計算機圖形學(xué)-三維圖形生成和變換技術(shù)

計算機圖形學(xué)ComputerGraphics

第五章目錄

第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

5.1三維圖形的概念

5.2自由曲面的生成

5.3三維圖形的變換

5.4三維圖形剪裁和消隱

第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

5.1三維圖形的概念

5.2自由曲面的生成5.3三維圖形變換5.4三維圖形剪裁和消隱技術(shù)

5.1三維圖形的概念

在計算機圖形學(xué)中最重要的部分還是三維圖形生成與變換，不僅人們對它感興趣，而且在實際應(yīng)用中更加廣泛。三維圖形生成比起二維圖形生成要復(fù)雜得多，其根本原因在于我們的圖形輸入設(shè)備和輸出設(shè)備基本上都是二維的，用這些二維的圖形設(shè)備去表現(xiàn)空間三維實體自然會增加許多復(fù)雜性優(yōu)需要運用許多新的方法去處理三維圖形。

在計算機圖形學(xué)研究中，三維圖形概念有幾種:1、是采用線框圖構(gòu)成的三維圖形，這是最基本、最簡單的，它實際上是在二維屏幕上展示的具有三維視覺效果的圖形；2、三維實體圖形，它是采用各種顏色圖案、紋理等填充過的圖形，在視覺上也具有三維效果；3、三維立體圖形，它借助于光照、濃淡和明暗技術(shù)，產(chǎn)生了真正的三維立體效果。這些三維圖形都是我們在計算機圖形學(xué)中要研究和予以實現(xiàn)的內(nèi)容。第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

5.1三維圖形的概念

5.2自由曲面的生成5.3三維圖形變換5.4三維圖形剪裁和消隱技術(shù)

5.2自由曲面的生成一、概述在計算機出現(xiàn)之前以及在計算幾何沒有很好地發(fā)展之前，一些工程實際中應(yīng)用的復(fù)雜自由曲面，如飛機、船舶、汽車等幾何外形的描述以及地形形狀的表示，傳統(tǒng)的處理辦法是用一組或幾組平行平面去裁這個曲面，畫出幾組截交線來表示這個曲面。例如船體就是用互相正交的三組平面截得的縱剖線，橫剖線和水平線表示；地面則是用一組水平面截得等高線表示的。這實際上是把曲面問題轉(zhuǎn)化成了曲線問題。這種處理辦法可稱為曲線網(wǎng)格表示法。一組等高線表示地面正是利用這些曲線網(wǎng)格來近似地表示自由曲面，因此，在產(chǎn)生一張曲面時，我們可以利用一系列的縱橫交錯且相互平行的樣條曲線來構(gòu)造曲面，如下圖所示。我們?nèi)绾未_定這張曲面上任意一點位置呢？很明顯，如果這點恰好落在某一條網(wǎng)格線上，如圖A點，那么就可以根據(jù)這條網(wǎng)格線函數(shù)表示來計算這一點位置（坐標）；若這一點不在任何網(wǎng)格線上，如圖中的B點，那么就無法計算出該點精確位置，只能用離該點最近一條網(wǎng)格線上的點近似地表示。圖5.1曲面的網(wǎng)格表示這使得本來精度不很高近似曲面在這一點精度更加降低，所以用這種方法來產(chǎn)生曲面只適合于一部分精度要求不太高場合，我們可以把平面里自由曲線生成方法加以推廣，借助于曲面的解析表達式來處理有關(guān)曲面問題。

曲面的種類繁多，為便于討論，將曲面分為兩類，（1）規(guī)則曲面：如柱、錐、橢球、環(huán)、雙曲面、拋物面等，它可以用參數(shù)方程解析地描述。（2）不規(guī)則曲面、如Coons曲面、Bezier曲面、B樣條曲面等，這是構(gòu)造某種曲面方程問題，也是下面要討論重點。二、空間曲面的參數(shù)表示在空間解析幾何中，三維空間內(nèi)一張任意曲面一段用兩個參數(shù)曲面矢量方程或參數(shù)方程表示，可以寫成，式中u、v為參數(shù)曲面的圖形如圖所示，曲面有兩族參數(shù)曲線，或稱坐標曲線，通常簡稱u線和v線。當(dāng)u=ui時，代人式（5–1）得上式中是曲面上一條參數(shù)曲線r(ui,v)，即一條v線。當(dāng)v=vj時，代人式（5–1）得,上式則是另一條參數(shù)曲線r(u,vj)，或稱u線。上述兩條參數(shù)曲線r(ui,v)和r(u,vj)的交點則是r(ui,

vj)

。事實上，用u=ui,v=vj代人式（5．l）也得到曲面上同一點位置矢量r(ui,vj)vur(ui,v)r(u,vj)r(ui,vj)例如，如圖的平面片方程為：式中矢量r0為平面上一點的位置矢量，a和b為常矢量，且a不平行于b，該平面片是由矢量a和b張成的四邊形。r(u,v)圖5.4柱面又例如，如圖5.4所示，以固定方向長度為a的直線段作為母線沿給定一條空間曲線r1（u）移動生成一個柱面，其方程為式中a是沿母線方向的常矢量。二、Bezier(貝塞爾）曲面

如前所述，Bezier曲線是一條與控制多邊形頂點位置有嚴格的相關(guān)聯(lián)關(guān)系的曲線，Bezier曲線形狀趨向于特征多邊形形狀，階次由控制多邊形頂點個數(shù)來決定。Bezier曲面是由Bezier曲線拓廣而來，它也是以Bernstein函數(shù)作為基函數(shù)，可以構(gòu)造由空間點陣列的位置來控制曲面。P0P1P2P3由四個數(shù)據(jù)點控制的三次貝塞爾曲線1、貝塞爾曲面的數(shù)學(xué)表達式在三維空間里，給定(n＋l)×(m+1)個點的空間點到Pij（i=0，l…n；j=0，1…m），稱n×m次參數(shù)曲面：為n×m

