孝感市重點中學2022-2023學年九年級數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在平面直角坐標系中，將△ABC向右平移3個單位長度后得△A1B1C1，再將△A1B1C1繞點O旋轉180°后得到△A2B2C2，則下列說法正確的是()A．A1的坐標為(3，1) B．S四邊形ABB1A1＝3 C．B2C＝2 D．∠AC2O＝45°2．如圖，正方形ABCD中，BE＝FC，CF＝2FD，AE、BF交于點G，連接AF，給出下列結論：①AE⊥BF；②AE＝BF；③BG＝GE；④S四邊形CEGF＝S△ABG，其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且∠D＝40°，則∠PCA等于（）A．50° B．60° C．65° D．75°4．已知點都在反比例函數(shù)為常數(shù)，且)的圖象上，則與的大小關系是（）A． B．C． D．5．，，，π四個實數(shù)，任取一個數(shù)是無理數(shù)的概率為()A． B． C． D．16．方程x2－4＝0的解是A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±47．下列事件中，是必然事件的是（）A．購買一張彩票，中獎 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心C．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈8．如圖，在△ABC中，∠A=90°，sinB=，點D在邊AB上，若AD=AC，則tan∠BCD的值為()A． B． C． D．9．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上一點，連AC、BC，若∠P＝80°，則的∠ACB度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°10．拋物線，下列說法正確的是（）A．開口向下，頂點坐標 B．開口向上，頂點坐標C．開口向下，頂點坐標 D．開口向上，頂點坐標11．若△ABC∽△DEF，相似比為2：3，則對應面積的比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：912．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+b和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能為（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，﹣2)，(m，1)，則m＝_____．14．在一只不透明的袋中，裝著標有數(shù)字，，，的質地、大小均相同的小球．小明和小東同時從袋中隨機各摸出個球，并計算這兩球上的數(shù)字之和，當和小于時小明獲勝，反之小東獲勝．則小東獲勝的概率_______．15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝15，則四邊形ABCD的周長為_____．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DCB＝60°，CB＝CD，AC＝8，則四邊形ABCD的面積為__．17．已知兩個數(shù)的差等于2，積等于15，則這兩個數(shù)中較大的是．18．已知2是關于的一元二次方程的一個根，則該方程的另一個根是________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B是線段AC的中點．（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；（2）求△COD的面積；（3）直接寫出當x取什么值時，k1x+b＜．20．（8分）如圖，已知二次函數(shù)的頂點為（2，），且圖象經(jīng)過A（0，3），圖象與x軸交于B、C兩點．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）連結AB、AC，求△ABC面積．21．（8分）（1）解方程（2）計算：22．（10分）已知關于x的方程.（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.23．（10分）已知（1）化簡A；（2）若點P（a，b）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，求A的值．24．（10分）綜合與探究：三角形旋轉中的數(shù)學問題．實驗與操作：

Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°．將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到Rt△AB′C′（點B′，C′分別是點B，C的對應點）．設旋轉角為α（0°＜α＜180°），旋轉過程中直線B′B和線段CC′相交于點D．猜想與證明：（1）如圖1，當AC′經(jīng)過點B時，探究下列問題：①此時，旋轉角α的度數(shù)為°；②判斷此時四邊形AB′DC的形狀，并證明你的猜想；（2）如圖2，當旋轉角α＝90°時，求證：CD＝C′D；（3）如圖3，當旋轉角α在0°＜α＜180°范圍內(nèi)時，連接AD，直接寫出線段AD與C之間的位置關系（不必證明）．25．（12分）某商場銷售一種成本為每件元的商品，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可近似看作一次函數(shù)．商場銷售該商品每月獲得利潤為（元）．（1）求與之間的函數(shù)關系式；（2）如果商場銷售該商品每月想要獲得元的利潤，那么每件商品的銷售單價應為多少元？（3）商場每月要獲得最大的利潤，該商品的銷售單價應為多少？26．平行四邊形的對角線相交于點，的外接圓交于點且圓心恰好落在邊上，連接，若.（1）求證：為切線.（2）求的度數(shù).（3）若的半徑為1，求的長.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】試題分析：如圖：A、A1的坐標為（1，3），故錯誤；B、=3×2=6，故錯誤；C、B2C==，故錯誤；D、變化后，C2的坐標為（-2，-2），而A（-2，3），由圖可知，∠AC2O=45°，故正確．故選D．2、C【分析】根據(jù)正方形的性質證明△ABE≌△BCF，可證得①AE⊥BF；

②AE＝BF正確；證明△BGE∽△ABE，可得＝＝，故③不正確；由S△ABE＝S△BFC可得S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．【詳解】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90，

又∵BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∴∠FBC＋∠BEG＝∠BAE＋∠BEG＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故①，②正確；

