高中數(shù)學奧賽輔導第五講不等式的證明

第五講不等式的證明知識、方法、技術不等式在數(shù)學中據(jù)有重要地位，因為其證明的困難性和方法的多樣性，而成為比賽和高考的熱點題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數(shù)變形和化歸，而變形的依照是不等式的性質，不等式的性分類擺列以下：不等式的性質：abab0,abab0.這是不等式的定義，也是比較法的依照.對一個不等式進行變形的性質：（1）abba（對稱性）（2）abacbc（加法保序性）（3）ab,c0acbc;ab,c0acbc.（4）ab0anbn,nanb(nN*).對兩個以上不等式進行運算的性質.（1）ab,bcac（傳達性）.這是放縮法的依照.（2）ab,cdacbd.（3）ab,cdacbd.（4）ab0,dc0,ab,adbc.cd含絕對值不等式的性質：（1）|x|a(a0)x2a2axa.（2）|x|a(a0)x2a2xa或xa.（3）||a||b|||a（4）|a1a2

b||a||b|（三角不等式）.an||a1||a2||an|.證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學概括法、結構函數(shù)方法等.自然在證題過程中，常可“由因導果”或“執(zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為剖析法.綜合法和剖析法是解決全部數(shù)學識題的常用策略，剖析問題時，我們常常用剖析法，而整理結果時多用綜合法，這二者并不是證明不等式的特有方法，不過在不等式證明中使用得更加突出而已.別的，詳細地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.賽題精講例1：a,b,c0,求證：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.【略解】ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc【評論】（1）此題所證不等式為對稱式（隨意交換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，常常采納輪換技巧.再如證明a2b2c2abbcca時，可將a2b2(abbcca)配方為1[(ab)2(bc)2(ca)2]，亦可利用a2b22ab,2b2c22bc,c2a22ca，3式相加證明.（2）此題亦可連用兩次基本不等式獲證.abc例2：a,b,c0，求證：aabbcc(abc)3.【思路剖析】明顯不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故試試用商較法.【略解】不等式對于a,b,c對稱，不如abc,則ab,bc,acRab，且,，bc都大于等于1.c【評論】（1）證明對稱不等式時，不如假設n個字母的大小次序，可方便解題.（2）此題可作以下推行：若ai0(i1,2,,n),則a1a1a2a2anan（3）此題還可用其余方法得證。因aabbabba，同理bbccbccb,ccaacaac，另aabbccaabbcc，4式相乘即得證.（4）設abc0,則lgalgblgc.例3等價于algablgbalgbblga,近似例4可證algablgbclgcalgbblgcclgaalgcblgbclga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）：設有兩個有序數(shù)組a1a2an,b1b2bn，則a1b1a2b2anbn（順序和）a1bj1a2bj2anbjn（亂序和）a1bna1bn1anb1（逆序和）其中j1,j2,,jn是1,2,,n的任一擺列.當且僅當a1a2an或b1b2bn時等號建立.排序不等式應用較為寬泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉變?yōu)閮蓚€有序數(shù)組的積的形式.如a,b,cR時,a3b3c3a2bb2cc2aa2ab2bc2ca2bb2cc2a;a2b2c2abca21b21c21a21b21c21bcabcaabc.例3：a,b,cR,求證abca2b2b2c2c2a2a3b3c3.2c2a2bbccaab【思路剖析】中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們打開，再用排序不等式證明.【略解】不如設abc,則a2b2c2,111，則a21b21c21（亂cbacab序和）a21b21c21（逆序和），同理a21b21c21（亂序和）abccaba21b21c21（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮abc數(shù)組a3b3c3及111，仿上可證第二個不等式.bcacab例4：設a1,a2,,anN*，且各不同樣，求證：1111a1a2a3an.23n2232n2【思路剖析】不等式右邊各項aiai1；可理解為兩數(shù)之積，試試用排序不等22ii式.【略解】設b1,b2,,bn是a1,a2,,an的從頭擺列，知足b1b2bn，又1111.2232n2因此a1a2a3anb1b2b3bn.因為b1,b2,bn是互不同樣2232n2232n2的正整數(shù)，故b11,b22,,bnn.進而b1b2b3bn111，原式得2232n22n證.【評論】排序不等式應用寬泛，比如可證我們熟習的基本不等式，a2b2abba,a3b3c3a2bb2cc2aaabbbcccaabcbaccab3abc.例5：利用基本不等式證明a2b2c2abbcca.【思路剖析】左側三項直接用基本不等式明顯不可以，觀察到不等式的對稱性，可用輪換．．的方法.【略解】a2b22ab,同理b2c32bc,c2a22ca；三式相加再除以2即得證.【評論】（1）利用基本不等式時，除了此題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.222如x1x2xnx1x2xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2x3xnx1.再如證(a1)(b1)(ac)3(bc)3256a2b2c3(a,b,c0)時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各樣變式如(ab)2a2b2等.但其實質特點不等式兩邊的次22數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.例6：已知ab1,a,b0,求證：a4b41.81，怎樣也轉變?yōu)閍、b的4【思路剖析】不等式左側是a、b的4次式，右邊為常數(shù)8次式呢.【略解】要證a4b41,即證a4b41(ab)4.88【評論】（1）此題方法擁有必定的廣泛性.如已知x1x2x31,xi0,求證：x13x23x331.右邊的1可理解為1(x1x2x3)3.再如已知x1x2x30，求證：x1x2x2x33333(x1+x3x10，此處能夠把0理解為x2x3)2，自然此題還有簡使證法.8（2）基本不等式其實是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,an)調解均勻Hnn111a1a2an幾何均勻Gnna1a2an算術均勻Ana1a2ann平方均勻Qna12a22an22這四個均勻值有以下關系：HnGnAnQn，其中等號當且僅當a1a2an時建立.例7：利用排序不等式證明GnAn.【證明】令biai,(i1,2,,n)則b1b2bn1，故可取x1,x2,xn0，使得Gnb1x1,b2x2,,bn1xn1,bnxn由排序不等式有：x2x3xnx1=x1x2xn（亂序和）x2x3x1x11x21xn1（逆序和）x1x2xn=n，【評論】對1,1,,1各數(shù)利用算術均勻大于等于幾何均勻即可得，GnAn.a1a2an例8：證明：對于隨意正整數(shù)R，有(11)n(11)n1.nn1【思路剖析】原不等式等價于n1(11)n11，故可想法使其左側轉變?yōu)閚個nn1數(shù)的幾何均勻，而右邊為其算術均勻.【略證】n1(11)n(11)(11)1(11)(11)1n211.nn1nnnnn1n1n個n1【評論】（1）利用均值不等式證明不等式的重點是經(jīng)過分拆和轉變，使其兩邊與均值不等式形式鄰近.近似可證(11)