2021-2022學(xué)年安徽省卓越縣中聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

安徽省卓越縣中聯(lián)盟2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知向量，，則等于（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】利用空間向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，即得解.【詳解】∵向量，，∴.故選：A.2.如圖，平行六面體中，與交于點(diǎn)，設(shè)，，，則等于（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】利用空間向量的加法運(yùn)算即可解決.【詳解】由已知可得，故選：B.3.與直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線的方程為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】求出給定直線的斜率及與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】直線的斜率為，與軸交于點(diǎn)，直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線的斜率為，并且過(guò)點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程得：，即，所以所求直線的方程為：.故選：D.4.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程是（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根據(jù)共焦點(diǎn)，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出.【詳解】橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)共焦點(diǎn)的橢圓方程為：，將點(diǎn)代入得，解得：，所以所求橢圓方程為，C正確.故選：C.5.給出以下命題，其中正確的是（）A.直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B.直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.平面?的法向量分別為，，則D.平面經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則答案：D解析：【分析】判斷直線的方向向量和平面的法向量間的關(guān)系，判斷線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋耘c不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，不成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榕c不平行，所以不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，由，，解得，，所以，D正確.故選：D.6.正四面體棱長(zhǎng)為，，，分別是，，的中點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】設(shè)，，，可得，，然后利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則即求.【詳解】如圖，設(shè)，，，則，又，，∴.故選：B.7.世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展.提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱(chēng)為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根.若圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，則的值為（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根據(jù)題意得橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，進(jìn)而得該圓與已知圓相切，再根據(jù)圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)題意，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，所以該圓與已知圓相切，又兩圓圓心間距離為，所以或（無(wú)解，舍去），解得.故選：C.8.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，由題知，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：B.9.如圖，在三棱錐中，平面，，，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)題干條件得到在以為球心，半徑為的球上，故，進(jìn)而求出答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，，則，又因?yàn)槠矫妫矫妫矫?，所以，，又，，由勾股定理得：，且在以為球心，半徑為的球上，故，則的取值范圍是，D正確.故選：D.10.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點(diǎn)A?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，，所以，則，，又，即，，由得，所以，D正確.故選：D.11.點(diǎn)是圓上的任一點(diǎn)，圓是過(guò)點(diǎn)且半徑為的動(dòng)圓，點(diǎn)是圓上的任一點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】由題知點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)及圖形可得.【詳解】由題可知點(diǎn)的軌跡方程是，即得點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，又由題知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，如圖可得則.故選：B.12.如圖，矩形的頂點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，可得，結(jié)合，，求得，最后求出的范圍即可.【詳解】由，可以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由矩形的性質(zhì)可知,、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，則，，，，∵為直角三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，即，∴，即，∴，故選：A.二、填空題13.若直線與直線平行，則的值為.答案：解析：【分析】根據(jù)兩直線平行得到等量關(guān)系，求出的值.【詳解】，得，求得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：.14.直線與圓交于?兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為.答案：解析：【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，圓的弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式即求.【詳解】∵圓心到直線的距離，，∴的面積為.故答案為：.15.是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最大值為.答案：解析：【分析】由橢圓的方程可知，再由三角形周長(zhǎng)的表達(dá)式及其橢圓的定義，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).【詳解】由已知得，即，取橢圓另一焦點(diǎn)為，△的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào).故答案為：.16.如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)和點(diǎn)分別為棱和棱的中點(diǎn)，先將底面置于平面內(nèi)，再將三棱柱繞旋轉(zhuǎn)一周，則以下結(jié)論正確的是（填入正確結(jié)論對(duì)應(yīng)的序號(hào)）.