②有多少個不同的乘法算式？

例4在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的①

直線段，②三角形，③四邊形？

例5如下圖,問：

①下左圖中，共有多少條線段？

②下右圖中，共有多少個角？

&

4

…I二

ACQgmB]

答案

例1計算：①06,例6]②5,C57.

■①丘凱翳…

.?><5X4X3=!

6P54x3x2xl

7x6

②C3=-4----=21

72x1

kP?7x6x5x4x3…

7W5x4x3x2xl

注意到上面的結(jié)果中，有C：6=C46,C”=C57.

一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：

Cmn=Cn-mn(m^n)

這個公式是很容易理解的，它的直觀意義是：Cim表示從n個元素中取出m個

元素組成一組的所有分組方法.C*rnn表示從n個元素中取出(n-m)個元素組成

一組的所有分組方法.顯然，從n個元素中選出m個元素的分組方法恰是從n個元

素中選m個元素剩下的(n/)個元素的分組方法.例如，從5人中選3人開會的方

法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即伊5=辭5.

一般，當(dāng)遇到m比較大(常常是m〉￡)時，往住用。彳=吠-來化簡計算.

規(guī)定C*n=l,C0n=1.

例2計算：（DC198200；②C5556；③C98100-2C100100.

p2200x199

解：①嚼二C翁98=19900

p22x1

c喈56

(2③)(55=55=

56OOY=56

98OO

100

C==

2C;

o臉C詁-2X1

腎2100x99

=2=4948

2x1

例3從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數(shù)

的乘法題，問：

①有多少個不同的乘積？

②有多少個不同的乘法算式?

分析①中，要考慮有多少個不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以

得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順

序無關(guān)，所以這是一個組合問題.

②中，要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有

關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題.

解：①由組合數(shù)公式，共有

個不同的乘積.

②由排列數(shù)公式，共有

P15=5X4=20

種不同的乘法算式.

例4在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的①

直線段，②三角形，③四邊形？

分析由于10個點全在圓周上，所以這10個點沒有三點共線，故只要在10個點

中取2個點，就可以畫出一條線段；在10個點中取3個點，就可以畫出一個三角

形；在10個點中取4個點，就可以畫出一個四邊形，三個問題都是組合問題.

解：由組合數(shù)公式.

①可畫出9。=善=粵=45（條）直線段，

"I

②可畫出短0=普=寥U=120（個）三角形.

③可畫出一=*=；：；：；：；=210（個）四邊形?

例5如下圖，例

①下左圖中，共有多少條線段?

②下右圖中，共有多少個角?

B

ACC5B

分析①中，在線段AB上共有7個點（包括端點A、B）.注意到，只要在這七個

點中選出兩個點，就有一條以這兩個點為端點的線段，所以，這是一個組合問

題，而小7表示從7個點中取兩個不同點的所有取法，每種取法可以確定一條線

段，所以吳有5條磅r傻.

②中，從0點出發(fā)的射線一共有射條,它們是OA,0P1,OPs0P\…，

0P9,0B.注意到每兩條射線可以形成一個角，所以，只要看從11條射線中取兩

條射線有多少種取法，就有多少個角.顯然，是組合問題，共有cni種不同的取

法，所以，可組成C211個角.

解：①由組合數(shù)公式知，共有

條不同的線段；

②由組合數(shù)公式知，共有

蜉1=餐=若=55個不同的角

習(xí)題四

1.計算：

①伊15；②C19982000；

③C4XC28；④P28-C68.

2.從分別寫有1、2、3、4、5、6、7,8的八張卡片中任取兩張作成一道兩

個一位數(shù)的加注題.問：

①有多少種不同的和？

②有多少個不同的加法算式？

3.某班畢業(yè)生中有10名同學(xué)相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會

大家一共提了多少次手？

4.在圓周上有12個點.

①過每兩個點可以畫一條直線，一共可以畫出多少條直線？

②過每三個點可以畫一個三角形，一共可以畫出多少個三角形？

5.如右圖，圖上一共有六個點，且六個點中任意三個點不共線，問：

①從這六個點中任意選兩點可以連成一條線段，這些點一共可以連成多少

條線段？

②從這六個點中任意選兩點可以作一條射線，這些點一共可以作成多少條

射線？（射線是一端固定，經(jīng)另一點可以無限延長的.）

四年級奧數(shù)下冊：第四講組合習(xí)題解答

習(xí)題四解答

1.①455；②1999000；③112；④28.

2.①C28=28；②P28=56.

3.C28=45.

4.①C212=66；②C312=220.

5.①C26=15；②P26=30.

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第5課《排列組合》試題附答案

例1由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?

例2國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，

第二組7個隊.各組都進行單循環(huán)賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.

然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多

少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在瞅所在的城市比賽

一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？

例3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個

①三角形?

②四邊形?