次Bezier曲面。

Pij是的控制頂點，和為Bernstein基函數(shù)，具體表示為：

如果用一系列直線段將相鄰的點Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n)和P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一連接起來組成一張空間網(wǎng)格，稱這張網(wǎng)絡(luò)為m×n次曲面特征網(wǎng)格，如圖所示。類似于Bezier曲線情況，特征網(wǎng)格框定了P(u,v)的大致形狀；P(u,v)是對特征網(wǎng)格的逼近。p00p10p20p30p31p21p11p01p32p22p12p02p33p23p13p033*3次的特征曲面網(wǎng)格2、貝塞爾曲面的性質(zhì)

Bezier曲面有類似于Bezier曲線的性質(zhì)。

（l）端點位置由于P00=P(0,0)P0m=P(0,1)Pn0=P(1,0)Pnm=P(1,1)說明P00、P0m、Pn0、Pnm是曲面P(u,v)的四個端點，見圖

p00p30p03p33（2）邊界線位置Bezier曲面的四條邊界線P(0,v)、P(u,0)、P(1,v)、P(u,1)分別是以P00P01P02…P0m、P00P10P20…Pn0、Pn0Pn1

Pn2…Pnm和P0mP1mP2m…Pnm為控制多邊形的Bezier曲線，見圖?？刂贫噙呅芜吔缇€（3）端點的切平面由計算易知，三角P00P10P01、P0nP1mP0，m-1、PnmPn-1,mPn,m-1和Pn0Pn-1,0Pn1(圖5.6中打上斜線三角形)所在的平面分別在點P00、P0m和Pn0與曲面P(u,v)相切。

p00p30p03p33（4）凸包性曲面P(u,v)位于其控制頂點Pij（i=0，l，2…n；j=0，1，2…m）的凸包內(nèi)。（5）幾何不變性曲面P(u,v)的形狀和位置與坐標系選擇無關(guān)，僅和點P00、P01、…Pnm位置有關(guān)。3.幾個低次的貝塞爾曲線

(1)雙一次Bezier曲面當(dāng)n=m=1時，得雙一次Bezier曲面,給定(n＋1)×(m+1)=2×2=4個控制點：P00、P01、P10、P11。其圖形表示如圖所示，可以證明它是一個雙曲拋物面（馬鞍面）上的一塊曲面片。

在上式中，當(dāng)u=0和u=1時，得到的兩條邊界為直線段；同樣，當(dāng)v=0和v=1時，得到兩條也是直線段。所以雙一次Bezier曲面由四條直線段包圍而成。(2)雙二次Bezier曲面當(dāng)n=m=2時，得雙二次Bezier曲面,給定(n＋1)×(m+1)=3×3=9個控制點：P00、P01、P02、P10、P11、P12、P20、P21、P22。由Bezier數(shù)學(xué)表達式當(dāng)u取定值時，是關(guān)于v的二次參數(shù)曲線，是拋物線；當(dāng)v取定值時，是關(guān)于u的二次參數(shù)曲線。當(dāng)u=0和u=1時，兩條邊界是拋物線段；同理，當(dāng)v=0和v=1時，另外兩條邊界是拋物線段。所以雙二次Bezier曲面由四條拋物線段包圍而成。顯然，中間的一個頂點的變化對邊界曲線不產(chǎn)生影響，這意味著在周邊八點不變的情況下，適當(dāng)選擇中心頂點的位置可以控制曲面凹凸，這種控制方式是極其直觀的，而且極其簡易。（3）雙三次貝塞爾曲線當(dāng)n=m=3時，得到雙三次Bezier曲面，給定(n＋1)×(m+1)=4×4=16個控制點，

Pij（i=0,1,2,3,j=0,1,2,3）。矩陣P表示雙三次Bezier曲面片特征多面體16個控制頂點的位置向量。雙三次Bezier曲面邊界曲線16個控制點中只有4個頂點位于Bezier曲面上P矩陣中周圍的12個控制點定義了4條三次Bezier曲線，即邊界曲線。其余的4個點與邊界曲線無關(guān)，但影響曲面片的形狀．4、貝塞爾曲線的拼接一對于單個Bezier曲面可以通過以下兩步生成：（1）固定v,隨著u變化可得一簇Bezier曲線；（2）固定u,隨著v變化可得一簇Bezier曲線。Bezier曲面是由Bezier曲線交織而成的曲面。

然而一個復(fù)雜的曲面往往不能用單一的Bezier曲面來實現(xiàn)，于是要用幾塊Bezier曲面拼接起來。以下討論兩張雙三次Bezier曲面的拼接。下面給出兩個相鄰的Bezier曲面片，我們分別將它命名為P(1)(u,v)和P(2)(u,v)

。P(1)(u,v)P(2)(u,v)uvP(1)(1,1)=P(2)(0,1)

如果對0≤v≤1中所有v，有P(1)(1,v)=P(2)(0,v)，就可以得到跨界位置處曲面函數(shù)連續(xù)性。要使Bezier曲面拼接：（1）兩曲面片間的一個公共邊界需要兩個特征多邊形之間的一個共同邊界多邊形。（2）要使跨界處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即曲面在跨界處光順，對0≤v≤1中的所有v，曲面片1在u=1的切平面必須與曲面2在u=0的切平面重合。三、B樣條曲面B樣條曲面是B樣條曲線的拓廣。1．B樣條曲面的數(shù)學(xué)表達式

在三維空間里，給定個點，用向量(i=0，1，…，n，j=0，1，…，m)表示，稱（0≤u，v≤1）為次B樣條曲面；是的控制頂點，F(xiàn)i,n(u)和Fj,m(v)為B樣條基函數(shù)，具體表示為：如果用一系列直線段將相鄰的點，，…

，（i=0，1，…，n）和，，…

，(j=0，1，…，m)一一連接起來，組成一張空間網(wǎng)格，稱這張網(wǎng)格為次B樣條曲面特征網(wǎng)格，如下圖所示。

2．幾個低次B樣條曲面（1）雙二次B樣條曲面當(dāng)時，得雙二次B樣條曲面，給定9個控制點，即P00、P01、P02、P10、P11、P12、P20、P21和P22。由于

