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2017第34屆全國(guó)中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題和答案

第34屆全國(guó)中學(xué)生物理比賽復(fù)賽理論考試試題解答

20XX年9月16日

一、(40分)一具半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于一具半徑為R、質(zhì)量為M的薄圓筒中,圓筒和小圓柱的中心軸均水平,橫截面如圖所示。重力加速度大小為

g。試在下述兩種情形下,求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動(dòng)的頻率:

(1)圓筒固定,小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng);

(2)圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng),小圓柱仍在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)。

解:

(1)如圖,θ為在某時(shí)間小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角。小圓柱受三個(gè)力作用:重力,圓筒對(duì)小圓柱的支持力和靜摩擦力。設(shè)圓筒對(duì)小圓柱的靜摩擦

力大小為F,方向沿兩圓柱切點(diǎn)的

切線方向(向右為正)。思考小圓柱質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

sinFmgmaθ-=①

Rθθ1

R

式中,a是小圓柱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度。由于小圓柱與圓筒間作無(wú)滑滾動(dòng),小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度1

θ(規(guī)定小圓柱在最低點(diǎn)時(shí)1

0θ=)與θ之間的關(guān)系為

1

()Rrθθθ=+②由②式得,a與θ的關(guān)系為

22

12

2

()ddarRrdtdtθθ==-③

思考小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng),由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

212

drFIdtθ-=

式中,I是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2

12

Imr=⑤

由①②③④⑤式及小角近似

sinθθ≈⑥得

22

203()

θθ+=-dg

dtRr⑦

由⑦式知,小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)頻率為

1π6()g

fRr=-⑧(2)用F表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小,1

θ和2

θ分不為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過(guò)的角度(規(guī)定

小圓柱相關(guān)于大圓筒向右運(yùn)動(dòng)為正方向,開(kāi)始時(shí)小圓柱處于最低點(diǎn)位置1

20θθ==)。關(guān)于小圓柱,由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得

22

12

12θ

??-=?

??

dFrmrdt⑨

關(guān)于圓筒,同理有

22

22

()θ=dFRMRdt

由⑨⑩式得

221222

21θθ??

-+=-???

ddFrRmMdtdt

?

設(shè)在圓柱橫截面上小圓柱質(zhì)心到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾角θ,由于小圓柱與圓筒間做無(wú)滑滾動(dòng),有

1

2

()θθθθ=+-RrR?

由?式得

222

12

2

2

2

()θθθ-=-dddRrrRdtdtdt

?

設(shè)小圓柱質(zhì)心沿運(yùn)動(dòng)軌跡切線方向的加速度為a,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

sinFmgmaθ-=?

由?式得

22

()θ=-daRrdt

?

由????式及小角近似sinθθ≈,得

22

203dMmg

dtMmRr

θθ++=+-?

由?式可知,小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)頻率為

122π3Mmg

fMmRr+=+-?

評(píng)分參考:第(1)咨詢20分,①②式各3分,③式2分,④式3分,⑤⑥式各2分,⑦式3分,⑧式2分;第(2)咨詢20分,⑨⑩?式各2分,?式3分,???式各2分,?式3分,?式2分。二、(40分)星體P(行星或彗星)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡為圓錐曲線1coskrεθ=+

式中,r是P到太陽(yáng)S的距離,θ是矢徑SP相關(guān)于極軸SA的夾角(以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?/p>

正),2

2

L

kGMm=,L是P相關(guān)于太

陽(yáng)的角動(dòng)量,11

3

1

2

6.6710mkgsG=???為引力常量,

30

1.9910kgM≈?為太陽(yáng)的質(zhì)量,22

2

3

21ELGMm

ε=

+m和E分不為P的質(zhì)量和機(jī)械能。假設(shè)有一顆彗星

SABC

Rr

PθD

繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道為拋物線,地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道可近似為圓,兩軌道相交于C、D兩點(diǎn),如圖所示。已知地球軌道半徑11

E

1.4910mR≈?,彗星軌道近日點(diǎn)A到太陽(yáng)的距離為地球軌道半徑的三分之一,別思考地球和彗星之間的相互妨礙。求彗星

(1)先后兩次穿過(guò)地球軌道所用的時(shí)刻;(2)通過(guò)C、D兩點(diǎn)時(shí)速度的大小。

已知積分公式()()3/21/2

2

23

xaaxaCxa=+-+++,式中C是任意常數(shù)。

解:

