第十一講等腰三角形的性質(zhì)(含答案)-

第十一講等腰三角形的性質(zhì)若按邊(角)是否相等分類(lèi)，兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一類(lèi)特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊上的高、中線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互相重合(簡(jiǎn)稱(chēng)三線(xiàn)合一)，特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為60°．解與等腰三角形相關(guān)的問(wèn)題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運(yùn)用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線(xiàn)段相等的證明、直線(xiàn)位置關(guān)系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運(yùn)用，又不囿于全等三角形，善于運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑．例題求解【例1】如圖AOB是一管EF、FG、GH??添加的(2001年山東省聊城市中考題)思路點(diǎn)撥通過(guò)角度的計(jì)算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管根．AMGEOFBH注角是幾何中最活躍的元素，與角相關(guān)的知識(shí)異常豐富，在三角形中，角又有獨(dú)特的等量關(guān)系，如三角形內(nèi)角和定理、內(nèi)外角關(guān)系定理．等腰三角形兩底角相等，利用這些定理可以找到角與角之間的“和”、“差”、“倍”、“分”關(guān)系．隨著知識(shí)的豐富，我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法和工具隨之增加，因此，在使用什么方法解決問(wèn)題時(shí)，需要綜合與選擇．【例2】如圖，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，則∠BAC的度數(shù)為（)A．30°D．32°C36°(2001年武漢市選拔賽試題)D．40°思路點(diǎn)撥圖中有很多相關(guān)的角，用∠BAC的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠BAC的方程．AADBCHKEBFGC【例3】如圖，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)D滿(mǎn)足什么條件時(shí)，∠ADB＝∠CDF，請(qǐng)說(shuō)明理由．(安徽省競(jìng)賽題改編題)思路點(diǎn)撥本例是探索條件的問(wèn)題，可先假定結(jié)論成立，逐步逆推過(guò)去，找到相應(yīng)的條件，-1-若∠ADB＝∠CDF，這一結(jié)論如何用(中線(xiàn)AC＝BC，∠ACB=90°，?因∠ADB與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，故需構(gòu)造全等)是等腰三角形中一條常用輔助線(xiàn)．D是AC上一AE⊥BD交BD的延三角形，而作頂角的平分線(xiàn)或底邊上的高【例4】如圖，在△ABC中，點(diǎn)，長(zhǎng)線(xiàn)于E，且AE=1BD．求證：BD是∠ABC的角平分線(xiàn)．(北京市競(jìng)賽題)2思路點(diǎn)撥AE邊上的高與∠ABC的平分線(xiàn)重合，聯(lián)想到等腰三角形，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．AEDBC注若巳知圖形中不存在證題所需的全等三角形，我們需要添加輔助戰(zhàn)，構(gòu)造全等三角形，使欲證的線(xiàn)段或角轉(zhuǎn)移位置，最終使問(wèn)題得以解決．結(jié)論探索型、條件探索型、存在性判斷是探索型問(wèn)題的基本形式，相應(yīng)的解題策略是：(1)通過(guò)對(duì)符合條件的特例或簡(jiǎn)單情形的分析、觀察、猜想結(jié)果，再給出證明；(2)假設(shè)結(jié)論成立，逆推追尋相應(yīng)的條件；(3)假設(shè)在題設(shè)條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象存在，進(jìn)行推理，若則，給出肯定的結(jié)論．由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否【例5】如圖，在△ABC中，是△ABC形外的等邊三角形，而點(diǎn)D在AC上，(1)證明：△C′BD≌△B′DC；(2)證明：△AC′D≌△DB′A；(3)對(duì)△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，從面積大小關(guān)系上，你能得出什么結(jié)論(第17屆江蘇省競(jìng)賽題)已知∠C＝60°，AC>BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都且BC＝DC?C'ABDB'CA'思路點(diǎn)撥(1)是基礎(chǔ)，(2)是(1)的自然推論，(3)由角的不等，導(dǎo)出邊的不等關(guān)系，這是探索面積不等關(guān)系的關(guān)鍵．-2-學(xué)歷訓(xùn)練1．如圖，△ABC中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一個(gè)條件是．(2003年濟(jì)南市中考題)2．等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為．3．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，則∠DPF=度．AAAEDFEDBDECBPCBC（第1題）4．