所以，雙二次B樣條曲面為：

由左圖可知，B樣條曲面不經(jīng)過任何一個網(wǎng)格頂點。左圖表示了雙二次B樣條曲面的一片，如果網(wǎng)格向外擴展，曲面也相應(yīng)延伸。由于二次B樣條曲面基函數(shù)是一階連續(xù)的，所以對于兩片雙二次B樣條曲面片，其連接亦是一階連續(xù)的。2．幾個低次B樣條曲面（2）雙三次B樣條曲面當(dāng)時，得雙三次B樣條曲面：雙三次B樣條曲面片四個角點不在給定的點的位置上。如果將網(wǎng)格向外擴展，曲面也相應(yīng)延伸，而且由于三次B樣條基函數(shù)是二階連續(xù)的，所以雙三次B樣條曲面也二階連續(xù)。雙三次B樣條曲面特征網(wǎng)格

四、Coons（孔斯）曲面Coons曲面是1964年由孔斯（coons)提出的構(gòu)造曲面的方法，這種方法的基本思想是將任意復(fù)雜的曲面分割成若干小塊，而每小塊用參數(shù)方程來描述，即用四條邊界曲線來定義，再通過適當(dāng)?shù)剡x擇塊與塊之間的連接條件，使邊界上一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，最后獲得整個曲面。1、混合函數(shù)（1）定義Coons在他所研究的孔斯曲面中，定義了四個一元三次函數(shù)Fo（u），F(xiàn)1（u），G0（u），G1（u），它們的功能是用四條給定的邊界曲線生成一張曲面。定義在區(qū)間［0，l］上四個三次函數(shù)（2）混合函數(shù)性質(zhì)我們構(gòu)造這樣一段曲線P（u），來理解這四個混合函數(shù)的功能。若要求u=0時P（0）=A0且u＝0處切向量P’(0)=B0u=1時，P(1)＝A1，且u＝l處的切向量P’(1)=B1。顯然，根據(jù)上述四個一元三次函數(shù)F0(u)，F(xiàn)1(u),G0(u),G1(u)的端點性質(zhì)，我們很容易得到由此我們可以看出四個函數(shù)F0(u),F1(u),G0(u),G1(u)在P（u）的表示中所起作用：F0(u)，F(xiàn)1(u)和用于控制兩個端點（x＝0）和（x=1）的函數(shù)值，G0(u),G1(u)而和卻用來控制兩個端點（x＝0）和（x＝l）的切向量。正是由于F0(u)，F(xiàn)1(u),G0(u),G1(u)和的上述作用，使得它們被用來定義雙三次Coons曲面。2、雙三次Coons曲面Coons曲面有幾種類型，雙三次曲面是其中最有實用價值的一種。在幾何造型計算中使用的coons曲面，都是這種雙三次曲面。雙三次coons曲面是定義在一個單位區(qū)域R0上，并用向量方式表示的雙參數(shù)向量方程。設(shè)兩個參數(shù)分別用u和v表示，則空間曲面上任意一點用向量P可表示為，其分量形式為：其中參數(shù)u，v的定義域為單位區(qū)域R0上的值，即

（1）Coons簡潔符號為了研究方便，運算簡潔，Coons提出了一套表示參數(shù)曲面的簡潔符號。在Coons記號中，參數(shù)u和v之間的逗號以及矢量的各分量之間的逗號都省略掉。當(dāng)僅在討論一張曲面時，向量函數(shù)P(u,v)前面字母P連同其后圓括號也一起省略掉。符號u0,ul,0v,1v分別表示曲面的四條邊界曲線，曲面的四個角點則簡記為00,01,10,11，如圖所示。

00111001u0u11v0v曲面的偏導(dǎo)向量的記號是：其中。分別0vu,1vu,u0v,u1v為邊界0v,1v,u0和u1上的斜率。00u,01u,10u和11u，是在四個角點u向切矢；00v,01v,10v和11v。是在四個角點v向切矢；00uv,01uv,10uv和11uv是四個角點混合偏導(dǎo)，又稱扭矢。(2)Coons曲面定義由式（5．2），我們得到四個混合函數(shù)的矩陣，表示形式如下：根據(jù)點動生線、線動生面的幾何原理，把U和V取作兩個獨立參數(shù)，即得一張Coons雙三次曲面片，其數(shù)學(xué)表達式如下：式中C稱為角點信息矩陣。其中前三組信息可以完全決定四邊邊界曲線位置的形狀，而第四組與四條邊界曲線形狀無關(guān)，反映R0的內(nèi)部曲面形狀變化。

這里角點信息矩陣C元素可以分成四組，其左上角一塊代表四個角點位置矢量，右上角和左下角表示邊界曲線在角點v方向和u方向切矢量，右下角是四個角點混合偏導(dǎo)數(shù)，表示角點扭矢，由此可看出，通過選擇四條邊界曲線就可求出Coons曲面，貝塞爾曲面通過給出若干個控制點來構(gòu)造曲面，而Coons曲面通過給定四條邊界線來構(gòu)造曲面。五、NURBS（非均勻有理B樣條）曲面對NURBS曲線進行擴展后可以得到NURBS曲面，NURBS曲面可以用如下數(shù)學(xué)表達式來定義：其中規(guī)定四角點處用正權(quán)因子，即，而其余。

上述NURBS曲面的數(shù)學(xué)式?jīng)Q定了NURBS曲面是一類通用的靈活曲面，利用它用戶可以生成具有各種各樣形狀的曲面，比如大家熟悉的旋轉(zhuǎn)面、直紋面、推擠面等。NURBS曲面擁有一些良好的性質(zhì)，如通過選擇合適的CV控制點和權(quán)值就能夠得到精確的二次曲面以及對于投影變換具有不變性等，因此，高級三維軟件當(dāng)中一般都支持這種曲面建模方式，NURBS能夠很好地控制物體表面的曲線度，從而保證了創(chuàng)建出的造型能夠更加形象逼真，目前，NURBS已經(jīng)成為曲面造型中最為廣泛應(yīng)用的技術(shù)。第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