∵CF＝2FD，BE＝CF，AB＝CD，

∴＝，

∵∠EBG＋∠ABG＝∠ABG＋∠BAG＝90°，

∴∠EBG＝∠BAE，

∵∠EGB＝∠ABE＝90°，

∴△BGE∽△ABE，

∴＝＝，即BG＝GE，故③不正確，

∵△ABE≌△BCF，

∴S△ABE＝S△BFC，

∴S△ABE?S△BEG＝S△BFC?S△BEG，

∴S四邊形CEGF＝S△ABG，故④正確．

故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解決問題的關鍵是熟練掌握正方形的性質．3、C【分析】根據(jù)切線的性質，由PD切⊙O于點C得到∠OCD＝90°，再利互余計算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以，然后根據(jù)三角形外角性質計算∠PCA的度數(shù)．【詳解】解：∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．故選C．【點睛】本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形外角性質等知識；熟練掌握切線的性質與三角形外角性質是解題的關鍵．4、B【分析】由m2>0可得-m2<0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得的圖象在二、四象限，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，根據(jù)各點所在象限及反比例函數(shù)的增減性即可得答案.【詳解】∵m為常數(shù)，，∴m2>0，∴-m2<0，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵-2<-1<0，1>0，∴0<y1<y2，y3<0，∴y3<y1<y2，故選：B.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質，對于反比例函數(shù)y=(k≠0)，當k>0時，函數(shù)圖象在一、三象限，在各象限，y隨x的增大而減??；當k<0時，函數(shù)圖象在二、四象限，在各象限，y隨x的增大而增大；熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題關鍵.5、B【分析】先求出無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出結論；【詳解】∵共有4種結果，其中無理數(shù)有：，π共2種情況，∴任取一個數(shù)是無理數(shù)的概率；故選B.【點睛】本題主要考查了概率公式，無理數(shù)，掌握概率公式，無理數(shù)是解題的關鍵.6、C【分析】方程變形為x1=4，再把方程兩邊直接開方得到x=±1．【詳解】解：x1=4，∴x=±1．故選C．7、C【解析】事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【詳解】解：A、購買一張彩票，中獎，是隨機事件，故A不符合題意；

B、射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故B不符合題意；

C、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件，故C符合題意；

D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，故D不符合題意；

故選：C．【點睛】本題考查了隨機事件、不可能事件，隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．8、C【分析】作DE⊥BC于E，在△CDE中根據(jù)已知條件可求得DE,CE的長，從而求得tan∠BCD.【詳解】解：作DE⊥BC于E.∵∠A=90°，sinB=，設AC=3a=AD，則AB=4a,BC=5a,∴BD=AB-AD=a.∴DE=BD·sinB=a,∴根據(jù)勾股定理，得BE=a,∴CE=BC-BE=a,∴tan∠BCD=故選C.【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了直角三角形中三角函數(shù)值的計算，本題中正確求三角函數(shù)值是解題的關鍵．9、B【分析】先利用切線的性質得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四邊形的內(nèi)角和計算出∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理計算∠ACB的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故選：B．【點睛】本題考查圓的切線,關鍵在于牢記圓切線常用輔助線:連接切點與圓心.10、C【分析】直接根據(jù)頂點式即可得出頂點坐標，根據(jù)a的正負即可判斷開口方向．【詳解】∵，∴拋物線開口向下，由頂點式的表達式可知拋物線的頂點坐標為，∴拋物線開口向下，頂點坐標故選：C．【點睛】本題主要考查頂點式的拋物線的表達式，掌握a對開口方向的影響和頂點坐標的確定方法是解題的關鍵．11、D【解析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2：3，∴對應面積的比為（）2＝，故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質定理是解題的關鍵.12、A【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致．【詳解】A、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項正確；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤．故選A．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解答．【詳解】解：設反比例函數(shù)的圖象為y＝，把點（2，﹣2）代入得k＝﹣1，則反比例函數(shù)的圖象為y＝﹣，把（m，1）代入得m＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質,關鍵在于熟記性質.14、【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意畫圖如下：可以看出所有可能結果共有12種，其中數(shù)字之和大于等于9的有8種∴P（小東獲勝）＝=故答案為：.【點睛】此題主要考查概率公式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖表示所有情況.15、1【分析】根據(jù)切線長定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=25，根據(jù)四邊形的周長公式計算，得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四邊形ABCD的周長＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是切線長定理，掌握從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題的關鍵．16、16【分析】延長AB至點E，使BE＝DA，連接CE，作CF⊥AB于F，證明△CDA≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質得到CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，得到△CAE為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質計算，得到答案．【詳解】延長AB至點E，使BE＝DA，連接CE，作CF⊥AB于F，∵∠DAB+∠DCB＝120°+60°＝180°，∴∠CDA+∠CBA＝180°，又∠CBE+∠CBA＝180°，∴∠CDA＝∠CBE，在△CDA和△CBE中，，∴△CDA≌△CBE（SAS）∴CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，∵∠DCB＝60°，∴∠ACE＝60°，∴△CAE為等邊三角形，∴AE＝AC＝8，CF＝AC＝4，則四邊形ABCD的面積＝△CAB的面積＝×8×4＝16，故答案為：16．【點睛】考核知識點：等邊三角形判定和性質，三角函數(shù).作輔助線，構造直角三角形是關鍵.17、5【分析】設這兩個數(shù)中的大數(shù)為x，則小數(shù)為x﹣2，由題意建立方程求其解即可．【詳解】解：設這兩個數(shù)中的大數(shù)為x，則小數(shù)為x﹣2，由題意，得x（x﹣2）=15，解得：x1=5，x2=﹣3，∴這兩個數(shù)中較大的數(shù)是5，故答案為5；考點：一元二次方程的應用．18、-1．【解析】設方程的另一個根為,由韋達定理可得:,即,解得.點睛:本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系,解決本題的關鍵是要熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系.三、解答題（共78分）19、（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）當0＜x＜2或x＜﹣4時，k1x+b＜．【分析】（1）把點C的坐標代入反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，作軸于E，根據(jù)題意求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；