例4如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？

②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

0bC

例5甲、乙、丙、丁4人各有一個作業(yè)本混放在一起，4人每人隨便拿了一本,

問：

①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

②恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

③至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

④誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

答案

第五講排列組合

前面我們己討論了加法原理、乘法原理、排列、組合等問題.事實上，這些

問題是相互聯(lián)系、不可分割的.例如有時候，做某件事情有幾類方法，而每一類

方法又要分幾個步驟完成.在計算做這件事的方法時，既要用到乘法原理，又要

用到加法原理.又如，在照相時，如果對坐的位置有些規(guī)定，那么就不再是簡單

的排列問題了.類似的問題有很多，要正確地解決這些問題，就一定要熟練地掌

握兩個原理和排列、組合的內(nèi)容，并熟悉它們所解決問題的類型特點.

看下面的例子.

例1由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？

分析注意到由四個數(shù)字0、1、2,3可組成的偶數(shù)有一位數(shù)、二位數(shù)、三位

數(shù)、四位數(shù)這四類，所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決.

第一類：一位偶數(shù)只有0、2,共2個；

第二類：兩位偶數(shù)，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則十位可有S3

種取法；若個位取2,則十位有02種取法.故兩位偶數(shù)共有（C13+O2）種不同

的取法；

第三類：三位偶數(shù)，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則十位和百位

共有"3種取法；若個位取2,則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取

法，十位也有2種取法，由乘法原理，個位為2的三位偶數(shù)有2X2個，三位偶數(shù)

共有3+2X2）個；

第四類：四位偶數(shù).它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則共有P33個；

若個位取2,則其他3位只能在0、1、3中取.千位有2種取法，百位和十位

在剩下的兩個數(shù)中取，再排成一列，有E2種取法.由乘法原理，個位為2的四位

偶數(shù)有2XF2個.所以，四位偶數(shù)共有（P33+2XP2）種不同的取法.

解：由加法原理知，共可以組成

2+（03+02）+（P-3+2X2）+（P33+2XP：2）

=2+5+10+10

=27

個不同的偶數(shù).

補充說明：本題也可以將所有偶數(shù)分為兩類，即個位為0和個位為2的兩類.

再考慮到每一類中分別有一位、兩位、三位、四位數(shù)，逐類討論便可求解.

例2國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，

第二組7個隊.各組都進行單循環(huán)賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.

然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多

少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在瞅所在的城市比賽

一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？

分析比賽的所有場次包括三類：第一組中比賽的場次，第二組中比賽的場

次，決賽時比賽的場次.

①中，第一組中8個隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽08場；第二組中7個

隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽C訐場；決賽中4個隊，每兩隊比賽一場，所

以共比賽C/場.

②中，由于是實行主客場制，每兩個隊之間要比賽兩場，比賽場次是①中

的2倍.

另外，還可以用排列的知識來解決.由于主客場制不僅與參賽的隊有關(guān)，而

且與比賽所在的城市（即與順序）有關(guān).所以，第一組共比賽P超場，第二組共

比賽P訐場，決賽時共比賽P叫場.

解：由加法原理：

①實行單循環(huán)賽共比賽

。+/或=p2*+p2*p*2

8x77x64x3

=----+-----+-----

2x12x12xl

=28+21+6

=55（場）

②實行主客場制，共需比賽

2X（C28+C27+C24）=110（場）.

或解為：

P：8+P:7+P:4

=8X717X6+4X3

=56+42+12

=110（場）.

例3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個

①三角形？

②四邊形？

分析①我們知道，不在同一直線上的三個點確定一個三角形，由圖可見，半

圓弧上的每三個點均不共線（由于A、B既可看成半圓上的點，又可看成線段上

的點，為不重復(fù)計算，可把它們歸在線段上），所以，所有的三角形應(yīng)有三

類：第一類，三角形的三個頂點全在半圓弧上?。ú缓珹、B兩點）；第二類，

三角形的兩個頂點取在半圓弧上（不包含A、B）,另一個頂點在線段上?。ê?/p>

A、B）；第三類，三角形的一個頂點在半圓弧上取，另外兩點在線段上取.

注意到三角形的個數(shù)只與三個頂點的取法有關(guān)，而與選取三點的順序無

關(guān)，所以，這是組合問題.

解：三個頂點都在半圓弧上的三角形共有

小泉會泮35（個）

兩個頂點在半圓弧上，一個頂點在線段上的三角形共有

9,P7Pj7x65/人、

C?xCb^x^=—xT=105（個）；

一個頂點在半圓弧上，兩個頂點在線段上的三角形共有

1P7Ps75x4/人、

。力或9=述*夠/=70（個）?

由加法原理，這12個點共可以組成

87+—27X05）+（07X05）

=35+105+70=210（個）

不同的三角形.

也可列式為伊12-b5=220—10=210（個）.

分析②用解①的方法考慮.

將組成四邊形時取點的情況分為三類：

第一類：四個點全在圓弧上取.（不包括A、B）有C訐種取法.

第二類：兩個點取自圓弧.兩個點取自直線AB.有取法C訐X質(zhì)5種.