5.1三維圖形的概念

5.2自由曲面的生成5.3三維圖形變換

5.4三維圖形剪裁和消隱技術(shù)5、3三維圖形變換在二維圖形變換的討論中已經(jīng)提出了齊次坐標表示法，即n維空間的點用n＋l個數(shù)表示。因此，對于三維空間點需要用4個數(shù)來表示，而相應(yīng)的變換矩陣4ⅹ4階矩陣。如果用表示變換前三維空間的一個點，用表示變換后結(jié)果，則空間點的變換式為：式中T為三維圖形變換矩陣．它是一個4階方陣，即：投影變換一、三維圖形幾何變換下面介紹三維圖形的變換，為了表示清楚三維空間點或立體位置，我們選擇右手坐標系，即右手的食指和中指分別指向X和Y軸方向；而大姆指指向Z軸的正方向，三個軸互相垂直。三維幾何變換和二維幾何變換類似，通過改變變換矩陣中不同元素值實現(xiàn)不同變換。1．三維比例變換關(guān)于原點的比例變換的變換矩陣為：主對角線上元素a,e,i,s的作用是使空間立體產(chǎn)生局部或總體比例變換。（l）局部比例變換在3*3子矩陣中主對角線上元素a,e,i控制比例變換，令其余元素為零，則空間立體點（x，y，z）的比例變換為：由此可知，空間點坐標分別按比例系數(shù)a,e,i進行變換，可使整個圖形按比例放大或縮小。當(dāng)a＝e＝i＝1時，圖形不變，是恒等變換；當(dāng)a＝e＝i＞1時，圖形放大;當(dāng)a＝e＝j(luò)＜1時，圖形縮小;當(dāng)a≠e≠i時，立體各向縮放比例不同，這時立體要產(chǎn)生類似變化。3*3子矩陣主對角線上元素控制比例變換如圖所示，空間立體由正方體變成長方體。虛線表示變換前的立方體，實線表示變換后的長方體。（2）全比例變換全比例變換矩陣為：由此可知：當(dāng)s＞1時，則立體各方向等比例縮?。划?dāng)0＜s＜1對，則立體各方向等比例放大。

2．三維平移交換平移變換是使立體在空間平移一段距離而形狀和大小保持不變。變換矩陣為：l,m,n分別為沿X，Y，Z軸方向的平移量，由它們的正負來決定立體平移方向。例5.3設(shè)變換矩陣中l(wèi)＝3,m=3,n＝3，試對單位立體進行平移變換。沿x,y,z方向的平移量

3．三維對稱變換在三維空間最簡單的對稱變換是對稱于坐標平面的變換?？臻g一點對XOY坐標面對稱變換時，點的（x，y）坐標不變，只改變z的正負號。因此，其變換矩陣為：變換結(jié)果如圖所示。圖5.20對XOY平面的對稱變換同理，對XOZ坐標的對稱變換矩陣和對YOZ坐標面的對稱變換矩陣分別為：4．三維錯切變換三維立體的某個面沿指定軸向移動屬于三維錯切，三維錯切是由子矩陣中非主對角線元素各項產(chǎn)生的，其變換矩陣為：變換結(jié)果為：T中第一列元素d和g產(chǎn)生沿X軸方向錯切，第二列元素b和h產(chǎn)生沿Y軸方向錯切，第三列元素c和f產(chǎn)生沿Z軸方向錯切。錯切變換時，一個坐標方向的變化受另外兩個坐標變化的影響，因此，按錯切方向不同可實現(xiàn)6種錯切變換。1.要求沿X方向錯切a.當(dāng)變換矩陣為：

b.當(dāng)變換矩陣為：

錯切平面沿X軸方向移動且離開Y軸

錯切平面沿X軸方向移動且離開Z軸

例將一單位立方體進行錯切變換，使錯切平面沿X方向移動并離開Y軸。令變換矩陣變換結(jié)果如圖所示:

ZXY變換前變換后錯切平面垂直于Y軸，沿X軸正向移動。

2.要求沿Y方向錯切a.當(dāng)變換矩陣為：

b.當(dāng)變換矩陣為：

錯切平面沿Y軸方向移動且離開Z軸

錯切平面沿Y軸方向移動且離開X軸

3.要求沿Z方向錯切a.當(dāng)變換矩陣為：

b.當(dāng)變換矩陣為：

錯切平面沿Z軸方向移動且離開X軸

錯切平面沿Z軸方向移動且離開Y軸

5．三維旋轉(zhuǎn)變換三維旋轉(zhuǎn)變換是指空間立體繞坐標軸旋轉(zhuǎn)θ角，正負按右手定則確定，即右手姆指指向轉(zhuǎn)軸正向，其余4個手指指向便是θ角正角。如圖所示：旋轉(zhuǎn)變換前后立體的大小和形狀不發(fā)生變化，只是空間位置相對原位置發(fā)生了變化。當(dāng)空間立體繞某一坐標軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點在此軸坐標值不變，而在該坐標軸所垂直的另兩坐標軸所組成的坐標面上的坐標值相當(dāng)于一個二維的旋轉(zhuǎn)變換。（1）繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角空間主體繞Z軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各頂點Z坐標不變，X，Y坐標的變化相當(dāng)于二維平面內(nèi)繞原點旋轉(zhuǎn)。所以繞Z軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：變換結(jié)果為：

如下圖為立方體繞Z軸旋轉(zhuǎn)90?的變換情況。

（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)θ角空間主體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各頂點X坐標不變，Z，Y坐標的變化相當(dāng)于二維平面內(nèi)繞原點旋轉(zhuǎn)。所以繞X軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：變換結(jié)果為：

如下圖為立方體繞X軸旋轉(zhuǎn)90?的變換情況。

（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ角空間主體繞Y軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各頂點Y坐標不變，Z，X坐標的變化相當(dāng)于二維平面內(nèi)繞原點旋轉(zhuǎn)。所以繞Y軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：變換結(jié)果為：

