《數(shù)值計算方法》復(fù)習(xí)資料全

/《數(shù)值計算方法》復(fù)習(xí)資料

第一章數(shù)值計算方法與誤差分析

第二章非線性方程的數(shù)值解法第三章線性方程組的數(shù)值解法

第四章插值與曲線擬合第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分

第六章常微分方程的數(shù)值解法自測題課程的性質(zhì)與任務(wù)數(shù)值計算方法是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的基礎(chǔ)課,在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),線性代數(shù)和算法語言的基礎(chǔ)上,通過本課程的學(xué)習(xí)及上機(jī)實(shí)習(xí)、使學(xué)生正確理解有關(guān)的基本概念和理論,掌握常用的基本數(shù)值方法,培養(yǎng)應(yīng)用計算機(jī)從事科學(xué)與工程計算的能力,為以后的學(xué)習(xí)及應(yīng)用打下良好基礎(chǔ)。數(shù)值計算方法與誤差分析一考核知識點(diǎn)誤差的來源類型；絕對誤差和絕對誤差限,相對誤差和相對誤差限,有效數(shù)字；絕對誤差的傳播。二復(fù)習(xí)要求 1.知道產(chǎn)生誤差的主要來源。 2.了解絕對誤差和絕對誤差限、相對誤差和相對誤差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。3.知道四則運(yùn)算中的誤差傳播公式。三例題例1設(shè)x*==3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1,它的絕對誤差是－0.0015926…,有即n=3,故x=3.14有3位有效數(shù)字.x=3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位.又近似值x=3.1416,它的絕對誤差是0.0000074…,有即m=1,n＝5,x=3.1416有5位有效數(shù)字.而近似值x=3.1415,它的絕對誤差是0.0000926…,有即m=1,n＝4,x=3.1415有4位有效數(shù)字.這就是說某數(shù)有s位數(shù),若末位數(shù)字是四舍五入得到的,那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；例2

指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字,及其絕對誤差限和相對誤差限： 2.0004－0.00200 9000 9000.00解因?yàn)閤1=2.0004＝0.20004×101,它的絕對誤差限0.00005=0.5×101―5,即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效數(shù)字.a1=2,相對誤差限x2=－0.00200,絕對誤差限0.000005,因?yàn)閙=－2,n=3,x2=－0.00200有3位有效數(shù)字.a1=2,相對誤差限r(nóng)==0.0025x3=9000,絕對誤差限為0.5×100,因?yàn)閙=4,n=4,x3=9000有4位有效數(shù)字,a=9,相對誤差限r(nóng)＝＝0.000056x4=9000.00,絕對誤差限0.005,因?yàn)閙=4,n=6,x4=9000.00有6位有效數(shù)字,相對誤差限為r＝＝0.00000056由x3與x4可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的0,不是可有可無的,它是有實(shí)際意義的.例3ln2=0.69314718…,精確到10－3的近似值是多少？解精確到10－3＝0.001,意旨兩個近似值x1,x2滿足,由于近似值都是四舍五入得到的,要求滿足,近似值的絕對誤差限應(yīng)是＝0.0005,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。故ln20.693。第二章非線性方程的數(shù)值解法 一

