2017第34屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題和答案

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2017第34屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題和答案

第34屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題解答

20XX年9月16日

一、（40分）一具半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于一具半徑為R、質(zhì)量為M的薄圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為

g。試在下述兩種情形下，求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動的頻率：

（1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無滑滾動；

（2）圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動，小圓柱仍在圓筒內(nèi)底部附近作無滑滾動。

解：

（1）如圖，θ為在某時間小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角。小圓柱受三個力作用：重力，圓筒對小圓柱的支持力和靜摩擦力。設(shè)圓筒對小圓柱的靜摩擦

力大小為F，方向沿兩圓柱切點(diǎn)的

切線方向（向右為正）。思考小圓柱質(zhì)心的運(yùn)動，由質(zhì)心運(yùn)動定理得

sinFmgmaθ-=①

Rθθ1

R

式中，a是小圓柱質(zhì)心運(yùn)動的加速度。由于小圓柱與圓筒間作無滑滾動，小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過的角度1

θ（規(guī)定小圓柱在最低點(diǎn)時1

0θ=）與θ之間的關(guān)系為

1

()Rrθθθ=+②由②式得，a與θ的關(guān)系為

22

12

2

()ddarRrdtdtθθ==-③

思考小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定理得

212

drFIdtθ-=

④

式中，I是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動慣量2

12

Imr=⑤

由①②③④⑤式及小角近似

sinθθ≈⑥得

22

203()

θθ+=-dg

dtRr⑦

由⑦式知，小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動是簡諧振動，其振動頻率為

1π6()g

fRr=-⑧（2）用F表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小，1

θ和2

θ分不為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過的角度（規(guī)定

小圓柱相關(guān)于大圓筒向右運(yùn)動為正方向，開始時小圓柱處于最低點(diǎn)位置1

20θθ==）。關(guān)于小圓柱，由轉(zhuǎn)動定理得

22

12

12θ

??-=?

??

dFrmrdt⑨

關(guān)于圓筒，同理有

22

22

()θ=dFRMRdt

⑩

由⑨⑩式得

221222

21θθ??

-+=-???

ddFrRmMdtdt

?

設(shè)在圓柱橫截面上小圓柱質(zhì)心到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角θ，由于小圓柱與圓筒間做無滑滾動，有

1

2

()θθθθ=+-RrR?

由?式得

222

12

2

2

2

()θθθ-=-dddRrrRdtdtdt

?

設(shè)小圓柱質(zhì)心沿運(yùn)動軌跡切線方向的加速度為a，由質(zhì)心運(yùn)動定理得

sinFmgmaθ-=?

由?式得

22

()θ=-daRrdt

?

由????式及小角近似sinθθ≈，得

22

203dMmg

dtMmRr

θθ++=+-?

由?式可知，小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動是簡諧振動，其振動頻率為

122π3Mmg

fMmRr+=+-?

評分參考：第（1）咨詢20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）咨詢20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。二、（40分）星體P（行星或彗星）繞太陽運(yùn)動的軌跡為圓錐曲線1coskrεθ=+