-x如下圖為立方體繞X軸旋轉(zhuǎn)90?的變換情況。

6．三維組合變換上面我們討論的三維圖形變換中的變換矩陣是針對原點或者坐標軸的，如果要針對任意一個參考點，或者針對空間中任意一條直線（軸）、任意一個平面來進行變換，則前述的變換矩陣就不能直接使用，而需要進行三維圖形的組合變換。（l）使立體繞通過原點任意軸旋轉(zhuǎn)θ變換三維投影交換通常圖形輸出設(shè)備（顯示器、繪圖儀等）都是二維的，用這些二維設(shè)備來輸出三維圖形，就得把三維坐標系下圖形上各點的坐標轉(zhuǎn)化為某一平面坐標系下的二維坐標，也就是將（x，y，z）變換為（x′，y′）或（x′，z′）或（y′，z′）。

這種把三維物體用二維圖形表示的過程稱為三維投影變換。這種變換，方式有很多種，在實際中，根據(jù)不同目的或需要而采用不同的變換方式。三維投影變換大致分類如圖所示。三維圖形投影變換通常圖形輸出設(shè)備（顯示器、繪圖儀等）都是二維的，用這些二維設(shè)備來輸出三維圖形，就得把三維坐標系下圖形上各點的坐標轉(zhuǎn)化為某一平面坐標系下的二維坐標，也就是將（x，y，z）變換為（x′，y′）或（x′，z′）或（y′，z′）。這種把三維物體用二維圖形表示的過程稱為三維投影變換。這種變換方式有很多種，在實際中，根據(jù)不同目的或需要而采用不同的變換方式。三維投影變換大致分類如圖所示。平行投影是將物體上所有點都沿著一組平行線投影到投影平面，而透視投影是所有點沿著一組匯聚到一個稱為投影中心的位置的線進行投影，兩種方法如圖所示。1．正平行投影變換投影方向垂直于投影平面時稱正平行投影。（l）正投影變換在工程上將三維坐標系OXYZ中的三個坐標平面分別為H面（XOY平面）、V面（XOZ平面）和W面（YOZ平面）。如圖所示。

所謂正投影就是三維圖形上各點分別向某一坐標平面作垂線，其垂足便稱為該三維點投影點，將所有投影點按原三維圖形中點與點之間的對應(yīng)關(guān)系一一連起來便得到了一平面圖形，這一平面圖形稱為三維圖形在該平面上正投影。如圖所示。在V面上的投影圖形稱主視圖，在H面上的投影圖形稱俯視圖，在W面上的投影圖形稱側(cè)視圖。①

正面（V面）投影主視圖變換正面投影是物體在XOZ平面上的投影，使物體的y坐標都等于零，x和z坐標不變，其變換矩陣是：②水平面（H面）投影俯視圖變換水平面投影是物體在XOY平面上投影，使物體的z坐標都等于零，x和y坐標不變，其變換矩陣是：③側(cè)面（W面）投影側(cè)視圖變換側(cè)面投影是物體在YOZ平面上投影，使物體的x坐標都等于零，y和z坐標不變，其變換矩陣是④三視圖上面投影后的三面投影圖仍位于空間，根據(jù)工程中需要還須將V面，H面，和W面上得到的三個正投影以一定方式展平在同一平面上而得到三個視圖，習(xí)慣上是放在V面上。為了在V面上構(gòu)成三視圖，使V面上投影保持不變，而使H面上正投影繞X軸逆轉(zhuǎn)90?到V面，為了防止與原V面上投影發(fā)生擁擠現(xiàn)象，再讓它向軸方向平移一段距離n。同樣，使w面上正投影繞Z軸正轉(zhuǎn)90?，再向軸方向移一段距離l。以上立方體為例，V面上投影保持不變FGEHZXYDCH面上正投影繞X軸逆轉(zhuǎn)90?到V面使w面上正投影繞Z軸正轉(zhuǎn)90?再向軸方向移一段距離l。為了防止與原V面上投影發(fā)生擁擠現(xiàn)象，再讓它向軸方向平移一段距離n。變換矩陣為：

得出三視圖除上述方法外，還可以先將立方體繞坐標軸X（或Z）旋轉(zhuǎn)90?，再平移n(或l)，最后作正投影變換。其實兩種方法得到結(jié)果是一樣。

所以，要求得一個三維實體在V面上的三視圖，必須將三維實體上各點分別乘以新的變換矩陣TV,TH,TW即：

（2）正軸測投影變換①正軸測投影變換矩陣若將空間立體繞某個投影面所包含的兩個軸向旋轉(zhuǎn)，再向該投影面作正投影，即可獲得立體正軸測圖。通常選用V面（XOZ坐標平面）為軸測投影面，所以將立體繞Z軸正向旋轉(zhuǎn)θ角，再繞X軸反向旋轉(zhuǎn)φ角，最后向V面作正投影。

因此將繞Z軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣TZ，繞X軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣TX和向V面作正投影的變換矩陣TV連乘，即得到正軸測變換矩陣：

對于立體上任一頂點A(x,y,z)正軸測變換投影結(jié)果為：

變換后點A′坐標為：

將θ和φ值代入正軸測變換矩陣T正，再將立體頂點位置矩陣乘此變換矩陣T正，可獲得立體頂點正軸測圖位置矩陣，最后依次將各頂點連線，即可得到立體的正軸測圖。選用不同θ和φ值，可以產(chǎn)生不同的正軸測圖。工程中常用的有正等測圖、正二測圖。