考核知識點(diǎn)二分法；迭代法；牛頓法；弦截法。二復(fù)習(xí)要求1.知道有根區(qū)間概念,和方程f<x>=0在區(qū)間<a,b>有根的充分條件。2.掌握方程求根的二分法,知道其收斂性；掌握二分法二分次數(shù)公式,掌握迭代法,知道其收斂性。 3.熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。 4.掌握弦截法。三例題例1證明方程1－x－sinx＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個根,使用二分法求誤差不超過0.5×10－4的根要迭代多少次？證明令f<x>＝1－x－sinx,∵f<0>=1>0,f<1>=－sin1<0∴f<x>=1－x－sinx=0在[0,1]有根.又f<x>=1－cosx>0<x[0.1]>,故f<x>＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有唯一實(shí)根.給定誤差限＝0.5×10－4,有只要取n＝14.例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根.計算過程保留4位小數(shù). [分析]容易判斷[1,2]是方程的有根區(qū)間.若建立迭代格式,此時迭代發(fā)散.建立迭代格式,此時迭代收斂.解建立迭代格式取1.5185例3用弦截法求方程x3－x2－1＝0,在x=1.5附近的根.計算中保留5位小數(shù)點(diǎn). [分析]先確定有根區(qū)間.再代公式.解f<x>=x3－x2－1,f<1>=－1,f<2>=3,有根區(qū)間取[1,2].取x1=1,迭代公式為<n=1,2,…>取1.46553,f<1.46553>－0.000145例4選擇填空題 1.設(shè)函數(shù)f<x>在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若滿足,則方程f<x>=0在區(qū)間[a,b]一定有實(shí)根.答案：f<a>f<b><0解答：因?yàn)閒<x>在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號,由連續(xù)函數(shù)的介值定理,必存在c,使得f<c>=0,故f<x>=0一定有根. 2.用簡單迭代法求方程f<x>=0的實(shí)根,把方程<x>=0表成x=<x>,則f<x>=0的根是<> <A>y=x與y=<x>的交點(diǎn)<B>y=x與y=<x>交點(diǎn)的橫坐標(biāo)<C>y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)<D>y=<x>與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答案：<B>解答：把f<x>=0表成x=<x>,滿足x=<x>的x是方程的解,它正是y=x與y=<x>的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 3.為求方程x3―x2―1=0在區(qū)間[1.3,1.6]內(nèi)的一個根,把方程改寫成下列形式,并建立相應(yīng)的迭代公式,迭代公式不收斂的是<> <A><B> <C> <D>答案：<A>解答：在<A>中故迭代發(fā)散.在<B>中,故迭代收斂.在<C>中,,故迭代收斂.在<D>中,類似證明,迭代收斂.第三章線性方程組的數(shù)值解法一、考核知識點(diǎn)高斯順序消去法,列主元消去法；雅可比迭代法,高斯――賽德爾迭代法,超松弛迭代法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件,迭代解數(shù)列收斂的條件。二、復(fù)習(xí)要求1.知道高斯消去法的基本思想,熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。 2.掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯――賽德爾迭代法。 3.知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件,知道迭代解數(shù)列收斂概念和上述兩種迭代法的收斂性的充分條件。三、例題例1用順序消去法解線性方程組解順序消元于是有同解方程組：回代得解：x3=－1,x2=1,x1=1。原線性方程組的解為X＝<1,1,－1>T。例2取初始向量X<0>=<0,0,0>T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代公式<k=1,2,3,…>第1次迭代,k=0,X<0>＝0,得到X<1>＝<1,3,5>T,第2次迭代,k=1,,得到X<2>＝<5,－3,－3>T第3次迭代,k=2,,得到X<3>＝<1,1,1>T第4次迭代,k=3,,得到X<4>＝<1,1,1>T例3填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2,3個方程分別為。解答1.選a21=2為主元,作行互換,第1個方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3,消元得到是應(yīng)填寫的內(nèi)容。 2.用高斯－賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中＝<k=0,1,2,…>解答高斯－賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結(jié)果,求x2的值時應(yīng)該用x1的新值。答案是： 3.當(dāng)<>時,線性方程組的迭代解一定收斂。 <A>>6<B>=6<C><6<D>>6解答：當(dāng)a>6時,線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,由教材第3章定理知,迭代解一定收斂。應(yīng)選擇<A>。第四章插值與曲線擬合一考核知識點(diǎn)插值函數(shù),插值多項式,被插值函數(shù),節(jié)點(diǎn)；拉格朗日插值多項式：插值基函數(shù)；差商及其性質(zhì),牛頓插值多項式；分段線性插值、線性插值基函數(shù),最小二乘法,直線擬合。二復(fù)習(xí)要求 1.了解插值函數(shù),插值節(jié)點(diǎn)等概念。 2.熟練掌握拉格朗日插值多項式的公式,知道拉格朗日插值多項式余項。 3.掌握牛頓插值多項式的公式,了解差商概念和性質(zhì),掌握差商表的計算,知道牛頓插值多項式的余項。 4.掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。 5.了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過程,以及線性擬合和二次多項式擬合的方法,三例題例1已知函數(shù)y=f<x>的觀察數(shù)據(jù)為xk－2045yk51－31試構(gòu)造f<x>的拉格朗日多項式Pn<x>,并計算f<－1>。解先構(gòu)造基函數(shù)所求三次多項式為P3<x>=＝＋－＋＝P3<－1>＝例2已知函數(shù)y=f<x>的數(shù)據(jù)如表中第2,3列。計算它的各階均差。解依據(jù)均差計算公式,結(jié)果列表中。kxkf<xk>一階均差二階均差三階均差四階均差00.400.41075

10.550.578151.11600

20.650.696751.168000.28000

30.800.888111.275730.358930.19733

40.901.201521.384100.433480.213000.03134計算公式為：一階均差二階均差 ………例3設(shè)是n+1個互異的插值節(jié)點(diǎn),是拉格朗日插值基函數(shù),證明：證明Pn<x>=y0l0<x>+y1l1<x>+…+ynln<x>當(dāng)f<x>1時,1＝由于