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝AC，則∠ABC的大小是．(2002年煙臺(tái)市中考題5．△ABC的一個(gè)40°，A=∠B，那么∠C的外角的A．140°B．80°或100°C．100°或140°D．80°或140°6．已知△ABC中，（第3題）（第4題）)內(nèi)角的大小是且∠大小是()AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)F、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，1③S=S；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、BABC四邊形AEPF2重合)，上A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，則∠ECF＝(述結(jié)論中始終正確的是()(2003年蘇州市中考題))A．60°B．45°C．30°D．不確定AAAEFEEFPBCCPBBDC（第6題）8．如圖，在等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是A．45°D．55°C．60°D．75°(2003年菏澤市中考題9．在△ABC中，已知AB＝AC，且過(guò)△ABC某一可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求厶ABC各內(nèi)角的度數(shù)．(2002年廣州市中考題（第7題）（第8題）())頂點(diǎn)的直線(xiàn))-3-10．如圖，已知長(zhǎng)AD交BC于M，延長(zhǎng)DA交EF于N，G是FD與AB的交點(diǎn)，(1)請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)不同類(lèi)型的、必須經(jīng)過(guò)至少兩步推理才能得到的正確結(jié)論（不要求寫(xiě)出證明A、D兩點(diǎn)分別是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，連結(jié)GH、AD，延H是ED與AC的交點(diǎn)．過(guò)程）；(2)問(wèn)FE、GH、BC有何位置關(guān)系?試證明你的結(jié)論．(2003年江西省中考題)FEADGHBC11．如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D為DC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，BFF．求證：AB垂直平分DF．(2003年河南省中考題∥AC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn))CDEBAF12．如圖，O為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD＝DA，BE＝AB，∠DBE＝∠DBC，則∠BED的度數(shù)是．(2002年河南省競(jìng)賽題)AACB'EEBDDBCA'（第12題）（第13題）-4-13．如圖，AA′、BB′分別是∠EAO、∠DBC的平分線(xiàn)，若AA′=BB′＝AB，則∠BAC的度數(shù)為．(2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題14．周長(zhǎng)為100，邊長(zhǎng)為整數(shù)的等腰三角形共有種．(第七屆“華杯賽”試題))15．已知等腰三角形的兩邊a、b滿(mǎn)足2a3b5(2a3b13)2=0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為．16．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，則∠C的大小是()A．20°B．25°C．30°D．45°AEAGFBDBCDC（第16題）17題）17．如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線(xiàn)與兩腰相交于E、F，連結(jié)EF與AD相交于G，則∠AED與∠AGF的關(guān)系為A．∠AED>∠AGFB．∠AED＝∠AGFC．∠AED<∠AGFD．不能確定（第上的高，()（“學(xué)習(xí)報(bào)）公開(kāi)賽試題）18．如圖，直線(xiàn)、、表示三條相交的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路lll123的距離相等，則可供選擇的地址有()l2l1l3A．一處B．兩1.5ba、b、c，且滿(mǎn)足a3.252a，則△ABC是(處C．三處D．四處.(2000年安徽省中考題)b2219．△ABC的三邊為)22cA．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．以上答案都不對(duì)(2002年河南省競(jìng)賽題20．如圖，在△ABC中，AB=AC，P邊底BC上一點(diǎn)，)PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥-5-AB于F．(1)求證：PD+PE=CF；(2)若P點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么PD、PE、CF存在什么關(guān)系?寫(xiě)出你的猜想并證明．AFEDBPC21．如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥CD交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于G，求證：BG=AF+FG．(2000年重慶市競(jìng)賽題)AEGMDBFC22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度數(shù)．(天津市競(jìng)賽題)AOBC-6-23．如圖，等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，過(guò)點(diǎn)F