對正六面體進行正軸測投影變換如下圖所示：如圖所示，進行軸測投影變換后，立體上原來的坐標軸OX，OY，OZ變換成軸測圖上軸測O′X′，O′Y′，O′Z′。下面我們討論變換的軸向變形系數(shù)和軸間角。

a．軸向變形系數(shù)取三根坐標軸上的點，它們的齊次坐標分別為A[l001]，B［0101］，C［0011］，對它們分別進行正軸測投影變換得：

A′,B′,C′分別位于軸測軸O′X′,O′Y′,O′Z′上，故各軸的軸向變形系數(shù)為：

b．軸間角由上述A,B,C三點的變換可知，O’Z’軸和OZ軸重合，設(shè)O’X’軸，O’Y’軸和水平軸的夾角分別為（見下圖），則：

②正等測投影變換正等測投影為三根軸上變形系數(shù)相等的正軸測投影，即由此可得：2如圖(b)是圖（a）的正等測圖：

③正二測投影變換正二測投影一般取X和Z軸變形系數(shù)相等，且為Y軸變形系數(shù)的二倍，即

2．斜平行投影（斜軸測投影）變換

投影方向不垂直于投影面的平行投影稱為斜平行投影，即斜軸測投影。這種投影可以通過三維空間形體的錯切變換后作正投影獲得。下面推導(dǎo)其變換矩陣。

（1）斜軸測投影變換矩陣斜軸測投影是先將立體沿兩個方向產(chǎn)生錯切，再向投影面作正投影而得到的。通常先沿X含Y錯切，再沿Z含Y錯切，最后向XOZ坐標平面投影而成，變換矩陣為：

變換矩陣中元素d，f取不同的值，即可得到任意的斜軸測投影。d，f的正負可以改變斜軸測的方向。

Z①軸向變形系數(shù)用與正軸測投影同樣的方法，如圖所示，對距原點為單位長度的點

A（1001），B（0101），C（0011）進行斜軸測投影變換。變換后A與A′點重合，C與以C′點重合，即OX與O′X′重合，OZ與O′Z′重合。因此軸向變形系數(shù)為：②軸間角由上面對A，B，C三點的變換可以看出，只有O′Y′軸與水平軸有一夾角αy，如圖所示，且

=(2)斜等測投影變換斜等測投影定義為：即d和f的正負決定沿X軸和沿Z軸錯切方向，可視具體情況而定。這樣我們得到常用斜等測變換矩陣為：單位正六面體斜等測投影

（3）斜二測投影變換在斜軸測圖中，常用的還有斜二測圖，斜二測投影定義為：即在畫斜二測投影圖時，為了增強圖形立體感，往往使立體沿–Z方向錯切，故f取負值，而d的正負決定沿X軸錯切方向，可視具體情況而定。因此，斜二測投影變換矩陣為：

y單位正六面體斜二測投影三維圖形透視投影變換

透視投影屬于中心投影，透視圖也是一種將三維物體用二維平面來表達的立體圖。與軸測圖不同，它是用中心投影法，通過空間一點（即投影中心）將立體投射到投影面上所得到的投影圖。如圖所示：

投影中心又稱為視點，它相當(dāng)于觀察者的眼睛。

投影面置于視點與立體之間將立體上各點與視點相連所得到的投影線分別與投影面相交，其交點就是立體上相應(yīng)點的透視投影，再將其依次相連，即獲得具有真實立體感的透視圖。

透視投影可用矩陣變換方法獲得，在4*4階變換矩陣中第四列元素p，q，r稱為透視參數(shù)，若賦其非零數(shù)值即形成透視變換矩陣。1．點的透視變換如圖所示，在Y軸上取一點E為視點，投影面取XOZ面（V面），A（x，y，z）與視點E的連線AE與V面的交點為A’(x’，y’，z’)，即為A的透視投影，同樣B的透視投影為B’，C的透視投影為C’，D的透視投影為D’圖5.38透視投影坐標關(guān)系根據(jù)圖可以找到空間點坐標與點的透視投影坐標的關(guān)系。因為?DEB與?D’EB’相似，所以，

圖5.38透視投影坐標關(guān)系同理可得：若用矩陣表示上述關(guān)系式，則有：

在Y同理，視點在

X軸上透視變換矩陣Tp和視點在

Z軸上透視變換矩陣Tr分別為：

現(xiàn)將Y軸上無限遠點[0100]（注意無限遠點第四維齊次坐標為0）作透視變換，其結(jié)果為：

變換結(jié)果表明：Y軸上的無限遠點［0100］進行透視變換后成為有限遠點［0l／q01］。由此可以證明，原來平行于X軸和Z軸直線變換后仍平行于對應(yīng)坐標軸，但原與Y軸平行直線，變換后不再與Y軸平行，而是匯交于Y軸上一點（0，1／q，0），這個點稱為透視的滅點。同理．分別用透視變換矩陣Tp和Tr對X軸和Z軸上無限遠點進行透視變換后，所有平行于X軸和Z軸的直線都應(yīng)分別交于滅點（l／p，0，0）和（0，0，1／r）

2．立體透視投影變換和三維實體平行投影方法一樣，只要將三維實體上各個點分別透視投影，再將投影后得到的各個點按原來點與點之間的關(guān)系用線段一一連接，便可得到三維實體的透視投影。由前述可知，透視變換矩陣Tp，Tq和Tr分別改變了三維實體中沿X方向Y方向以及Z方向的平行線段的平行性，形成三個滅點（1/p，0，0）、（0，l／q，0）和（0，0，1／r）。然而，如果用Tp,Tq和Tr中任意兩個矩陣去作用三維實體，那么就會改變?nèi)S實體沿兩個坐標軸方向的平行線段的平行性，并形成兩個滅點。同樣地，如果用三個矩陣Tp，Tq和Tr一同作用于三維實體，那么就會改變?nèi)S實體中沿三個坐標軸方向的平行線段平行性，并形成三個滅點。所以，根據(jù)透視投影中滅點多少又可分為一點透視、二點透視和三點透視。（1）一點透視一點透視就是只有一個滅點的透視，一般采用透視變換矩陣Tq作為一點透視的透視變換矩陣。對于圖所示立方體作透視變換后，只有一個方向的棱線匯交于滅點，其它兩個方向的棱線仍是相互平行的。

