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精品文檔第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦2017第34屆全國(guó)中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題和答案
2017第34屆全國(guó)中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題和答案
第34屆全國(guó)中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題解答
20XX年9月16日
一、(40分)一具半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于一具半徑為R、質(zhì)量為M的薄圓筒中,圓筒和小圓柱的中心軸均水平,橫截面如圖所示。重力加速度大小為
g。試在下述兩種情形下,求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動(dòng)的頻率:
(1)圓筒固定,小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng);
(2)圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng),小圓柱仍在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)。
解:
(1)如圖,θ為在某時(shí)間小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角。小圓柱受三個(gè)力作用:重力,圓筒對(duì)小圓柱的支持力和靜摩擦力。設(shè)圓筒對(duì)小圓柱的靜摩擦
力大小為F,方向沿兩圓柱切點(diǎn)的
切線方向(向右為正)。思考小圓柱質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得
sinFmgmaθ-=①
Rθθ1
R
式中,a是小圓柱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度。由于小圓柱與圓筒間作無(wú)滑滾動(dòng),小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度1
θ(規(guī)定小圓柱在最低點(diǎn)時(shí)1
0θ=)與θ之間的關(guān)系為
1
()Rrθθθ=+②由②式得,a與θ的關(guān)系為
22
12
2
()ddarRrdtdtθθ==-③
思考小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得
212
drFIdtθ-=
④
式中,I是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2
12
Imr=⑤
由①②③④⑤式及小角近似
sinθθ≈⑥得
22
203()
θθ+=-dg
dtRr⑦
由⑦式知,小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)頻率為
1π6()g
fRr=-⑧(2)用F表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小,1
θ和2
θ分不為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過(guò)的角度(規(guī)定
小圓柱相關(guān)于大圓筒向右運(yùn)動(dòng)為正方向,開(kāi)始時(shí)小圓柱處于最低點(diǎn)位置1
20θθ==)。關(guān)于小圓柱,由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得
22
12
12θ
??-=?
??
dFrmrdt⑨
關(guān)于圓筒,同理有
22
22
()θ=dFRMRdt
⑩
由⑨⑩式得
221222
21θθ??
-+=-???
ddFrRmMdtdt
?
設(shè)在圓柱橫截面上小圓柱質(zhì)心到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角θ,由于小圓柱與圓筒間做無(wú)滑滾動(dòng),有
1
2
()θθθθ=+-RrR?
由?式得
222
12
2
2
2
()θθθ-=-dddRrrRdtdtdt
?
設(shè)小圓柱質(zhì)心沿運(yùn)動(dòng)軌跡切線方向的加速度為a,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得
sinFmgmaθ-=?
由?式得
22
()θ=-daRrdt
?
由????式及小角近似sinθθ≈,得
22
203dMmg
dtMmRr
θθ++=+-?
由?式可知,小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)頻率為
122π3Mmg
fMmRr+=+-?
評(píng)分參考:第(1)咨詢20分,①②式各3分,③式2分,④式3分,⑤⑥式各2分,⑦式3分,⑧式2分;第(2)咨詢20分,⑨⑩?式各2分,?式3分,???式各2分,?式3分,?式2分。二、(40分)星體P(行星或彗星)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓錐曲線1coskrεθ=+
式中,r是P到太陽(yáng)S的距離,θ是矢徑SP相關(guān)于極軸SA的夾角(以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?/p>
正),2
2
L
kGMm=,L是P相關(guān)于太
陽(yáng)的角動(dòng)量,11
3
1
2
6.6710mkgsG=???為引力常量,
30
1.9910kgM≈?為太陽(yáng)的質(zhì)量,22
2
3
21ELGMm
ε=
+m和E分不為P的質(zhì)量和機(jī)械能。假設(shè)有一顆彗星
SABC
Rr
PθD
繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為拋物線,地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道可近似為圓,兩軌道相交于C、D兩點(diǎn),如圖所示。已知地球軌道半徑11
E
1.4910mR≈?,彗星軌道近日點(diǎn)A到太陽(yáng)的距離為地球軌道半徑的三分之一,別思考地球和彗星之間的相互妨礙。求彗星
(1)先后兩次穿過(guò)地球軌道所用的時(shí)刻;(2)通過(guò)C、D兩點(diǎn)時(shí)速度的大小。
已知積分公式()()3/21/2
2
23
xaaxaCxa=+-+++,式中C是任意常數(shù)。
解:
(1)由題設(shè),彗星的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線,故
1,0Eε==①
彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為:
1cosk
rθ=+②
彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,機(jī)械能守恒
()2
2
2
1022LmrVrEmr
++==&③
式中
()MmVrGr=-④
當(dāng)彗星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)A時(shí),其徑向速度為零,設(shè)其到太陽(yáng)的距離為min
r,由③式得
()2min
2min
min
2LMm
VrGmrr
=-=⑤
由⑤式和題給條件得
2
E
min
2
23
L
Rr
GMm==
⑥
由③式得
2
222drGMLdtrmr
=-
或
2
222dtGML
rmr
=
-
⑦
設(shè)彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與地球軌道的交點(diǎn)C所需的時(shí)刻為t?,對(duì)⑦式兩邊積分,并利用⑥式得
E
E
E
2
3
E
22223
RRRrtGMR
GMLrrmr
?==
-
-??⑧
對(duì)⑧式應(yīng)用題給積分公式得
E3
E
3/21/2
EEEEE32
E23
223333210327RRtGM
RrRRRRRGM
RGM
?=
-??????=
-+-?????
