構(gòu)造性的證明

數(shù)學(xué)的魅力1你可能寵愛音樂，因?yàn)樗忻利惡椭C的旋律；你可能寵愛圖畫，因?yàn)樗鼜囊曈X上反映人和自然的美；那么，你應(yīng)當(dāng)更寵愛數(shù)學(xué)，因?yàn)樗褚魳芬粯雍椭C，像圖畫一樣美麗，而且它在更深的層次上，揭示自然界和人類社會內(nèi)在的規(guī)律，用簡潔的、美麗的定理和公式描述世界的本質(zhì)。數(shù)學(xué)，有無窮的魅力！2一、漁網(wǎng)的幾何規(guī)律

用數(shù)學(xué)方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：V+F–E=13多面體的歐拉公式

V+F–E=24數(shù)學(xué)就有這樣的本事，能夠把看起來困難的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規(guī)律。5二、濟(jì)南市

至少有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多“存在性命題”：濟(jì)南市確定存在兩個頭發(fā)根數(shù)一樣多的人。對于存在性命題，通常有兩類證明方法：一類是構(gòu)造性的證明方法，即把須要證明存在的事物構(gòu)造出來，便完成了證明；一類是純存在性證明，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力氣，證明事物的存在。6例如“隨意兩個正整數(shù)都存在最大公約數(shù)”這個存在性命題，我們可以用“輾轉(zhuǎn)相除法”給出構(gòu)造性的證明，在證明最大公約數(shù)存在的同時，也給出了求最大公約數(shù)的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“連續(xù)函數(shù)假如在兩個端點(diǎn)反號，則中間確定存在零點(diǎn)”這個存在性命題，我們在教材中看到的和在課堂上聽到的，往往是純存在性證明，證明白零點(diǎn)的存在，但并不給出找到零點(diǎn)的方法。7濟(jì)南市

至少有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多構(gòu)造性證明：一個一個地去數(shù)濟(jì)南市中全部人的頭發(fā)根數(shù)，確定可以找到兩個具體的人，不妨稱之為張三和李四，他們的頭發(fā)根數(shù)一樣多，便完成了證明。8濟(jì)南市

至少有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多純存在性證明：“抽屜原理”證明“367個人中至少有兩個人的生日是相同的”證明“濟(jì)南市確定存在兩個頭發(fā)根數(shù)一樣多的人”

9對于這個命題，純存在性證明的方法，比用構(gòu)造性證明的方法更牢靠。10三、圓的魅力

車輪，是歷史上最宏大的獨(dú)創(chuàng)之一圓，是平面圖形中對稱性最強(qiáng)的圖形周長與直徑之比是一個常數(shù)這個常數(shù)是無理數(shù)、超越數(shù)面積相等的圖形中圓的周長最短規(guī)尺作圖化圓為方不行做11四、“三角形三內(nèi)角之和等于180度，

這個命題不好”

這句話是1978年數(shù)學(xué)大師陳省身先生在北京高校的一次演講中說的，后來又多次說過。所以，這不是隨意說的一句話。陳先生并沒有說“三角形三內(nèi)角之和等于180度，這個命題不對”，而是說“這個命題不好”。12三角形三內(nèi)角之和=180度n邊形n內(nèi)角之和=？n邊形n內(nèi)角之和=180度×(n–2)

13n邊形n外角之和=360度不變量曲邊形（向量組的秩；矩陣的秩）

14高斯－博內(nèi)公式當(dāng)積分區(qū)域是整個閉曲面M時，有=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的歐拉示性數(shù)。這一高斯－博內(nèi)公式的左面是一個由局部性質(zhì)（曲率）表示的量，但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓?fù)洳蛔兞?。高斯－博?nèi)公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫了整體性質(zhì)。15

五、圖論與哥尼斯堡七橋問題

(“抽象”的典型，圖論的起源)