式中，r是P到太陽S的距離，θ是矢徑SP相關(guān)于極軸SA的夾角（以逆時針方向?yàn)?/p>

正），2

2

L

kGMm=,L是P相關(guān)于太

陽的角動量，11

3

1

2

6.6710mkgsG=???為引力常量，

30

1.9910kgM≈?為太陽的質(zhì)量，22

2

3

21ELGMm

ε=

+m和E分不為P的質(zhì)量和機(jī)械能。假設(shè)有一顆彗星

SABC

Rr

PθD

繞太陽運(yùn)動的軌道為拋物線，地球繞太陽運(yùn)動的軌道可近似為圓，兩軌道相交于C、D兩點(diǎn)，如圖所示。已知地球軌道半徑11

E

1.4910mR≈?，彗星軌道近日點(diǎn)A到太陽的距離為地球軌道半徑的三分之一，別思考地球和彗星之間的相互妨礙。求彗星

（1）先后兩次穿過地球軌道所用的時刻；（2）通過C、D兩點(diǎn)時速度的大小。

已知積分公式()()3/21/2

2

23

xaaxaCxa=+-+++，式中C是任意常數(shù)。

解：

（1）由題設(shè)，彗星的運(yùn)動軌道為拋物線，故

1,0Eε==①

彗星繞太陽運(yùn)動的軌道方程為：

1cosk

rθ=+②

彗星繞太陽運(yùn)動過程中，機(jī)械能守恒

()2

2

2

1022LmrVrEmr

++==&③

式中

()MmVrGr=-④

當(dāng)彗星運(yùn)動到近日點(diǎn)A時，其徑向速度為零，設(shè)其到太陽的距離為min

r，由③式得

()2min

2min

min

2LMm

VrGmrr

=-=⑤

由⑤式和題給條件得

2

E

min

2

23

L

Rr

GMm==

⑥

由③式得

2

222drGMLdtrmr

=-

或

2

222dtGML

rmr

=

-

⑦

設(shè)彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動到與地球軌道的交點(diǎn)C所需的時刻為t?，對⑦式兩邊積分，并利用⑥式得

E

E

E

2

3

E

22223

RRRrtGMR

GMLrrmr

?==

-

-??⑧

對⑧式應(yīng)用題給積分公式得

E3

E

3/21/2

EEEEE32

E23

223333210327RRtGM

RrRRRRRGM

RGM

?=

-??????=

-+-?????

????=

?

⑨

由對稱性可知，彗星兩次穿越地球軌道所用的時刻間隔為

32

E

203227R

TtGM

=?=⑩

將題給數(shù)據(jù)代入⑩式得

6

6.4010sT≈??

（2）彗星在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒

2

102GMm

mEr

-==v?

式中v是彗星離太陽的距離為r時的運(yùn)行速度的大小。由?式有

2GMr=v?

當(dāng)彗星通過C、D處時

C

D

E

rrR==

?

由??式得，彗星通過C、D兩點(diǎn)處的速度的大小為

C

D

E

2GMR

==vv?

由?式和題給數(shù)據(jù)得

4

C

D

4.2210m/s==?vv?

評分參考：第（1）咨詢28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；第（2）咨詢12分，?式4分，????式各2分。

三、（40分）一質(zhì)量為

M

的載重卡車A的水

平車板上載有一質(zhì)量

為m的重物B，在水平直公路上以速度0

v做勻速直

線運(yùn)動，重物與車廂前壁間的距離為L（0L>）。因發(fā)生緊急事情，卡車忽然制動。已知卡車車輪與地面間的動摩擦因數(shù)和最大靜摩擦因數(shù)均為

A

B

L

1

μ，重物與車廂底板間的動摩擦因數(shù)和最大靜摩

擦因數(shù)均為2

μ（2

1

μμ<）。若重物與車廂前壁發(fā)生碰撞，則假定碰撞時間極短，碰后重物與車廂前壁不分開。重力加速度大小為g。

（1）若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞，求卡車從制動開始到卡車停止的過程所花的時刻和走過的路程、重物從制動開始到重物停止的過程所花的時刻和走過的路程，并導(dǎo)出重物B與車廂前壁別發(fā)生碰撞的條件；

（2）若重物和車廂前壁發(fā)生碰撞，求卡車從制動開始到卡車和重物都停止的過程所記憶的時刻、卡車走過的路程、以及碰撞過程中重物對車廂前壁的沖量。解：

（1）若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞?？ㄜ囋谒街惫飞献鰟驕p速運(yùn)動，設(shè)其加速度大小為1

a。由牛頓第二定律有

121

()MmgmgMaμμ+-=

①由①式得

1121()Mm

ag

M

μμμ+-=

由勻減速運(yùn)動公式，卡車從制動開始到靜止時所用的時刻1

t和挪移的距離1

s分不為

0011112()M

taMmg

μμμ==

+-vv，

2200111122()2MsaMmg

μμμ==

+-vv

②

重物B在卡車A的車廂底板上做勻減速直線運(yùn)動，設(shè)B相關(guān)于地面的加速度大小為2

a。由

牛頓第