斜拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)的擴(kuò)展性應(yīng)用

PAGEPAGE1斜拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)的擴(kuò)展性應(yīng)用安徽省肥東一中李昌棟（郵編231600）YθV0XO首先回顧一下斜拋運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律：設(shè)將一質(zhì)點(diǎn)以初速VYθV0XO豎直速度和水平速度分別為：軌跡方程為：Y=Xtgθ－X2幾個(gè)重要結(jié)論（落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)在同一水平面上）：水平射程為：，射高為：,飛行時(shí)間：T=。對(duì)同一初速V0有兩個(gè)拋射角和θ2對(duì)應(yīng)的水平射程X相等，且θ1+θ2=90°當(dāng)θ1=θ2=45°時(shí)X最大為下面研究幾個(gè)問(wèn)題：一、相同的水平射程問(wèn)題從離地面的高度為h的固定點(diǎn)Α，將甲球以速度V0拋出，拋射角為α，0<α<π/2，若在Α點(diǎn)前方適當(dāng)?shù)牡胤椒乓毁|(zhì)量非常大的平板OG，讓甲球與平板作完全彈性碰撞，并使碰撞點(diǎn)與Α點(diǎn)等高，如圖所示，則當(dāng)平板傾角θ為恰當(dāng)值時(shí)（0<θ<π/2），甲球恰好能回到Α點(diǎn)。另有一小球乙，在甲球自Α點(diǎn)拋出的同時(shí)，從Α點(diǎn)自由落下，與地面作完全彈性碰撞。試討論V0、α、θ應(yīng)滿足怎樣的一些條件，才能使乙球與地面碰撞一次后與甲球同時(shí)回到Α點(diǎn)。這是一道全國(guó)競(jìng)賽題。要迅速解答此題，只要抓住兩點(diǎn)：（1）甲、乙同時(shí)從Α出發(fā)并同時(shí)回到Α點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同。（2）乙先做自由落體運(yùn)動(dòng)，后作豎直上拋運(yùn)動(dòng)；甲來(lái)回均為斜拋運(yùn)動(dòng)，且落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)在同一水平面上，水平射程相同。初速率相同。其中關(guān)鍵在于對(duì)甲的運(yùn)動(dòng)分析。解答如下：甲、乙從Α點(diǎn)出發(fā)到回到Α點(diǎn)所用時(shí)間有：t甲=t乙……①t乙=2……②設(shè)碰撞后甲球從板彈回時(shí)的拋射角為α′,如圖所示.則α和α`相等或互余。即：α′=α

或α′=-α

③且t甲=＋=④下面分兩種情況討論題求條件。I.α′=α的情形：表示甲球射到平板時(shí)速度的方向與它從平板反彈出時(shí)速度的方向相反,故甲球必沿板的法線方向射向平板,反彈后,甲球沿原來(lái)的路徑返回Α點(diǎn),因此有α′=α,α+θ=所以有θ=-α……

⑤。

因?yàn)?/p>

t甲=t乙故有=2……

⑥

即

sinα=

或

α=sin-1

……

⑦

因

sinα<1,由⑨式得v0>

……⑧

當(dāng)滿足v0>

且

α=sin-1

、θ=-α?xí)r甲球才能沿原路返回Α點(diǎn)并與乙球相遇.

Ⅱ.而α′=-α的情形,表示甲球沿與平板的法線成某一角度的方向射向平板,沿位于法線另一側(cè)與法線成相同角度的方向彈出,然后甲球沿另一條路徑回到Α點(diǎn).由圖中的幾何關(guān)系可知

