高思導引六年級第12講 計數(shù)綜合三完整版

第12講計數(shù)綜合三內(nèi)容概述建立遞推的思想，將問題的復雜情形與簡單情形聯(lián)系起來；學會現(xiàn)察和發(fā)現(xiàn)遞推關系；利用樹形圖、列表等方法處理某些遞推關系．另外，綜合運用各種方法處理與數(shù)字相關的復雜計數(shù)問題．興趣篇1．一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階．走完這10級臺階，一共可以有多少種不同的走法？答案：89種。解析：將臺階數(shù)和走臺階的方法數(shù)列成一張表格，如下所示：走1、2級臺階的方法數(shù)可以枚舉得到．走3級臺方法數(shù)可以分兩類得到：如果第一步走1級臺階，那么參考數(shù)表可得，剩下2級有2種走法；如果第一步走2級臺階，同樣參考數(shù)表可得，剩下1級有1種走法；因此3級合階的走法總數(shù)為1+2=3，如上表箭頭所示．以此類推便可填滿整張表格．2．卡莉婭買了10塊巧克力，她每天最少吃一塊，最多吃3塊，直到吃完，共有多少種吃法？答案：274種解析：將巧克力的數(shù)量與吃法數(shù)列成一張表格，如下所示：吃1、2、3塊巧克力的方法數(shù)可以枚舉得到，吃4塊巧克力的方法數(shù)可以分三類得到：如果第一天吃1塊，那么參考數(shù)表可得，剩下3塊有4種吃法；如果第一天吃2塊，同樣參考數(shù)表可得，剩下2塊有2種吃法；如果第一天吃3塊，那么剩下1塊還有1種吃法，因此4塊巧克力的吃法總數(shù)為1+2+4=7，如上表箭頭所示．以此類推便可填滿整張表格．3．用1×2的小方格覆蓋7×2的長方形，共有多少種不同的覆蓋方法？答案：21種解析：找到左上角的方格，按照該方格是橫著覆蓋還是豎著覆蓋分兩類討論即可得遞推規(guī)則，從而得到如下所示的一張表格．4．如果在一個平面上畫出4條直線，最多可以把平面分成幾個部分？如果畫20條線，最多可以分成幾個部分？答案：11個；211個解析：由于新增直線被分為幾部分，區(qū)域數(shù)量自然也就增加幾部分，所以可以將情況寫為如下的一張數(shù)表：所以20條直線的時候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211個部分．5．甲、乙、丙三名同學練習傳球，每人都可以把球傳給另外兩個人中的任意一個．先由甲發(fā)球，經(jīng)過6次傳球后球仍然回到了甲的手中，請問：整個傳球過程共有多少種不同的可能？答案：22種解析：采用“傳球法”，甲拿球，所以最開始甲標1，乙、丙都標o，接著甲必須由乙、丙傳球給他，所以他下方的數(shù)也必須由乙、兩累加給他；其余兩人同理——這就是傳球規(guī)則決定累加規(guī)則，依據(jù)這一累加規(guī)則，我們不停地將數(shù)表向下累加，每傳一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．這一行的三個數(shù)分別為22、21和21.他們分別表示6次傳球后，由甲、乙、丙拿球的傳球方法數(shù)．由于題目要求最后球回到甲手中，因此答案為22種．6．如圖12—1，用紅、黃、藍三種顏色給一個五邊形的各個頂點染色，同一條邊的兩端點不能同色，且頂點A必須染紅色，請問：有多少種不同的染色方式？圖12—1答案：10種解析：采用“傳球法”，A染紅色，所以在紅色的下方標1，黃色和藍色下方標0．B不能再染紅色，所以紅色下面的標O，黃色和藍色下方標1．后面的C、D、E按照傳球規(guī)則進行累加，注意到E不能染紅色，所以有5+5=10種染法．7．一個三位數(shù)，有相鄰兩個數(shù)字的和為16，那么這樣的三位數(shù)共有多少個？答案：54個解析：首先要審清題，題目中說“有相鄰兩個數(shù)字的和為16”，并不是說所有相鄰兩個數(shù)字之和都是16.相鄰兩個數(shù)字之和為16有三種可能：79，97或88.(1)若百位和十位的數(shù)字之和為16，個位可以填O～9，共3×10一30種填法．(2)若十位和個位的數(shù)字之和為16，百位可以填1～9，共3×9—27種填法，兩種情況共計57種填法，考慮到797、979和888被算了兩次，因此這樣的三位數(shù)有57-3=54個．8．一個各位數(shù)字互不相等的五位數(shù)不含數(shù)字0，且數(shù)字和為18，這樣的五位數(shù)共有多少個？答案：360個解析：滿足條件的情況只有以下三種：1+2+4+5+6=18,l+2+3+4+8=18,1+2+3+5+7=18，共計×3=360個．9．一個十位數(shù)只含有數(shù)字1或2，且不含兩個連續(xù)的數(shù)字1，一共有多少個這樣的十位數(shù)？答案：144個解析：十位數(shù)中不含有1，有1種，十位數(shù)中含有一個1，有=10種．十位數(shù)中含有兩個l，有=36種．十位數(shù)中含有三個l，有=56種．十位數(shù)中含有四個1，有=35種．十位數(shù)中含有五個1，有=6種．共計144種，10．一個六位數(shù)由1、2、3、4、5組成，而且任意相鄰兩個數(shù)位的數(shù)字之差都是1，這樣的六位數(shù)有多少個？答案：72個解析：采用“傳球法”，十萬位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分別填1．要求任意相鄰兩個數(shù)位之差都是1，因此萬位1、2、3、4、5的下方分別填1、2、2、2、1．后面的數(shù)位同理，因此這咩的六位數(shù)共有9+18+18+18+9=72個，拓展篇1．老師給小高布置了12篇作文，規(guī)定他每天至少寫1篇．如果小高每天最多能寫3篇，那么共有多少種寫完作文的方法？答案：927種解析：將作文數(shù)量與完成作文的方法數(shù)列成一張表格，如下所示：下面解釋一下這張數(shù)表是如何累加得到的，寫1、2、3篇作文的方法數(shù)可以枚舉得到．寫4篇作文的完成方法數(shù)可以分三類去數(shù)：如果第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下3篇有4種完成方法；如果第一天寫2篇，同樣參考數(shù)表可得，剩下2篇有2種完成方法；如果第一天寫3篇，那么剩下1篇還有1種完成方法，因此4篇作文的完成方法總數(shù)為1+2+4=7，如上表箭頭所示．接著分析5篇作文的完成方法數(shù)，仍然分三類：第一天寫1篇，那么參考數(shù)表可得，剩下4篇還有7種完成方法