（2）聯(lián)立方程求得D的坐標，然后根據(jù)即可求得△COD的面積；

（3）根據(jù)圖象即可求得時，自變量x的取值范圍．【詳解】（1）∵點C（2，4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴，∴；如圖，作CE⊥x軸于E，∵C（2，4），點B是線段AC的中點，∴B（0，2），∵B、C在的圖象上，∴，解得，∴一次函數(shù)為；（2）由，解得或，∴D（﹣4，﹣2），∴；（3）由圖可得，當0＜x＜2或x＜﹣4時，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，方程組的解以及三角形的面積等，求得B點的坐標是解題的關鍵．20、（1）；（2）.【分析】（1）設該二次函數(shù)的解析式為，因為頂點（2，-1），可以求出h,k,將A（0，3）代入可以求出a，即可得出二次函數(shù)解析式.（2）由（1）求出函數(shù)解析式，令y等于0可以求出函數(shù)圖像與x軸的兩個交點為B,C兩點，然后利用面積公式,即可求出三角形ABC的面積.【詳解】（1）設該二次函數(shù)的解析式為∵頂點為（2，）∴又∵圖象經(jīng)過A（0，3）∴即∴該拋物線的解析式為（2）當時，，解得，∴C（3，0）B（1，0）得∴.【點睛】熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積公式是本題的解題關鍵.21、（1），；（2）【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；（2）先將sin45°和tan60°的值代入，再計算即可得出答案.【詳解】解：（1）方程整理得：，配方得：，即，開方得：，解得：，；（2）原式.【點睛】本題考查的是解一元二次方程和三角函數(shù)值，比較簡單，需要牢記特殊三角函數(shù)值.22、（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系列方程組求解即可.（2）要證方程都有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明根的判別式大于0即可.試題解析：（1）設方程的另一根為x1，∵該方程的一個根為1，∴.解得.∴a的值為，該方程的另一根為.（2）∵，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.考點：1.一元二次方程根與系數(shù)的關系；2.一元二次方程根根的判別式；3.配方法的應用.23、（1）ab；（1）A＝﹣1【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再約分，然后同分母分式相加，分母不變，分子相加，最后把除法轉化乘法，約分即可；（1）把P點代入解析式，求得ab＝﹣1，即可求得A＝﹣1．【詳解】解：（1）＝ab，（1）∵點P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝﹣1，∴A＝﹣1．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，分式的運算，把分式化簡是解題的關鍵．24、（1）①60；②四邊形AB′DC是平行四邊形，證明見解析．（2）證明見解析；（3）【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質、旋轉的性質、等邊三角形的判定方法解題；②根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解題；（2）過點作的垂線，交于點E，由旋轉的性質得到對應邊、對應角相等，進而證明△CDB≌△，即可解題；（3）先證明，再由相似三角形的性質解題，進而證明即可證明.【詳解】解：（1）①60；②四邊形AB′DC是平行四邊形．證明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴∠CAB=90°-30°=60°．∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，∴∠C′AB′=∠CAB=60°，，．與都是等邊三角形．∴∠ACC′=∠AB′B=60°．∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．∴AB′//CD，AC//B′D．∴四邊形AB′DC是平行四邊形．（2）證明：過點作的垂線，交于點E，∴∠B′C′E=90°．∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉90°得到的，∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，，．∴∠AB=∠AB=45°，BC∥AB′∥C′E∵∠AC=∠ABC=90°，∴∠B=∠CBE=45°．∴∠=90°－45°=45°=∠B．∴．在△CBD和△ED中，∴△CDB≌△DE．∴CD=D．（3）AD⊥C,理由如下：設AC與D交于點O，連接AD，∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B，，

【點睛】本題考查幾何綜合，其中涉及三角形的旋轉、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定等知識，綜合性較強，是常見考點，掌握相關知識、學