(1)由題設(shè),彗星的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線,故

1,0Eε==①

彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為:

1cosk

rθ=+②

彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,機(jī)械能守恒

()2

2

2

1022LmrVrEmr

++==&③

式中

()MmVrGr=-④

當(dāng)彗星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)A時(shí),其徑向速度為零,設(shè)其到太陽(yáng)的距離為min

r,由③式得

()2min

2min

min

2LMm

VrGmrr

=-=⑤

由⑤式和題給條件得

2

E

min

2

23

L

Rr

GMm==

由③式得

2

222drGMLdtrmr

=-

2

222dtGML

rmr

=

-

設(shè)彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與地球軌道的交點(diǎn)C所需的時(shí)刻為t?,對(duì)⑦式兩邊積分,并利用⑥式得

E

E

E

2

3

E

22223

RRRrtGMR

GMLrrmr

?==

-

-??⑧

對(duì)⑧式應(yīng)用題給積分公式得

E3

E

3/21/2

EEEEE32

E23

223333210327RRtGM

RrRRRRRGM

RGM

?=

-??????=

-+-?????

????=

?

由對(duì)稱性可知,彗星兩次穿越地球軌道所用的時(shí)刻間隔為

32

E

203227R

TtGM

=?=⑩

將題給數(shù)據(jù)代入⑩式得

6

6.4010sT≈??

(2)彗星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒

2

102GMm

mEr

-==v?

式中v是彗星離太陽(yáng)的距離為r時(shí)的運(yùn)行速度的大小。由?式有

2GMr=v?

當(dāng)彗星通過(guò)C、D處時(shí)

C

D

E

rrR==

?

由??式得,彗星通過(guò)C、D兩點(diǎn)處的速度的大小為

C

D

E

2GMR

==vv?

由?式和題給數(shù)據(jù)得

4

C

D

4.2210m/s==?vv?

評(píng)分參考:第(1)咨詢28分,①式4分,②式2分,③式4分,④式2分,⑤式4分,⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分;第(2)咨詢12分,?式4分,????式各2分。

三、(40分)一質(zhì)量為

M

的載重卡車A的水

平車板上載有一質(zhì)量

為m的重物B,在水平直公路上以速度0

v做勻速直

線運(yùn)動(dòng),重物與車廂前壁間的距離為L(zhǎng)(0L>)。因發(fā)生緊急事情,卡車忽然制動(dòng)。已知卡車車輪與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和最大靜摩擦因數(shù)均為

A

B

L

1

μ,重物與車廂底板間的動(dòng)摩擦因數(shù)和最大靜摩

擦因數(shù)均為2

μ(2

1

μμ<)。若重物與車廂前壁發(fā)生碰撞,則假定碰撞時(shí)間極短,碰后重物與車廂前壁不分開(kāi)。重力加速度大小為g。

(1)若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞,求卡車從制動(dòng)開(kāi)始到卡車停止的過(guò)程所花的時(shí)刻和走過(guò)的路程、重物從制動(dòng)開(kāi)始到重物停止的過(guò)程所花的時(shí)刻和走過(guò)的路程,并導(dǎo)出重物B與車廂前壁別發(fā)生碰撞的條件;

(2)若重物和車廂前壁發(fā)生碰撞,求卡車從制動(dòng)開(kāi)始到卡車和重物都停止的過(guò)程所記憶的時(shí)刻、卡車走過(guò)的路程、以及碰撞過(guò)程中重物對(duì)車廂前壁的沖量。解:

(1)若重物和車廂前壁別發(fā)生碰撞??ㄜ囋谒街惫飞献鰟驕p速運(yùn)動(dòng),設(shè)其加速度大小為1

a。由牛頓第二定律有

121

()MmgmgMaμμ+-=

①由①式得

1121()Mm

ag

M

μμμ+-=

由勻減速運(yùn)動(dòng)公式,卡車從制動(dòng)開(kāi)始到靜止時(shí)所用的時(shí)刻1

t和挪移的距離1

s分不為

0011112()M

taMmg

μμμ==

+-vv,

2200111122()2MsaMmg

μμμ==

+-vv

重物B在卡車A的車廂底板上做勻減速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)B相關(guān)于地面的加速度大小為2

a。由

牛頓第

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