高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測-專題直線與次曲線專題復(fù)習(xí)講練圓錐曲線

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圓錐曲線一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)1

本節(jié)復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容有：（1進(jìn)一步熟練圓錐曲線基本量的計(jì)算2）利用直線與圓錐曲線的方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一步熟練掌握解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的思想方法公共點(diǎn)的個數(shù)問題長問題、弦的中點(diǎn)問題，有關(guān)的垂直關(guān)系問題、對稱問題、存在性問題等；（3根據(jù)已知直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線或圓錐曲線方程問題．2

本節(jié)的重點(diǎn)是利用直線和圓錐曲線的方程研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的思想方法．利用方程，通過代數(shù)推理研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)算量大代數(shù)推理能力要求高，因而也成為本課時復(fù)習(xí)中的一個難點(diǎn)直與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考解析幾何命題的熱點(diǎn)常常作為壓軸題或把關(guān)題在高考試題中出現(xiàn)．3

在本節(jié)的復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意如下復(fù)習(xí)策略：熟練掌握有關(guān)直線和圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，解決直線與圓錐曲線問題的基本方法、基本技能．在熟練掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上，要不斷探索，優(yōu)化解題過程，簡化運(yùn)算，正確進(jìn)行代數(shù)推理，提高解題速度和準(zhǔn)確率．注意以下幾點(diǎn)：（1有關(guān)直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；（2有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長公式及韋達(dá)定理，設(shè)而不求；有關(guān)焦點(diǎn)弦長問題，要重視圓錐曲線定義及焦半徑公式的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算；（3有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，應(yīng)注意靈活運(yùn)用“差分法”，設(shè)而不求，簡化運(yùn)算；（4有關(guān)垂直關(guān)系問題，應(yīng)注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體處理；（5有關(guān)圓錐曲線關(guān)于直線ｌ的對稱問題中，若A、A′是稱點(diǎn)，則應(yīng)抓?。粒痢涞闹悬c(diǎn)在ｌ上及ｋ·ｋｌ＝－兩個關(guān)鍵條件解決問題；（6有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的存在性問題，一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”．二、例題講解例1

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在上，過它的右焦點(diǎn)F引傾斜角為（π／）的直線ｌ交橢圓于MN兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和為8／，它的左焦點(diǎn)F到直線ｌ的距離求橢圓的方程．

，圖8-11講解本題是根據(jù)已知直線與橢圓的位置關(guān)系求橢圓的方程因橢圓的位置確定因而方程的形式確定，故可用待定系數(shù)法求解．如圖8-11，所求橢圓的方程為（ｘ

／ａ

）＋（ｙ／ｂ

）＝1其中ａ＞ｂ＞0．Ｆ（－ｃ，0，Ｆ（ｃ0）ｃ＝則直線ｌ的方程為ｙ＝ｘ－ｃ由F到ｌ的距離為

，求得ｃ＝若設(shè)ｘｙ（ｘｙ，1/6

則ｄ＝（ａ

／ｃ）－ｘ，ｄ＝ａ／ｃ）－ｘ

．∵ｃ＝1ｄ＋ｄ＝2ａ

－（ｘ＋ｘ

）．據(jù)已知有2ａ－（ｘ＋）（83．①欲求橢圓方程，已知ｃ＝1，所以只需求得ａ，由①知，只要將ｘ＋ｘ用表示即可.要尋求ｘ＋ｘ

與ａ的關(guān)系，須從直線與橢圓的方程組成的方程組入手．（ａ

－1ｘ

＋ａ

ｙ

＝ａ（ａ

－1，由ｙ＝ｘ－1消去ｙ，得（2

－1ｘ

－2ａ

ｘ＋ａ

（2－ａ

）＝從而ｘ＋ｘ＝2ａ

／（ａ

－1．②②代入①解得ａ

＝2則ｂ

＝1．故所求橢圓方程為（ｘ

／2）＋ｙ＝1本題也可以由焦半徑公式，得｜ＭＦ｜＋｜ＮＦ｜＝－1ａ（ｘ＋ｘ，再據(jù)橢圓第二定義，得｜ＭＦ｜＋｜ＮＦ｜＝（83），建立關(guān)于方程．本題在得到｜ＭＦ｜＋｜ＮＦ｜（8／3ａ）后可以利用弦長公式建立關(guān)于a方程但運(yùn)算量大．后兩種方法請同學(xué)們試試看，比較其優(yōu)劣．例2