1617四色問題

四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國高校生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)覺,為了使隨意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只須要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告知他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。18德?摩根很簡潔地證明白三種顏色是不夠的,至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。19但德·摩根未能解決這個問題,就又把這個問題轉(zhuǎn)給了其他數(shù)學(xué)家,其中包括著名數(shù)學(xué)家哈密頓。但這個問題當(dāng)時沒有引起數(shù)學(xué)家的重視。直到1878年,英國數(shù)學(xué)家凱萊對該問題進(jìn)行了一番思索后，認(rèn)為這不是一個可以輕易解決的問題，并于當(dāng)年在《倫敦?cái)?shù)學(xué)會文集》上發(fā)表了一篇《論地圖著色》的文章,才引起了更大的留意。201879年，一位英國律師肯泊在《美國數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，宣布證明白“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的證明中有嚴(yán)峻錯誤。21一個看來簡潔，且似乎簡潔說清晰的問題，盡然如此困難，這引起了很多數(shù)學(xué)家的愛好，體現(xiàn)了該問題的魅力。事實(shí)上，對于地圖著色來說,各個地區(qū)的形態(tài)和大小并不重要,重要的是它們的相互位置。下圖中的三個地圖對地圖著色來說都是等價的。從數(shù)學(xué)上看,問題的實(shí)質(zhì)在于地圖的“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”。22一百多年來很多數(shù)學(xué)家對四色問題進(jìn)行了大量的探討,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明白,對于不超過25個國家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數(shù)目提高到27個。1936年弗蘭克林將國家的數(shù)目提高到31個。1968年挪威數(shù)學(xué)家奧雷證明白,不超過40個國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四色猜想”。23四色問題的解決直到1972年，美國依利諾高校的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，起先用計(jì)算機(jī)進(jìn)行證明。到1976年6月,他們最終獲得成功。他們運(yùn)用了3臺IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī),耗時1200小時,最終證明白四色猜想。24這是一個驚人之舉。當(dāng)這項(xiàng)成果在1977年發(fā)表時,當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOURCOLORSSUFFICE)，加蓋在當(dāng)時的信件上。

25拓展了人們對“證明”的理解由于這是第一次用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從根本上拓展了人們對“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對“證明”的思索。26六、素?cái)?shù)的奇異自然數(shù)是整個數(shù)學(xué)最重要的元素。自然數(shù)中有一種特殊基本又特殊重要的數(shù)，稱為“素?cái)?shù)”。素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù)中，只能被自己和1整除的數(shù)；大于1的自然數(shù)中不是素?cái)?shù)的都稱為“合數(shù)”；1則既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。27由于在大于1的自然數(shù)中，素?cái)?shù)的因子最少，所以素?cái)?shù)是特殊簡潔的數(shù)。又由于一切大于1的自然數(shù)都能夠從素?cái)?shù)通過乘法得到，所以素?cái)?shù)又是特殊基本的數(shù)。素?cái)?shù)很早就被古希臘的數(shù)學(xué)家所探討。2300多年前歐幾里得的幾何《原本》第9卷的定理20，就給出了“素?cái)?shù)有無窮多個”的美麗證明。28但是，素?cái)?shù)的有些規(guī)律，表述出來很簡潔聽懂，探討起來卻出人意料地困難。（當(dāng)然，素?cái)?shù)的有些規(guī)律表述出來也是相當(dāng)困難的。）關(guān)于素?cái)?shù)的規(guī)律，人類有很多的“猜想”。至今還有不少關(guān)于素?cái)?shù)的重要猜想，既沒有被證明，也沒有被否定。有的猜想的解決，現(xiàn)在看來可能會特殊遙遠(yuǎn)。有人甚至預(yù)言，“人類探尋素?cái)?shù)規(guī)律的歷史，將等同于人類的整個文明史”。29三個關(guān)于素?cái)?shù)規(guī)律的問題

從加法的角度探討素?cái)?shù)從乘法的角度探討素?cái)?shù)找一個公式來表示素?cái)?shù)30從加法的角度探討素?cái)?shù)兩個猜想：每個足夠大的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)的和；每個足夠大的奇數(shù)都是三個素?cái)?shù)的和。后一個猜想現(xiàn)在已被證明；前一個猜想至今卻既沒有人舉出反例，也沒有人給出證明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。31從乘法的角度探討素?cái)?shù)算術(shù)基本定理：任一個大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個素?cái)?shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且假如不計(jì)次序的話，表法是唯一的。算術(shù)基本定理早已被證明，但不是接受“構(gòu)造性”的證明。未解之謎：這個問題是：對任一個大于1的自然數(shù)，試給出一個一般的方法，以便較快地找到有限個素?cái)?shù)（可以重復(fù)），使它們的乘積等于那個預(yù)先寫出的大于1的自然數(shù)。32下面用“構(gòu)造性”證明的思路，來試圖找到解決的方法，同時也體會它的困難所在。33解決問題的困難不嚴(yán)格的地方，或者說“跳步”的地方，就在最前面的兩步。即，如何較快地推斷“a是否素?cái)?shù)”；及當(dāng)推斷出a不是素?cái)?shù)后如何較快地找到b，得到a=b×c。解決問題的本質(zhì)困難，也在這兩個步驟。雖然現(xiàn)在有了高速計(jì)算機(jī)，但是對于很大的數(shù)a，例如200位的數(shù)a，這兩步的計(jì)算照舊很費(fèi)時日，以至于事實(shí)上是不行能解決問題的34這樣的困難，反倒給密碼通訊供應(yīng)了思路a=b×c（b、c是兩個很大的素?cái)?shù)，比如都是100位的大素?cái)?shù)）在造密碼時，你可以把a(bǔ)公開，但b、c對外保密，只有“我方”了解。必需知道b、c才能破譯密碼?！皵撤健敝恢繿和密文，就無法了解密文的意思。要想破譯密文，首先須要把a(bǔ)分解為b×c。但是因?yàn)閍這個數(shù)很大，以及上面提到的本質(zhì)困難，把a(bǔ)分解為b×c是很費(fèi)時日的。35找一個公式來表示素?cái)?shù)費(fèi)馬素?cái)?shù)(1640年)

