《志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)》2023屆高考數(shù)學(xué)人教A版理科一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第二章函數(shù)2．9函數(shù)與方程

第頁(yè)2.9函數(shù)與方程eq\a\vs4\al(考綱要求)1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)有____．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間______內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)____也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)______，______________無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)__________________3．二分法(1)二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且________的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間______，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近____，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證________，給定精確度ε；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；第三步，計(jì)算____；①假設(shè)________，那么c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②假設(shè)________，那么令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；③假設(shè)________，那么令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．第四步，判斷是否到達(dá)精確度ε：即假設(shè)|a－b|＜ε，那么得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否那么重復(fù)第二、三、四步．1．在以下區(qū)間中，存在函數(shù)f(x)＝x3＋3x－3的零點(diǎn)的是()．A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．[2,3]2．如果二次函數(shù)y＝x2＋mx＋(m＋3)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，那么m的取值范圍是()．A．(－2,6) B．[－2,6]C．{－2,6} D．(－∞，－2)∪(6，＋∞)3．以下函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()．4．(2023北京高考)函數(shù)f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A．0 B．1 C．2 D．5．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確到0.01)為_(kāi)_________．一、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判定【例1－1】(2023湖北高考)函數(shù)f(x)＝xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()．A．2B．3C．4D．【例1－2】函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．方法提煉1．判斷函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，常用以下方法：(1)解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；(3)通過(guò)畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．2．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．提醒：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點(diǎn)．請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升1二、二分法的應(yīng)用【例2】在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，那么下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_(kāi)_________．方法提煉利用二分法求近似解需注意的問(wèn)題：(1)第一步中：①區(qū)間長(zhǎng)度盡量??；②f(a)，f(b)的值比擬容易計(jì)算且f(a)·f(b)＜0；(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根是等價(jià)的．提醒：(1)對(duì)于方程f(x)＝g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，函數(shù)F(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)＝g(x)的根．(2)假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，那么y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不一定是連續(xù)不斷的圖象，也不一定總有f(a)·f(b)＜0成立，如以下圖(1)(2)所示：請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升2三、函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用【例3－1】是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)．假設(shè)存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由【例3－2】設(shè)f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，假設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零點(diǎn)，求m的取值范圍．方法提煉函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)別離參數(shù)法：先將參數(shù)別離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解．請(qǐng)做演練穩(wěn)固提升3函數(shù)零點(diǎn)命題的新考向【典例】函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當(dāng)2＜a＜3＜b＜4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，那么n＝__________.解析：∵a＞2，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b，∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1.∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.又∵f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，∴f(x)在(2,3)必存在唯一零點(diǎn)．答案：2答題指導(dǎo)：1．此題避開(kāi)函數(shù)的零點(diǎn)的常規(guī)命題考向：確定零點(diǎn)所在區(qū)間或判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而是通過(guò)以下兩個(gè)角度進(jìn)行命題：(1)改變了考查單一零點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的命題方式，而是與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合命題．(2)改變了常規(guī)的考查方式，需要利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去探究零點(diǎn)所在區(qū)間．2．對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)除掌握好常規(guī)的考向外，在復(fù)習(xí)中還應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、值域等性質(zhì)的綜合問(wèn)題．(2)與指數(shù)、對(duì)數(shù)及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問(wèn)題．(3)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合在一起的解答題．1．方程2－x＋x2＝3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為()．A．2 B．3 C．1 D．2．在以下區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))3．假設(shè)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，那么m的取值范圍是A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))4．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)－log5|x－1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()．A．8 B．9 C．10 D．

參考答案根底梳理自測(cè)知識(shí)梳理1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點(diǎn)(3)f(a)·f(b)＜0(a，b)f(c)＝0c2．(x1,0)(x2,0)(x1,0)2103．(1)f(a)·f(b)＜0一分為二零點(diǎn)(2)f(a)·f(b)＜0f(c)f(c)＝0f(a)·f(c)＜0f(c)·f(b根底自測(cè)1．C解析：注意到f(－1)＝－7＜0，f(0)＝－3＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝11＞0，f(3)＝33＞0，結(jié)合各選項(xiàng)知，選C.2．D解析：依題意，有Δ＝m2－4(m＋3)＞0，即(m－6)(m＋2)＞0，解得m＞6或m＜－2，選D.3．C解析：能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)＜0.A，B中不存在f(x)＜0，D中函數(shù)不連續(xù)，應(yīng)選C.4.B解析：函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù)，因此可以利用數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=和函數(shù)y=的圖象，兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.5．1.56解析：由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029，可知零點(diǎn)近似值為1.56.考點(diǎn)探究突破【例1－1】D解析：令f(x)＝xcos2x＝0，得x＝0或cos2x＝0，故x＝0或2x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x＝0或x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z.又x∈[0,2π]，故k可取0,1,2,3，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.【例1－2】(2,3)解析：∵Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0對(duì)一切k∈R恒成立，又k＝－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)x＝－1(2,3)，∴要使函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，那么必有f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，∴2＜k＜3.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為(2,3)．【例2】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))解析：區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x0＝eq\f(3,2)，令f(x)＝x3－2x－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(27,8)－4＜0，f(2)＝8－4－1＞0，那么根所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).【例3－1】解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＞∴假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足條件．那么只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.(2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－eq\f(1,5)，此時(shí)f(x)＝x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5).令f(x)＝0，即x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5)＝0，解之得x＝－eq\f(2,5)或x＝3.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－eq\f(1,5).綜上所述，a＜－eq\f(1,5)或a＞1.【例3－2】解：令F(x)＝0，即log2(2x－1)－log2(2x＋1)－m＝0，∴m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log2eq\f(2x－1,2x＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1))).∵1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5.∴eq\f(2,5)≤eq\f(2,2x＋1)≤eq\f(2,3).∴eq\f(1,3)≤1－eq\f