已知雙曲線的一個焦點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)該焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線方程是直l與雙曲線交于P、P兩點(diǎn).線段PP的垂直平分線方程為且｜PP｜=2，求雙曲線的方程．講解：據(jù)已知條件，所求雙曲線方程是非標(biāo)準(zhǔn)形式．但由已知焦點(diǎn)位置和相應(yīng)準(zhǔn)線知實(shí)軸在x軸上，且中心為（c,0），故可用待定系數(shù)法求．若設(shè)PP的方程為y=x+m與雙曲線方程聯(lián)立，用弦長公式求解，參數(shù)較多，運(yùn)算量大，故從求點(diǎn)、的坐標(biāo)入手．設(shè)所求雙曲線的方程（據(jù)題意，c-1=a／c，

／a（y／（其中a0,b＞0,c=

.圖8-12.圖8-12即c=c+a,

c=b２．設(shè)P（,y）,

P（-y,-x）.∵｜PP｜=2∴

,2/6

=2．∴x+y=2.①又P（,y）、P（-y）都在雙曲上，（（x-c）／）-（y／b）=1∴（（-y-c

／）--x）

／b

）兩式相減，并注意到=c,x-y=2.②聯(lián)立①、②，解得x=2,y，∴P（2，）P（0，），將此兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，得（（2-c）

／a）=1,（c／a）-（b）=1.將c=b２代入，解得=／9）=（3．故所求雙曲線的方程為（9x-（43）

／4）3y／4）例3

直線ｌ：ａｘ－ｙ－＝0與雙曲線

Ｃ：ｘ

－2

＝1相交于P、點(diǎn)．（1當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時，｜ＰＱ｜＝

?（2是否存在實(shí)數(shù)使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在，求出a的值；若不存在，說明由．講解：（1若設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為（ｘ，ｙ）、（ｘ，ｙ）則（ｘ，ｙ）、（ｘ，）是方程組ａｘ－ｙ－10，

①ｘ

－2－＝0

②的實(shí)數(shù)解，根據(jù)此方程組有兩個不同解的條件及弦長確定實(shí)數(shù)a值．將①代入②消去y，得（12

）ｘ

＋4ａｘ－0③若1－2ａ

＝0即ａ（

／2時直線ｌ與雙曲線的漸近線平行ｌ與C可能有一個交點(diǎn)，∴12

≠0．當(dāng)－

≠0即ａ（

／2時由方程③的判別式Δ＞0得（／2＜ａ＜（／2．又ｘ＋ｘ＝－4／（1－2ａ

），ｘｘ＝－（1－ａ），④由弦長公式及④，得｜ＰＱ｜＝·．3/6

由已知｜ＰＱ｜＝2

，解得ａ

＝－（12（舍去），或ａ

＝1.∴ａ＝±1，滿足－（故所求實(shí)數(shù)a的為±1．

／2＜ａ＜（／2．（2反證法

假設(shè)存在實(shí)數(shù)的值，使得以PQ直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原O則由OP⊥ＯＱ，得ｘｘ＋ｙｙ＝又ｙｙ＝（ａｘ－（ａｘ1），∴（1ａ

）ｘｘ－ａ（ｘ＋）＋10．將（1中的④代入，解得ａ

＝-2，這與a為實(shí)數(shù)矛盾故不存在實(shí)數(shù)a的值，使得以為徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．本題在得到方程③后，應(yīng)注意兩點(diǎn)：1°對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零要分類討論；2°當(dāng)1－

≠0時，應(yīng)有Δ＞0這條件，否則會“對而不全”．例4

如圖8-13示，設(shè)拋物線ｙ

＝2ｘ（ｐ＞0的焦點(diǎn)為F經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、Ｂ兩點(diǎn)．點(diǎn)C在物線的準(zhǔn)線上，且∥ｘ軸．證明直線ＡＣ經(jīng)過原點(diǎn)Ｏ．圖8-13講解：證明直AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證AＯ、Ｃ三點(diǎn)共線．證明三點(diǎn)共線的方法甚多，常用的有斜率法、方程法、距離法等，這里我們只給出兩種思路．其他的請讀者自己思考．思路1．斜率法．∵Ｆ的坐標(biāo)為（（ｐ／2），0）∴方程，得

直線ＡＢ的方程可設(shè)為ｘ＝ｍｙ＋（ｐ／2，代入拋物線ｙ

－2ｍｙ－ｐ

＝若記Ａ（ｘ，ｙ）、Ｂ（ｘ，），則ｙｙ＝－ｐ

．又∵ＢＣ∥ｘ軸，且點(diǎn)在準(zhǔn)線ｘ＝（ｐ／2上，∴Ｃ點(diǎn)的坐標(biāo)為（－（ｐ／2），ｙ），∴ｋ＝ｙ／－（ｐ／＝／ｙ＝ｙ／ｘ，ｋ＝ｋ，∴

