（全國通用）2023屆高考數(shù)學大一輪復習第十章計數(shù)原理10.2排列與組合學案

PAGEPAGE1§10.2排列與組合最新考綱考情考向分析1.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．2.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.以理解和應用排列、組合的概念為主，常常以實際問題為載體，考查分類討論思想，考查分析、解決問題的能力，題型以選擇、填空為主，難度為中檔.1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(3)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)__題組一思考辨析1．判斷以下結論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(×)(2)一個組合中取出的元素講究元素的先后順序．(×)(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n?。絥·n！.(√)(5)假設組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，那么x＝m成立．(×)(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(√)題組二教材改編2．[P27A組T7]6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144B．120C．72D．24答案D解析“插空法〞，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.3．[P19例4]用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為()A．8B．24C．48D．120答案C解析末位數(shù)字排法有Aeq\o\al(1,2)種，其他位置排法有Aeq\o\al(3,4)種，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)排法，所以偶數(shù)的個數(shù)為48.題組三易錯自糾4．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種答案B解析第一類：甲在左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)排法．所以共有120＋96＝216(種)排法．5．為開展國外孔子學院，教育部選派6名中文教師到泰國、馬來西亞、緬甸任教中文，假設每個國家至少去一人，那么不同的選派方案種數(shù)為()A．180 B．240C．540 D．630答案C解析依題意，選派方案分為三類：①一個國家派4名，另兩個國家各派1名，有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)；②一個國家派3名，一個國家派2名，一個國家派1名，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(3,3)＝360(種)；③每個國家各派2名，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，故不同的選派方案種數(shù)為90＋360＋90＝540.6．寒假里5名同學結伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個座位(一排共五個座位)，上車后五人在這五個座位上隨意坐，那么恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有______種．(用數(shù)字作答)答案45解析設5名同學也用A，B，C，D，E來表示，假設恰有一人坐對與自己車票相符的坐法，設E同學坐在自己的座位上，那么其他四位都不坐自己的座位，那么有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9種坐法，那么恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有9×5＝45(種).題型一排列問題1．某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)答案1560解析由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560(條)留言．2．用1,2,3,4,5,6組成一個無重復數(shù)字的六位數(shù)，要求三個奇數(shù)1,3,5有且只有兩個相鄰，那么不同的排法種數(shù)為()A．18 B．108C．216 D．432答案D解析根據(jù)題意，分三步進行：第一步，先將1,3,5分成兩組，共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種排法；第二步，將2,4,6排成一排，共Aeq\o\al(3,3)種排法；第三步，將兩組奇數(shù)插入三個偶數(shù)形成的四個空位，共Aeq\o\al(2,4)種排法．綜上，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝3×2×6×12＝432(種)排法，應選D.3．將7個人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，假設甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，那么不同的排法共有()A．1108種 B．1008種C．960種 D．504種答案B解析將丙、丁兩人進行捆綁，看成一人．將6人全排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)種排法；將甲排在排頭，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)種排法；乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)種排法；甲排在排頭，乙排在排尾，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種排法．那么甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰的不同排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝1008(種)．思維升華排列應用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原那么，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.題型二組合問題典例某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)取法，∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．(2)從34種可選商品中，選取3種，有Ceq\o\al(3,34)種或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984(種)取法．∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)取法．∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．(4)選取2種假貨有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3種假貨有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方式Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555(種)．∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．(5)方法一(間接法)選取3種的總數(shù)為Ceq\o\al(3,35)，因此共有選取方式Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090(種)．∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．方法二(直接法)共有選取方式Ceq\o\al(3,20)＋Ceq\o\al(2,20)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝6090(種)．∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．思維升華組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有〞或“不含有〞某些元素的組合題型：“含〞，那么先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含〞，那么先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少〞或“至多〞含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少〞與“至多〞這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．跟蹤訓練(1)在某校2022年舉辦的第32屆秋季運動會上，甲、乙兩位同學從四個不同的運動工程中各選兩個工程報名，那么甲、乙兩位同學所選的工程中至少有1個不相同的選法種數(shù)為()A．30 B．36C．60 D．72答案A解析因為甲、乙兩位同學從四個不同的工程中各選兩個工程的選法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種．其中甲、乙所選的工程完全相同的選法有Ceq\o\al(2,4)種，所以甲、乙所選的工程中至少有1個不相同的選法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝30(種)．應選A.(2)(2022·武漢二模)假設從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，那么不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種答案D解析共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，那么4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故不同的取法有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66(種)．題型三排列與組合問題的綜合應用命題點1相鄰、相間及特殊元素(位置)問題典例(1)(2022·青島模擬)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數(shù)為________．答案60解析2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不連續(xù)出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.(2)(2022·上饒一模)大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車效勞，二胎政策的放開使得家庭中有兩個孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個孩子共8人，他們準備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，那么乘坐甲車的4個孩子恰有2個來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個孩子都在甲車上，對于剩余的兩個家庭，從每個家庭的2個孩子中任選一個來乘坐甲車，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式，應選B.命題點2分組與分配問題典例(1)國家教育部為了開展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法．答案90解析先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15(種)方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)分派方法．