平行于Y軸方向棱線交于一點，平行于X,Z軸方向棱線平行為了使透視投影后的圖具有立體感，我們在透視投影變換之前，要對三維實體先作平移變換，其沿著X方向、Y方向和Z方向的平移量分別為l、m、n，然后再進行透視變換，最后再向V面作正投影，其一點透視投影變換矩陣為：

（2）二點透視

二點透視就是具有兩個滅點的透視，一般以Tp和Tq作為二點透視的透視變換矩陣。對立方體作透視變換后，除垂直方向棱線互相平行外，另外兩個方向的棱線分別匯交于滅點。

平行于X,Y軸方向棱線交于一點，平行于Z軸方向棱線平行為了使二點透視后的投影有一恰當(dāng)?shù)奈恢?，通常對立體進行平移、透視、繞Z軸轉(zhuǎn)θ角，于是總的變換矩陣T2為：

為了增加透視圖立體感，一般取p<0,q<0．

（3）三點透視三點透視就是有三個滅點的透視。對立方體作透視變換后三個方向的棱線分別交匯于三個不同的滅點，

三點透視首先將對立體進行平移，然后再進行透視變換，接著將變換后立體繞Z軸和X軸分別旋轉(zhuǎn)θ1和θ2角，最后向V面正投影。其變換矩陣為：平行(正射)投影

最大一個特點是無論物體距離投影面(相機)多遠，投影后的物體大小尺寸不變。這種投影通常用在建筑藍圖繪制和計算機輔助設(shè)計等方面，這些行業(yè)要求投影后的物體尺寸及相互間的角度不變，以便施工或制造時物體比例大小正確。透視投影

符合人類的生理機制，即離視點近的物體大，離視點遠的物體小，遠到極點即為消失，成為滅點。它的視景體類似于一個頂部和底部都被切割過的棱椎，也就是棱臺。這類投影通常用于動畫、游戲、視覺仿真以及其它許多具有真實性反映的方面。

第五章三維圖形生成和變換技術(shù)

5.1三維圖形的概念

5.2自由曲面的生成5.3三維圖形變換5.4三維圖形剪裁和消隱技術(shù)

5.4三維圖形裁剪和消隱技術(shù)

一、三維圖形裁剪1、概述在二維圖形裁剪過程中，圖形視見區(qū)域是一個矩形窗口，落在此窗口內(nèi)圖形均可在屏幕視圖區(qū)中顯示輸出；而在三維觀察空間內(nèi)，物體的視見區(qū)域是一個三維區(qū)域，和二維平面中定義窗口相類似，我們也可以在三維空間中定義一個子空間，并稱這個子空間為三維窗口。

常用的三維窗口有兩種形狀：一種是平行投影立方體三維窗口；另一種是透視投影的棱臺。

組成三維窗口的六個面，把整個三維空間分割成兩部分：窗口內(nèi)部分和窗口外部分。把落在窗口內(nèi)的立體或部分立體從整個空間的立體群中分離出來，這就是三維裁剪所要做的工作。三維裁剪的過程包含兩個基本階段，第一階段是幾何處理階段，在這個階段中所做工作是用窗口平面去裁切立體。第二階段是拓撲處理階段，在這個階段中所要做工作是把經(jīng)截切后殘留下來的信息重新組成新的立體模型。在三維圖形處理中，只有經(jīng)過三維裁剪后，才能對經(jīng)裁剪后保留下來的立體進行消隱處理，最后送去作二維圖形顯示。

2、三維編碼裁剪法如圖所示，立方體裁剪窗口六個面的方程分別是：

-x-1=0x-1=0-y-1=0y-1=0-z-1=0z-1=0空間任意兩點p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2)。直線段p1p2端點和六個面的關(guān)系可轉(zhuǎn)換為一個6位二進制代碼表示，其定義如下：第1位為1：點在裁剪窗口的上面，即y＞1；

第2拉為1：點在裁剪窗口的下面，即y＜-l；

第3位為1：點在裁剪窗口的右面，即x＞1；

第4位為1：點在裁剪窗口的左面，即x＜-1；

第5位為1：點在裁剪窗口的后面，即z＞l；

第6位為1；點在裁剪窗口的前面，即z＜-1。

如同二維線段對矩形窗口的編碼裁剪算法一樣，若一條線段的兩端點的編碼都是零，則線段落在窗口的空間內(nèi)；若兩端點編碼的邏輯與（逐位進行）為非零，則此線段在窗口空間以外；否則，需對此線段作分段處理，即要計算此線段和窗口空間相應(yīng)平面的交點，并取有效交點。

對任意一條三維線段的參數(shù)方程可寫成：裁剪空間六個平面方程的一般表達式為：

把直線方程代入平面方程，求得：

如求一條直線與裁剪空間上平面的交點，即將y-1=0代入，得：如t不在O到1的閉區(qū)間內(nèi)，則交點在裁剪空間以外；否則將t代人直線方程可求得：這時三維線段與裁剪窗口的有效點為類似地可求得其它五個面與直線段的有效交點。連接有效交點可得到落在裁剪窗口內(nèi)的有效線段。對于透視投影的棱臺其方法類似，請自行推導(dǎo)。

3．三維中點分割裁剪法前面討論的二維中點分割裁剪方法可以直接推廣到三維，其原理和過程是完全相同的。對于平行投影和透視投影，僅僅是線段編碼的處理和線段與體表面的交點計算不同，其它部分則完全相同。三維圖形的消隱

1．消隱技術(shù)概述在現(xiàn)實世界中，當(dāng)我們觀察空間任何一個不透明的物體時，只能看到物體上朝向我們的那部分表面，而其余的表面（物體背面）是不可能被我們看見的。在用計算機生成立體圖形時，若將物體的所有部分都表現(xiàn)出來，不管是可見的還是不可見的，這樣的圖形所表示的物體形狀是不清楚的，甚至是不確定的。是一個立方體的線條畫，它的所有的邊均無一遺落，全部畫出，可以有兩種解釋。