①設(shè)向量旋轉(zhuǎn)后的向量為，則②點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓③設(shè)①中的在平面上的投影向量為，則的取值范圍是④直線在平面內(nèi)的投影與直線所成角的余弦值的取值范圍是答案：①②③解析：【分析】利用坐標(biāo)法，由可得，利用模長(zhǎng)公式可判斷①②，利用投影向量的概念可得，可判斷③，利用夾角公式可判斷④.【詳解】如圖，取棱的中點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，繞著旋轉(zhuǎn)即繞著軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的向量為，則，①正確；設(shè)，則，，點(diǎn)的軌跡是以為半徑的圓，②正確；由題知，在平面上的投影向量即為其在平面上的投影向量，，③正確；設(shè)直線在平面內(nèi)的投影與直線所成的角為，則，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題17.已知向量，，，，，求：（1）向量，，的坐標(biāo)；（2）與夾角的余弦值．答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）根據(jù)可得存在，使得，可求出，根據(jù)可得，可求出，即求出坐標(biāo)；（2）求出和的坐標(biāo)，利用向量夾角公式即可求出.【詳解】（1），存在，使得，即，則，解得，又，，可得，所以；（2）由（1）可得，設(shè)與的夾角為，則.18.已知點(diǎn)，，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，（1）求直線的方程；（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）由已知得直線的傾斜角等于直線傾斜角和旋轉(zhuǎn)角的和，即可利用兩角和的正切公式求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，則，又直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，即.（2）設(shè)，，，所以，解得或，故點(diǎn)坐標(biāo)為或.19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，，，是的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）根據(jù)條件證明出平面，進(jìn)而證明出，利用勾股定理得到，從而證明出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出面面角.【詳解】因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面都是矩形，所以，，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又由題知，，所以，所以，又，所以平面.設(shè)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，??所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，則，令，則??；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，則，令，則取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以，即得平面與平面的夾角為.20.點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）.（1）求的方程；（2）若曲線與軸交于?兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與曲線交于?兩點(diǎn)，記?的面積分別為?，求的最大值.答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）設(shè)，則，由可得，代入中化簡(jiǎn)可得軌跡的方程，（2）解法一：設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由于，則可得，然后分和求其最大值，解法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接可求出?的值，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出，后面同解法一.【詳解】（1）設(shè)，則，由得是的中點(diǎn)，得，又點(diǎn)在圓上，代入得曲線的方程為.解法一：設(shè)直線的方程為，，，由得，由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以該方程一定有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，且，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.解法二：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不妨設(shè)，，，；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，由得，由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以該方程一定有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，且，，所以，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.21.年我國(guó)某海濱城市經(jīng)常遭遇東偏南某方位的臺(tái)風(fēng)的侵襲，對(duì)居民的生產(chǎn)和生活產(chǎn)生巨大影響.如圖，據(jù)月日午時(shí)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市的東偏南方向的海面處，并以的速度向西偏北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍是半徑為的圓形區(qū)域，位于城市的東偏南方向有一條自城市通向遠(yuǎn)海的航線，當(dāng)前該航線的至段正遭受臺(tái)風(fēng)侵襲.（1）求當(dāng)前該航線正被臺(tái)風(fēng)侵襲的至段的距離；（距離精確到）（2）經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后該航線將不受臺(tái)風(fēng)侵襲？（時(shí)間精確到）（參考數(shù)據(jù)：）答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離和勾股定理可求解；（2）設(shè)小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心所處位置為點(diǎn)，再建立方程求解即可.【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題得當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心所處位置點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)，又至段所在直線的方程為，則點(diǎn)到該直線的距離為，則，即得當(dāng)前該航線正被臺(tái)風(fēng)侵襲的至段的距離為.（2）由題知，當(dāng)該航線不受臺(tái)風(fēng)侵襲時(shí)，城市也恰好結(jié)束遭受臺(tái)風(fēng)侵襲.設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心所處位置為點(diǎn)，則得坐標(biāo)為，即點(diǎn)，又圓的方程為，則由，得，其中?分別表示城市開(kāi)始和結(jié)束遭受臺(tái)風(fēng)侵襲所需要經(jīng)歷的時(shí)間，則易得經(jīng)過(guò)后該航線將不受臺(tái)風(fēng)侵襲.22.如圖，已知圓柱，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，?為圓上的兩個(gè)定點(diǎn)，且滿(mǎn)足.（1）當(dāng)或時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值取最大值時(shí)，求三棱錐的體積.答案：見(jiàn)解析解析：【分析】（1）利用平行四邊形得到線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間