(2)(2022·廣州調(diào)研)有4名優(yōu)秀學生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學校，每所學校至少去一名，那么不同的保送方案共有________種．答案36解析先把4名學生分為2,1,1共3組，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6(種)分法，再將3組對應3個學校，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)情況，那么共有6×6＝36(種)不同的保送方案．思維升華(1)解排列、組合問題要遵循的兩個原那么①按元素(位置)的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)．(2)分組、分配問題的求解策略①對不同元素的分配問題a．對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，防止重復計數(shù)．b．對于局部均分，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即假設有m組元素個數(shù)相等，那么分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．c．對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．②對于相同元素的“分配〞問題，常用方法是采用“隔板法〞．跟蹤訓練(1)(2022·全國Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，那么不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種答案D解析由題意可知，其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．應選D.(2)(2022·浙江)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人效勞隊，要求效勞隊中至少有1名女生，那么共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)答案660解析方法一只有1名女生時，先選1名女生，有Ceq\o\al(1,2)種方法；再選3名男生，有Ceq\o\al(3,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(種)選法．有2名女生時，再選2名男生，有Ceq\o\al(2,6)種方法；然后排隊長、副隊長位置，有Aeq\o\al(2,4)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(種)選法．所以依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有480＋180＝660(種)不同的選法．方法二不考慮限制條件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)種不同的選法，而沒有女生的選法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種，故至少有1名女生的選法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(種)．(3)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，假設產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，那么不同的擺法有______種．答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．于是符合題意的擺法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．1．從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是()A．9 B．10C．18 D．20答案C解析由于lga－lgb＝lgeq\f(a,b)(a>0，b>0)，∴l(xiāng)geq\f(a,b)有多少個不同的值，只需看eq\f(a,b)不同值的個數(shù)．從1,3,5,7,9中任取兩個作為eq\f(a,b)，有Aeq\o\al(2,5)種取法，又eq\f(1,3)與eq\f(3,9)相同，eq\f(3,1)與eq\f(9,3)相同，∴l(xiāng)ga－lgb的不同值的個數(shù)為Aeq\o\al(2,5)－2＝18.2．(2022·濟南調(diào)研)一排9個座位坐了3個三口之家，假設每家人坐在一起，那么不同的坐法種數(shù)為()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4答案C解析把一家三口看作一個排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種坐法．3．某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為()A．16B．18C．24D．32答案C解析將4個車位捆綁在一起，看成一個元素，先排3輛不同型號的車，在3個車位上任意排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，再將捆綁在一起的4個車位插入4個空檔中，有4種方法，故共有4×6＝24(種)方法．4．(2022·昆明質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，先要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．Aeq\o\al(5,5)種 B．Aeq\o\al(2,2)種C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種 D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種答案D解析紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種擺放方法．5．有A，B，C，D，E五位學生參加網(wǎng)頁設計比賽，決出了第一到第五的名次．A，B兩位學生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名．請你分析一下，這五位學生的名次排列的種數(shù)為()A．6 B．18C．20 D．24答案B解析由題意知，名次排列的種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18.6．(2022·四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．48C．60 D．72答案D解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，那么個位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)種選法，再將剩下的4個數(shù)字排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，那么滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個)．應選D.7．假設把英語單詞“good〞的字母順序寫錯了，那么可能出現(xiàn)的錯誤方法共有________種．(用數(shù)字作答)答案11解析把g，o，o，d4個字母排一列，可分兩步進行，第一步：排g和d，共有Aeq\o\al(2,4)種排法；第二步：排兩個o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,4)＝12.其中正確的有一種，所以錯誤的共有Aeq\o\al(2,4)－1＝12－1＝11(種)．8．(2022·福州質(zhì)檢)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答)答案60解析分兩類：第一類：3張中獎獎券分給3個人，共Aeq\o\al(3,4)種分法；第二類：3張中獎獎券分給2個人相當于把3張中獎獎券分兩組再分給4人中的2人，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種分法．總獲獎情況共有Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(種)．9．(2022·豫南九校聯(lián)考)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生，3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生，外科醫(yī)生和護士，那么不同的分配方案有______種．答案36解析2名內(nèi)科醫(yī)生的分法為Aeq\o\al(2,2)，3名外科醫(yī)生與3名護士的分法為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)，共有Aeq\o\al(2,2)(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3))＝36(種)不同的分法．10．用數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)中，中間三位數(shù)字各不相同，但首末兩位數(shù)字相同的共有________個．答案240解析由題意知此題是一個分步計數(shù)問題，從1,2,3,4四個數(shù)中選取一個有四種選法，接著從這五個數(shù)中選取3個在中間三個位置排列，共有Aeq\o\al(3,5)＝60(個)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有60×4＝240(個)．11．(2022·鄭州模擬)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________．答案120解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲〞，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對于第一種情況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□〞，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□〞，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)安排方法．由分類加法計數(shù)原理知，共有36＋36＋48＝120(種)安排方法．12．(2022·衡水模擬)某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，那么共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)答案114解析5個人住3個房間，每個房間至少住1人，那么有(3,1,1)和(2,2,1)兩種，當為(3,1,1)時，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有60－18＝42(種)，當為(2,2,1)時，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有90－18＝72(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有42＋72＝114(種)．13．(2022·合肥質(zhì)檢)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人參加隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，那么不同的參加方法的種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．480答案C解析前排3人有4個空，從甲、乙、丙3人中選1人插入，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)種方法，對于后排，假設插入的2人不相鄰，有Aeq\o\al(2,5)種