α+(α-α′)+θ=

由④⑤兩式,得θ=

……

⑨

sinффπ02π

因?yàn)閠甲=t乙sinффπ02π

解得sin(+α)=

α=sin-1-

……

因

0<α<,故有sin(+α)>sin=

，

且sin(α+)≤1，

故>V0≥

……

綜合以上討論,結(jié)論為:當(dāng)V0>,且當(dāng)α=sin-1,θ=-α,甲球沿原路徑返回Α點(diǎn)的同時(shí),乙球也回到Α點(diǎn);當(dāng)>V0>,且當(dāng)α=sin-1-,θ=,甲球還可沿另一路徑回到Α點(diǎn),這時(shí),乙球也正好回到Α點(diǎn).二、擊中空間某一定點(diǎn)的最小速率問(wèn)題αYαYXOP(x、y)V0βH解：取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖所示不難得到軌跡方程為：Y=Xtgα－X2=Xtgα－（1+tg2α）.整理得到：tg2α－tgα+（1+Y）=0.設(shè)兩根分別為tgα1、tgα2，則由韋達(dá)定理得：tg（α1+α2）=∴α1+α2=+β當(dāng)α1=α2=+時(shí)，對(duì)于確定的X、Y，V0有最小值。其實(shí)，如果只要求V0的最小值，還可以由判別式入手∵tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使tgα有解，判別式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不難得到：V20min=g（+Y）,V0min=例題：足球運(yùn)動(dòng)員在11m遠(yuǎn)處的罰球點(diǎn)準(zhǔn)確地從橫梁下邊沿踢進(jìn)一球。橫梁下邊沿離地高度為h=2.5m,足球質(zhì)量為m=0.5kg，空氣阻力不計(jì)。必須傳遞給這個(gè)足球的最小能量Emin是多少（此為全俄中學(xué)生賽題）？由以上結(jié)論可知：Emin=mV20min=mg（+Y）=34J（此題可以從動(dòng)能表達(dá)式、速度和位移公式入手求解）三、對(duì)于確定的初速率，求擊中某一定水平距離處的最高點(diǎn)問(wèn)題。在問(wèn)題二中有：tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使α有解，判別式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不難得到Y(jié)max=－.即Ymax=－當(dāng)X=0時(shí)，得到Y(jié)max=，此即豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大高度。四、安全拋物面問(wèn)題如圖所示，在三維空間中,當(dāng)V0一定，能夠擊中XOZ平面中某一定點(diǎn)（X、Z）正上方的最大高度Y是多少呢？XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)OXYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)O所以Y=－。此即為安全拋物面方程QX`QX`YZP(d、Y、Z)OXhdMNV0d`B如圖所示，在距O點(diǎn)為d處放一個(gè)平行于YOZ平面的靶平面，此平面上有一條直線MN，平行于OZ軸且到X軸的高度為h?，F(xiàn)在O處以初速V0射擊靶平面，且要求子彈擊中直線MN，求瞄準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)該滿足的方程。解答如下：瞄準(zhǔn)點(diǎn)在靶平面上，X=d，瞄準(zhǔn)點(diǎn)設(shè)為P(d、Y、Z)，其方程形式應(yīng)為f(Y、Z)=0，擊中點(diǎn)為Q如圖所示。我們將子彈的運(yùn)動(dòng)分解為由O→P的勻速直線運(yùn)動(dòng)和由P到Q的自由落體運(yùn)動(dòng)。而OP=，Q點(diǎn)到P點(diǎn)的距離為Y－d。故有：=整理得到：=令r2=，得=r2此即瞄準(zhǔn)點(diǎn)方程由此可知瞄準(zhǔn)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)園，圓心為（d、、0），半徑是r=討論：①因?yàn)椋璻≤Z≤r，所以只能擊中MN直線上一段長(zhǎng)為2r的部分。XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)O六、煙花問(wèn)題設(shè)在空中某一點(diǎn)以同一速率，將n個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)向各個(gè)不同方向拋出，試證明落地前由這些質(zhì)點(diǎn)都將位于同一球面上。證明：以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，任取一豎直平面X`OY，得到=(V0t)2。又因X`2=X2+Z2，所以有：=(V0t)2這是球面方程。即落地前，各小球均位于同一球面上，球面半徑在均勻增大（r=V0