(n=0,1,2,3,4)梅森素?cái)?shù)(1644年)

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森數(shù)中是否有無窮個素?cái)?shù)”的問題，也是未解之謎。梅森數(shù)與完全數(shù)的問題.36關(guān)于費(fèi)馬素?cái)?shù)，n=5時，F(xiàn)n=4294967297=641×6700417梅森的推斷中有五個錯誤：n=67、257時Mn不是素?cái)?shù)；而n=61、89、107時Mn是素?cái)?shù)。37科爾：《大數(shù)的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科爾一言未發(fā)；會場上爆發(fā)了熱忱的掌聲。38七、“蒲豐投針”的故事

針長是行距的一半,投了2212次,其中與平行線相交的為704次.2212/704=3.142不同的問題可能存在聯(lián)系39八、“化歸”的方法

“化歸”，是把未知的問題，轉(zhuǎn)化為已知的問題；把待解決的問題，歸結(jié)為已解決的問題，從而解決問題的過程。

波利亞：關(guān)于“燒水”的例子

40九、體會公式中的數(shù)學(xué)美

可以從公式中，令=推出來。公式，用“等號”連接了數(shù)學(xué)中五個重要的常數(shù)，反映了數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”。41M．克萊因（FelixKlein,1849－1925）：音樂能激發(fā)或撫慰人的感情，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人聰慧，科學(xué)可以改善生活，而數(shù)學(xué)能做到全部這一切。42二、數(shù)學(xué)的“用處”1．不應(yīng)好用主義地理解“用處”數(shù)學(xué)有廣泛的用途，但那不同于一般工具的“用處”；不像一把斧頭，拿來便可砍柴。

43數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（一）萬有引力定律?；陂_普勒行星運(yùn)動的三大定律，牛頓發(fā)覺了萬有引力定律。他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因?yàn)樗l(fā)覺新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的學(xué)問和特殊困難的幾何學(xué)問與技巧。有愛好的同學(xué)可以閱讀這本書。44數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（二）相對論。愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時空觀的變更。愛因斯坦的時空觀認(rèn)為時間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是這種數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式。45數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（三）電磁波的發(fā)覺。英國物理學(xué)家麥克斯韋概括了由試驗(yàn)建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)當(dāng)以光速傳播者。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動了人們?nèi)フ覍ぜ冸娖鹪吹碾姶挪ā?6數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（四）最近，兩位美國數(shù)學(xué)家解開了一個困擾科學(xué)界長達(dá)50年的“簡潔”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數(shù)學(xué)規(guī)律。該探討成果將對工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計(jì)、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)探討以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。（氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動力都是表面張力，氣泡的變更，取決于表面總曲率）47數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（五）神州六號的升空，宣告了我國具有制造和放射航天飛機(jī)的實(shí)力。在神舟六號的研制過程中，數(shù)學(xué)起了不行替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面。48數(shù)學(xué)對人類文明的貢獻(xiàn)（六）1973年，美國芝加哥高校學(xué)者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權(quán)定價模型（black-scholesoptionpricingmodel），對股票期權(quán)的定價作了具體的探討。此后，不少學(xué)者（Merton）又對該模型進(jìn)行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權(quán)定價理論的探討。該模型中用到很多數(shù)學(xué)學(xué)問。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。（上圖為Merton，哈佛高校；下圖為Scholes，芝加哥高校。）492．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用常常是難以預(yù)料的1）素?cái)?shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用2）圓錐曲線論在行星運(yùn)動開普勒三定律中的應(yīng)用3）黎曼幾何在廣義相對論中的應(yīng)用4）陳省身的纖維叢理論在楊振寧的規(guī)范場理論中的應(yīng)用5）正電子、黑洞與電磁場的發(fā)覺諾貝爾物理學(xué)獎獲得者溫伯格(S?Weinberg)曾無可奈何地感嘆：“當(dāng)一個物理學(xué)家得到一個思想時，卻發(fā)覺在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了?！?0三、數(shù)學(xué)的語言1．自然語言與數(shù)學(xué)語言1）自然語言——具體的語言；數(shù)學(xué)語言——形式化的語言2)科學(xué)工作者用數(shù)學(xué)語言使自己的工作精確化如：牛頓——運(yùn)動其次定律；愛因斯坦——廣義相對論“數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科的程度，反映了這門學(xué)科成熟的程度?！?/p>

512.數(shù)學(xué)語言是人類文明、宇宙文明的共同語言1）當(dāng)你寫下c2=a2+b2，S=v0t+0.5gt2，不同的民族