從立方體的左上方向下看

從立方體的右下方向上看

為了得到一個確定的、立體感強的投影圖，就需要消除隱藏線和隱藏面，也就是在給定的投影圖中，確定物體哪些邊、面是可見的，消除那些不可見的棱線和表面，這就是所謂消隱問題。消隱問題是計算機領(lǐng)域的難題之一。目前，雖已提出了多種算法，但仍吸引著人們探索新的更有效的解決方法。而這方面研究工作又主要是尋求正確可靠、占用存儲空間少、運算速度快的消隱算法。

所有的隱線、隱面消除算法均和某種排序算法有關(guān)。排序的主要依據(jù)是被顯示的點、線、面或體與觀察點之間的幾何距離。

一個顯示對象離觀察點越遠，那么它越是可能被其他物體所遮擋，這是排序的基本前提。當(dāng)然，在確定了不同的對象離觀察點的不同距離以后，還要對它們在x方向和y方向進行比較，以確定某個較遠的對象實際上是否真的被較近的對象所遮擋。

提高效率的主要途徑是充分利用畫面的相關(guān)性，也就是畫面的某些性質(zhì)在一些相鄰的局部區(qū)域中是相同的或者相差甚微這一特征。消隱算法一般可以分為兩類，區(qū)分的依據(jù)是消隱算法是在哪種空間中實現(xiàn)的。物體空間算法：算法是在描述要顯示對象的物理坐標系中實現(xiàn)的圖像空間算法：算法是在顯示圖形的屏幕坐標上實現(xiàn)的物體空間算法有比較高的精度，生成的圖形即使放大一定倍數(shù)后仍有令人滿意的觀感，因此在比較精密的對象顯示方面有較多的應(yīng)用。圖像空間的算法在精度上不及前者，它最多到屏幕分辨率時就無法再提高精度，但計算效率較高，因為在圖像空間中各種相關(guān)性可以得到充分應(yīng)用，所以也有許多方法是在圖像空間中實現(xiàn)的。2．幾種消隱方法（l）背面消除

背面消除雖不是一個完整的隱面消除方法，但它是隱面消除算法中的關(guān)鍵部分。在消隱問題中，單個凸多面體是最簡單情形。凸多面體是這樣形體：連接形體上不屬于同一表面的任意兩點的線段完全位于形體的內(nèi)部。對于單個凸多面體背面消除即可達到隱面消除的目的。假設(shè)給定視點位置，為了決定一個面相對于視點為可見還是不可見，以圖為例予以說明。定義垂直于物體平面且背離物體的直線向量為平面法線向量，定義從視點到物體表面上任一點直線方向為視線向量方向，那么利用這兩個矢量之間夾角可以進行背面測試，只有當(dāng)兩個矢量之間夾角小于90O時面為可見面。如圖所示，在某一表面內(nèi)取兩個向量p（pl，p2，p3）和q（q1，q2，q3），它們向量積p*q是一個與該向量所確定的平面垂直的法向量n=p*q，n方向由右手法則定義，食指指向p的方向，中指指向q的方向，姆指所指的方向則是n的方向。為了得到符合上述要求的p和q，對所要考慮的表面按逆時針方向取出2、3、8號三個頂點，由2號點到3號點決定p，由2號點到8號點決定q，根據(jù)2、3、8號頂點坐標容易算出p和q的各分向量p1、p2、p3和q1、q2、q3。根據(jù)p和q，就可算出n因為，

n=p*q

n=(n1,n2,n3)所以nl

=p2q3–q2p3

n2=p3q1–q3p1

n3=p1q2–q1p2視線向量v＝（v1,v2,v3），由視點和2號坐標可求分向量v1,v2和v3．

法向量n和視線向量v之間夾角有如下關(guān)系：

v?n=│v│·│n│cosθ

由于?？偸钦?，所以數(shù)量積v·n符號只取決于cosθ。這就是說，如果能夠算得數(shù)量積v·n，便可根據(jù)它的正負號判定θ大小范圍，若數(shù)量積大于0，則θ＜90。，否則θ≥90。。如前所述，θ＜90。

時表示表面可見，否則為不可見。數(shù)量積的計算可按下式進行：v?n=v1n1+v2n2+v3n3綜上所述，為了決定一個凸多面體的不可見面，對于每一個面進行以下幾個工作：①求平面的法向量n；②求平面的視線向量v；③計算v·n；④根據(jù)v·n符號判別該面是否可見。對于單一的凸多面體而言，背面消除完全可以消除不可見面，而對于多個物體組成的復(fù)雜體，僅僅經(jīng)過背面消除是不夠的，還需作進一步測試。但是，背面消除是一個關(guān)鍵的步驟，簡單地經(jīng)過這個過程就可以消去大約50%的隱藏面。（2）深度緩沖器法深度緩沖器法是圖像空間中一種常用的方法．這種方法的基本思想是：對于顯示屏上的每一個像素點（x，y），測試一系列平面，記錄下位于此像素投射線上最靠近觀察點的平面的深度。除了深度外，一般還需記錄下用以顯示此對象的亮度值。一般的深度緩沖器算法采用兩個數(shù)組，一個用來記錄每一個像素點的深度值，一個用來記錄此像素點所對應(yīng)的亮度值。深度緩沖器算法的過程：1）對于屏幕上每一個像素點（x，y），置深度緩沖器Depth[x][y]為一較大值，置亮度緩沖器為背景值；

2）對于景中的每個多邊形，找出多邊形投影到屏上時位于其邊界內(nèi)的全部像素（x，y）。對于這些像素計算出此多邊形在（x，y）處的深度z；如果z＜Depth[x][y]，此多邊形相對于其它多邊形在（x，y）處更靠近觀察者，所以置Depth[x][y]=z，置亮度數(shù)組為該多邊形的亮度值。如果z＞Depth[x][y]，說明該多邊形在此像素點處被其它多邊形隱藏，所以不采取任何行動。當(dāng)對所有像素進行掃描后，深度緩沖器和亮度緩沖器分別包含了所有可見點及可見的亮度值。