,故有例4滿足條件的插值多項式p<x>=_________________解設(shè)所求的為p<x>=a0+a1x+a2x2+a3x3由插值條件知解之得a2=3/2a3=-1/2所求的插值多項式為p<x>=-1/2x3+3/2x2例5選擇填空題1.通過四個互異節(jié)點(diǎn)的插值多項式P<x>,只要滿足<>,則P<x>是不超過一次的多項式。 <A>初始值y0=0<B>一階均差為0<C>二階均差為0<D>三階均差為0解答：因?yàn)槎A均差為0,那么牛頓插值多項式為N<x>=f<x0>+f<x0,x1><x－x0>它是不超過一次的多項式。故選擇<C>正確。2.拉格朗日插值多項式的余項是<>,牛頓插值多項式的余項是<><A><B>f<x,x0,x1,x2,…,xn><x－x1><x－x2>…<x－xn－1><x－xn><C><D>f<x,x0,x1,x2,…,xn><x－x0><x－x1><x－x2>…<x－xn－1><x－xn>解答：<A>,<D>。第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分一考核知識點(diǎn)數(shù)值求積公式,求積節(jié)點(diǎn),求積系數(shù),代數(shù)精度；插值型求積公式,牛頓――柯特斯求積公式,柯特斯系數(shù)及其性質(zhì),<復(fù)化>梯形求積公式,<復(fù)化>辛卜生求積公式；高斯型求積公式,高斯點(diǎn),<二點(diǎn)、三點(diǎn)>高斯――勒讓德求積公式；<二點(diǎn)、三點(diǎn)>插值型求導(dǎo)公式。二復(fù)習(xí)要求 1.了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。 2.了解牛頓柯特斯求積公式和柯特斯系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)<復(fù)化>梯形求積公式和<復(fù)化>辛卜生求積公式。 3.知道高斯求積公式和高斯點(diǎn)概念。會用高斯勒讓德求積公式求定積分的近似值。 4.知道插值型求導(dǎo)公式概念,掌握兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式。三例題例1試確定求積公式的代數(shù)精度。解當(dāng)f<x>取1,x,x2,…計算求積公式何時精確成立。<1>取f<x>=1,有：左邊＝,右邊＝2 <2>取f<x>=x,有：左邊＝,右邊＝0 <3>類似導(dǎo)出,取f<x>=x2,x3,有左邊=右邊 <5>取f<x>=x4,有：左邊=2/5,右邊=2/9當(dāng)k3求積公式精確成立,而x4公式不成立,可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2試用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式計算定積分<計算結(jié)果取5位有效數(shù)字><1>用梯形公式計算<2>用柯特斯公式系數(shù)為＝ <3>如果要求精確到10－5,用復(fù)化辛卜生公式,截斷誤差為RN[f],N2只需把[0.5,1]4等分,分點(diǎn)為0.5,0.625,0.75,0.875,1例3用三點(diǎn)高斯－勒讓德求積公式計算積分解做變量替換,有＝。查表得節(jié)點(diǎn)為0.774596669和0；系數(shù)分別為0.5555555556和0.8888888889＝+0.888888889×＋＝0.94083124例4已知函數(shù)值f<1.0>=0.250000,f<1.1>=0.226757,f<1.2>=0.206612,用三點(diǎn)公式計算在x=1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值。解三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為k=1,2,3,…,n－1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1。于是有例5選擇填空題 1.如果用復(fù)化梯形公式計算定積分,要求截斷誤差不超過0.5×10－4,試問n<> <A>41<B>42<C>43<D>40解答；復(fù)化的梯形公式的截斷誤差為,n=40.8,取n41。故選擇<A>。 2.已知n=3時,柯特斯系數(shù),那么＝解答：由柯特斯系數(shù)的歸一性質(zhì),常微分方程的數(shù)值解法一考核知識點(diǎn)尤拉公式,梯形公式,改進(jìn)尤拉法,局部截斷誤差；龍格――庫塔法,局部截斷誤差。二復(fù)習(xí)要求1.掌握尤拉法和改進(jìn)的尤拉法<梯形公式、預(yù)報－校正公式>,知道其局部截斷誤差。2.知道龍格庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格庫塔法。掌握四階龍格――庫塔法,知道龍格庫塔法的局部截斷誤差。三例題例1用尤拉法解初值問題,取步長h=0.2。計算過程保留6位小數(shù)。解h=0.2,f<x>=－y－x