????=
?
⑨
由對(duì)稱性可知,彗星兩次穿越地球軌道所用的時(shí)刻間隔為
32
E
203227R
TtGM
=?=⑩
將題給數(shù)據(jù)代入⑩式得
6
6.4010sT≈??
(2)彗星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒
2
102GMm
mEr
-==v?
式中v是彗星離太陽(yáng)的距離為r時(shí)的運(yùn)行速度的大小。由?式有
2GMr=v?
當(dāng)彗星通過(guò)C、D處時(shí)
C
D
E
rrR==
?
由??式得,彗星通過(guò)C、D兩點(diǎn)處的速度的大小為
C
D
E
2GMR
==vv?
由?式和題給數(shù)據(jù)得
4
C
D
4.2210m/s==?vv?
評(píng)分參考:第(1)咨詢28分,①式4分,②式2分,③式4分,④式2分,⑤式4分,⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分;第(2)咨詢12分,?式4分,????式各2分。
三、(40分)一質(zhì)量為
M
的載重卡車A的水
平車板上載有一質(zhì)量
為m的重物B,在水平直公路上以速度0
v做勻速直
線運(yùn)動(dòng),重物與車廂前壁間的距離為L(zhǎng)(0L>)。因發(fā)生緊急事情,卡車忽然制動(dòng)。已知卡車車輪與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和最大靜摩擦因數(shù)均為
A
B
L
1
μ,重物與車廂底板間的動(dòng)摩擦因數(shù)和最大靜摩
擦因數(shù)均為2
μ(2
1
μμ<)。若重物與車廂前壁發(fā)生碰撞,則假定碰撞時(shí)間極短,碰后重物與車廂前壁不分開(kāi)。重力加速度大小為g。
(1)若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞,求卡車從制動(dòng)開(kāi)始到卡車停止的過(guò)程所花的時(shí)刻和走過(guò)的路程、重物從制動(dòng)開(kāi)始到重物停止的過(guò)程所花的時(shí)刻和走過(guò)的路程,并導(dǎo)出重物B與車廂前壁別發(fā)生碰撞的條件;
(2)若重物和車廂前壁發(fā)生碰撞,求卡車從制動(dòng)開(kāi)始到卡車和重物都停止的過(guò)程所記憶的時(shí)刻、卡車走過(guò)的路程、以及碰撞過(guò)程中重物對(duì)車廂前壁的沖量。解:
(1)若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞??ㄜ囋谒街惫飞献鰟驕p速運(yùn)動(dòng),設(shè)其加速度大小為1
a。由牛頓第二定律有
121
()MmgmgMaμμ+-=
①由①式得
1121()Mm
ag
M
μμμ+-=
由勻減速運(yùn)動(dòng)公式,卡車從制動(dòng)開(kāi)始到靜止時(shí)所用的時(shí)刻1
t和挪移的距離1
s分不為
0011112()M
taMmg
μμμ==
+-vv,
2200111122()2MsaMmg
μμμ==
+-vv
②
重物B在卡車A的車廂底板上做勻減速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)B相關(guān)于地面的加速度大小為2
a。由
牛頓第
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