直線ＡＣ經(jīng)過點(diǎn)O．思路2．距離法（同一法）．記ｘ軸與拋物線準(zhǔn)線ｌ的交點(diǎn)為過A⊥ｌ，為垂足．則AD∥ＦＥ∥ＢＣ，連結(jié)AC與Ｆ相交于點(diǎn)N則（｜ＥＮ｜／｜ＡＤ｜）＝（｜ＣＮ｜／｜ＡＣ｜）＝（｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜），（｜ＮＦ｜／｜ＢＣ｜）＝（｜ＡＦ｜／｜ＡＢ｜）．又由于｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＣ｜，∴｜ＥＮ｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜／｜ＡＢ｜Ｆ｜·｜ＢＣ｜／｜ＡＢ｜｜ＮＦ｜．即N為Ｆ的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，∴

直線ＡＣ經(jīng)過原點(diǎn)O．該題實(shí)質(zhì)為拋物線焦點(diǎn)弦的一個性質(zhì)定理．拋物線的焦點(diǎn)弦還有一些常用性質(zhì)，如，設(shè)AB為拋線4/6

ｙ

＝2ｘ（ｐ＞0的焦點(diǎn)弦，且ｘ，ｙ）、Ｂ（ｘｙ），直線AB傾角為θ，則ｙｙ＝－ｐ

，｜ＡＢ｜＝（2／ｓｉ

θ），（1｜ＡＦ｜）＋（｜ＦＢ｜）＝（2ｐ），等等．另外，該命題還可進(jìn)一步引申為：設(shè)Ａ、Ｂ為拋物線ｙ

＝2ｐｘ（ｐ＞上兩點(diǎn)，C在其準(zhǔn)線上，且∥ｘ軸，則Ａ、Ｏ、Ｃ三點(diǎn)共線的充要條件為Ａ、Ｆ、Ｂ三點(diǎn)共線．其中，充分性為2001年全國高考試題，必要性為年陜西省高中畢業(yè)會考題．三、專題訓(xùn)練1

橢圓的兩個焦點(diǎn)和中心將兩條準(zhǔn)線間的距離四等分一焦點(diǎn)與它的短軸的兩端點(diǎn)連線的夾角是（）．Ａ．45°Ｂ．60°Ｃ．90°Ｄ．120°2橢圓C：（ｘ

／4）＋

＝1關(guān)于直線ｌ：ｙ＝ｘ－3稱的橢圓Ｃ′的方程是（）．Ａ．（ｘ－3

＋（（ｙ＋

／41Ｂ．（ｘ＋3

＋（（ｙ－

／41Ｃ．（（ｘ－3

／4）＋（ｙ＋

＝1Ｄ．（（ｘ＋3

／4）＋（ｙ－

＝3過雙曲線（

／9）－（

／16）1右焦點(diǎn)F傾斜角為（／4的ABAB的點(diǎn)到F的距離是（）．Ａ．80／7Ｂ．80／7Ｃ．80Ｄ．40

／7／74拋物線ｙ

＝2ｘ（ｐ＞的焦點(diǎn)弦AB長為ｍ，頂點(diǎn)為O則△OAB面積為（）．Ａ．（ｐ／2Ｂ．（ｐ／4Ｃ．（ｐ／4Ｄ．無法計(jì)算5

若直線ｙ＝ｋｘ＋1（ｋ∈Ｒ）與橢圓（ｘ

／5＋（ｙ

／ｍ）＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ｍ的取值范圍是__________6

直線ｙ＝1ｘ交橢圓ｍｘ＋ｎｙ1于M、兩，弦MN中點(diǎn)為P.若ｋ＝（

／2，Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ｍ／ｎ）＝__________．7

給出下列四個命題：①橢圓（ｘ

／16）＋（

／λ）＝1離心率為（2，則λ=12②已知雙曲線3mｘ

-mｙ＝3一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，，則m=-4;③已知拋物線y＝（1／2x-2x+（m／的準(zhǔn)線是y=-1,則實(shí)數(shù)m=35/6

④橢圓（x／25）+（２／＝1一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是2N是MF的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則｜ON=2．其中所有正確的命題的序號是_______．8

已知拋物線ｙ＝ｘ（ａ＞0的焦點(diǎn)為A，（ａ＋4，點(diǎn)為圓心，｜ＢＡ｜為半徑，在ｘ軸上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓相交于不同的兩點(diǎn)Ｍ、Ｎ，點(diǎn)P是MN的中．（1求｜ＡＭ｜＋｜ＡＮ｜的值；（2是否存在實(shí)數(shù)ａ，使｜ＡＭ｜、｜ＡＰ｜、｜ＡＮ｜成等差數(shù)列？若存在，求出ａ；若不存在，說明理由．9已知直線ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ與橢圓ｘ＋（ｙO為坐標(biāo)原點(diǎn)．

／）1交于AB點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，（