八年級(jí)數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)競(jìng)賽專(zhuān)題輔導(dǎo)專(zhuān)題08 四邊形的最值問(wèn)題

()()專(zhuān)題08四邊形的最值問(wèn)題專(zhuān)題解讀】不確定的圖形有最值，最值問(wèn)題歷來(lái)是各類(lèi)試卷的寵兒，也是一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于幾何類(lèi)線(xiàn)段最小問(wèn)題，最終一定是通過(guò)基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”來(lái)解釋?zhuān)覀冃枰龅?，是分析清楚題中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)，抽象出類(lèi)似之處，然后將其轉(zhuǎn)化成熟悉的基本圖形來(lái)解決，而轉(zhuǎn)化過(guò)程有效性，直接決定了問(wèn)題的得解。思維索引例1.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段AF、BE相交于P，求線(xiàn)段DP的最小值.例2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E為CD的中點(diǎn)，若P、Q為BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,當(dāng)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的值.例3.如圖，AABC是等邊三角形，AB=4,E是AC中點(diǎn)，D是直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段EF,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段AF的最小值.

素養(yǎng)提升1?直線(xiàn)y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，分別交x、y軸于E、F,連結(jié)EF,則EF的最小值為（）A.1.5B.2C.2.4D.2.5第1題圖A.1.5B.2C.2.4D.2.5第1題圖2.如圖,□ABCD中，邊BC=4.8,對(duì)角線(xiàn)BD=5，E，F(xiàn)，P是分別是BC2.如圖,□ABCD中，邊BC=4.8,TOC\o"1-5"\h\zEB，F(xiàn)P=FD,則線(xiàn)段EF的最小值為（）A.3B.2.5C.2.4D.2矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,4）,D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)ACDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）45A.（3,1）B.（3,）C.（3,三）D.（3,2）33如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E、F、G分別是邊AB、BC和對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)，則GE+EF＋FG的最小值為（）A.4.8B.6第4題圖第A.4.8B.6第4題圖第5題圖5.如圖，菱形ABCD中，AB=10,ZB=60°,BE=4,BH=2，點(diǎn)F從H出發(fā)沿HA向A運(yùn)動(dòng)，以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,在F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是（）A.10/3A.10/3B.8C.4.3D.46?如圖，在正方形網(wǎng)格中，甲，乙，丙三個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別沿著圖中的三條路線(xiàn)，都是從A出發(fā)，到達(dá)終點(diǎn)B，其中甲的路線(xiàn)是A-?C—?D—B,乙的路線(xiàn)是A—>E—?D—>F—B,丙的路線(xiàn)是A—G—B,則彳丁走路線(xiàn)長(zhǎng)最短的是.

7.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，點(diǎn)E是射線(xiàn)CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把OBCE沿BE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,則線(xiàn)段DF長(zhǎng)的最小值為.第8題圖第6第8題圖第6題圖第7題圖8.如圖，在△ABC中，AC=BC,AB=10,E，F(xiàn)分別是CA、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，連結(jié)EF,貝VEF的最小值為．9?如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為―，0），點(diǎn)B在直線(xiàn)y=4x-3上運(yùn)動(dòng)，則以線(xiàn)段AB為邊的正方形ABCD的面積的最小值為*y第9題圖第*y第9題圖第10題圖如圖，△ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,D是射線(xiàn)CB上一點(diǎn)，將點(diǎn)D繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)E,連結(jié)EC,若AC=2,則EC的最小值為.如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)E作EF丄PE交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F,設(shè)M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)的長(zhǎng).第7題圖第7題圖如圖，菱形ABCD中，AD=4,ZB=60。，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，PELAB,PF丄AC,求線(xiàn)段EF長(zhǎng)的取值范圍．如圖，在△ABC中，ZCAB=60°,AC=4,AB=5,P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.CC在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點(diǎn)，D是射線(xiàn)BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD,將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段AE,連結(jié)ED,N為ED的中點(diǎn)，連結(jié)AN,MN.如圖1,當(dāng)BD=2時(shí)，AN=,MN與AB的位置關(guān)系是；當(dāng)4VBDV8時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2；判斷(1)中MN與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；連結(jié)ME,在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求ME的長(zhǎng)的最小值.圖1圖1專(zhuān)題08四邊形的最值問(wèn)題思維索引】例1.先證△ABE^^DAF,可得AF丄BE,于是在△ABP中，ZAPB=90。，取AB中點(diǎn)Q,連接QP,QD,則QP=1，QD=后，當(dāng)Q,P,D三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)DP最小，于是DP的最小值為<5-1.例2.作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,作FH平行BC,QM平行PF,CH丄FH,連接ME,要使得四邊形APQE周長(zhǎng)最小，則AP+EQ最小，由作圖，AP=FP=MQ,故只需MQ+EQ最小即可，于是在AHME中，EH=6,MH=6，故AHME是等腰三角形，所以AEGC也是等腰直角三角形，所以CG=2，此時(shí)BP=8-2-2=4.例3.如圖，作EG丄BC,EH丄MN,AN丄MN,CM丄MN,GP丄AN,先證AEDG^AEFH，則EH=EG=2\：3，則點(diǎn)F在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)，AF的最小值就是AN,而AN=AP+PN=1+2<3,故AF的最小值為1+2*3.素養(yǎng)提升】441C；2.B；3.B；4.A；5.B；6.丙；7.2；8.5；9.；10.1；25如圖，因?yàn)镋M=MF,故M運(yùn)動(dòng)形成的路線(xiàn)是直線(xiàn)型，當(dāng)P在點(diǎn)A處時(shí)，F(xiàn)在點(diǎn)G處，M在點(diǎn)N處；當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)，F(xiàn)在點(diǎn)H處，M在點(diǎn)②處，故M形成的路線(xiàn)是線(xiàn)段NQ,其值為|GH,設(shè)GH=x,在△EGH中，EH2=x2+62，在AEBG中，EB2=22+62，在AEBH中，C2+62)+62+62)=(x+2)2，解得x18，所以點(diǎn)M形成的路線(xiàn)長(zhǎng)是9.ED”1\…二,BGFCH將點(diǎn)P沿AB對(duì)稱(chēng)得P，沿AC對(duì)稱(chēng)得P，連接AP,AP,PP，則AAPP是頂角為120度的等腰三角12121212形，故EF二1PP二亙AP，因?yàn)?叮3AP4，故3EF2點(diǎn).2122將AAPC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60度得到AAQD，m^=PA+PB+PC=DQ+QP+PB，當(dāng)D，Q，P，B四個(gè)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，m有最小值DB,作DE1AB，在AADE中，DE=2<3，在ADEB中，DBf61，故P4+PB+PC的最小值f6T.14.（1）AN=ui0，NMIAB；在厶人侖。中，AD=用，在AADE中，DE=2<10，因N是DE中點(diǎn)，則AN^-10；作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF、CF、BE、BN，可證NAFD些'ABE，則ZABE=ZAFD=45。，于是EBLBC，故點(diǎn)E的軌跡是直線(xiàn)