第三類：圓弧上取3個點，直線上取1個點，有C37XO5種取法.

解：依加法原理，這12個點共可組成:

07+CVXC25+CWXC15

=35+210+175=420

個不同的四邊形.

還可直接計算，這12個點共可組成：

Cn2-C45-C35?07=495-5-70=420

個不同的四邊形.

例4如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？

②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

B

0

分析①由于長方形是由兩組分別平行的線段構(gòu)成的，因此只要看上左圖中水

平方向的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線，豎直方向上的所有平行線

中，可以選出幾組兩條平行線？

②由于長方體是由三組分別平行的平面組成的.因此，只要看上頁右圖中,

平行于長方體上面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面，平行于

長方體右面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的兩個平面，平行于長

方體前面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面.

解：①歲5XC27=210（個）

因此，上頁左圖中共有210個長方形.

②35X06X04=900（個）

因此，上反右圖中共有900個長方體.

例5甲、乙、丙、丁4人各有一個作業(yè)本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，

問：

①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

②恰有一人拿到自己作業(yè)本的章法有多少種？

③至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

④誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

分析①甲拿到自己的作業(yè)本，這時只要考慮剩下的三個人拿到其他三本作業(yè)

本的情況.由于其他三人可以拿到自己的作業(yè)本，也可以不拿到自己的作業(yè)本.

所以，共有P33種情況.

②恰有一人拿到自己的作業(yè)本.這時，一人拿到了自己的作業(yè)本，而其他三

人都沒能拿到自己的作業(yè)本.拿到自己作業(yè)本的可以是甲、乙、丙、丁中的一

人，共4種情況.另外三人全拿錯了作業(yè)本的拿法有2種.故恰有一人拿到自己作

業(yè)本的情況有4X2種情況.

③至少有一人沒有拿到自己的作業(yè)本.這時只要在所有拿法中減去四人全靠

到自己作業(yè)本的拿法即可.由于4人拿作業(yè)本的所有章法是P44,而4人全拿到自

己作業(yè)本只有1種情況.所以，至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有P44-1種

情況.

④誰也沒拿到自己的作業(yè)本.可分步考慮（假設(shè)四個人一個一個地拿作業(yè)

本，考慮四人都拿錯的情況即可）.第一個拿作業(yè)本的人除自己的作業(yè)本外有3

種拿法.被他拿走作業(yè)本的人也有3種拿法.這時，剩下的兩人只能從剩下的兩本

中拿，要每人都拿錯，只有一種拿法.所以，由乘法原理，共有3X3X1種不同

的情況.

解：①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有

P33=3X2X1=6

種情況；

②恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有

4X2=8

種情況；

③至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有

P44-1=4X3X2X1-1=23

種情況；

④誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有

3X3X1=9

種情況.

由前面的各例題可以看到，有關(guān)排列組合的問題多種多樣，思考問題的方

法靈活多變，入手的角度也是多方面的.所以，除掌握有關(guān)的原理和結(jié)論，還必

須學(xué)習(xí)靈活多樣的分析問題、解決問題的方法.

習(xí)題五

1.由數(shù)字0、1、2,3,4可以組成多少個

①三位數(shù)？②沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？@小于1000的自然數(shù)？

2.從15名同學(xué)中選5人參加數(shù)學(xué)競賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少

種？

①某兩人必須入選；

②某兩人中至少有一人入選；

③某三人中恰入選一人；

@某三人不能同時都入選.

3.如右圖，兩條相交直線上共有9個點，問:

一共可以組成多少個不同的三角形？

4.如下圖，計算

①下左圖中有多少個梯形？

②下右圖中有多少個長方體?

5.七個同學(xué)照相，分別求出在下列條件下有多少種站法?

①七個人排成一排；

②七個人排成一排，某兩人必須有一人站在中間;

③七個人排成一排，某兩人必須站在兩頭

④七個人排成一排，某兩人不能站在兩頭;

⑤七個人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排.

四年級奧數(shù)

下冊：第五講排列組合習(xí)題解答

習(xí)題五解答

1.①100；②48；③30；④124.

2.①C313=286；②C515-C513=1716；

③C13*C412=1485；④C515-8L2=2937.

3.05?C23+C26?Cl3=60；或C39-C36-C34=60.

4.①C26XC*6=225；②辭5XC26X=1500.

5.①P；7=5040；②2P眩=1440；

③2P55=240；(J)5X4XP=5=2400；

⑤2X3X4xp55=2880.

小學(xué)四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第6課《排列組合的綜合應(yīng)用》試題附答案

第六講排列組合的綜合應(yīng)用

排列組合是數(shù)學(xué)中風(fēng)格獨特的一部分內(nèi)容.它具有廣泛的實際應(yīng)用.例如：

某城市電話號科是由六位數(shù)字組成，每位可從0~9中任期一個，問該城市最多

可有多少種不同的電話號碼？又如從20名運動員中挑選6人組成一個代表隊參加

國際比賽.但運動員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊，問共有多少種選

法？回答上述