(浙江專用)2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第7講解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案_第1頁
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PAGE1-第7講解三角形應(yīng)用舉例最新考綱能夠運用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計算有關(guān)的實際問題.知識梳理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角:正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.4.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.診斷自測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.()(2)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,那么α,β的關(guān)系為α+β=180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).()(4)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.()解析(2)α=β.(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.假設(shè)點A在點C的北偏東30°,點B在點C的南偏東60°,且AC=BC,那么點A在點B的()A.北偏東15° B.北偏西15°C.北偏東10° D.北偏西10°解析如下圖,∠ACB=90°,又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°.∴點A在點B的北偏西15°.答案B3.如圖,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),假設(shè)飛機的高度為海拔18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,那么山頂?shù)暮0胃叨葹?精確到0.1km,參考數(shù)據(jù):eq\r(3)≈1.732)()A.11.4kmC.6.5km D.5.6km解析∵AB=1000×eq\f(1,60)=eq\f(50,3)(km),∴BC=eq\f(AB,sin45°)·sin30°=eq\f(50,3\r(2))(km).∴航線離山頂h=eq\f(50,3\r(2))×sin75°=eq\f(50,3\r(2))×sin(45°+30°)≈11.4(km).∴山高為18-11.4=6.6(km).答案B4.(必修5P11例1改編)如圖,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是m米,∠BAC=α,∠ACB=β,那么A,B兩點間的距離為()A.eq\f(msinα,sinβ) B.eq\f(msinα,sin〔α+β〕)C.eq\f(msinβ,sin〔α+β〕) D.eq\f(msin〔α+β〕,sinα+sinβ)解析在△ABC中,∠ABC=π-(α+β),AC=m,由正弦定理,得eq\f(AB,sinβ)=eq\f(AC,sin∠ABC),所以AB=eq\f(msinβ,sin[π-〔α+β〕])=eq\f(msinβ,sin〔α+β〕).答案C5.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,那么下午2時兩船之間的距離是______nmile.解析設(shè)兩船之間的距離為d,那么d2=502+302-2×50×30×cos120°=4900,∴d=70,即兩船相距70nmile.答案706.(2022·湖州調(diào)研)一緝私艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,距離12nmile的海上有一走私船正以10nmile/h的速度沿南偏東75°方向逃竄,假設(shè)緝私艇的速度為14nmile/h,緝私艇沿北偏東45°+α的方向追去,假設(shè)要在最短的時間內(nèi)追上走私船,那么追上所需的時間為________h,α角的正弦值為________.解析如下圖,A,C分別表示緝私艇、走私船的位置,設(shè)經(jīng)x小時后在B處追上走私船.那么AB=14x,BC=10x,∠ACB=120°,在△ABC中,由余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240·x·cos120°,解得x=2.故AB=28,sinα=eq\f(20sin120°,28)=eq\f(5\r(3),14),即所需時間為2小時,sinα=eq\f(5\r(3),14).答案2eq\f(5\r(3),14)考點一測量高度問題【例1】(2022·湖北卷)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,那么此山的高度CD=________m.解析在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)=eq\f(AB,sin∠ACB),即eq\f(BC,sin30°)=eq\f(600,sin45°),所以BC=300eq\r(2)(m).在Rt△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300eq\r(2)·tan30°=100eq\r(6)(m).答案100eq\r(6)規(guī)律方法(1)在處理有關(guān)高度問題時,要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【訓(xùn)練1】(2022·鄭州一中月考)如下圖,在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β.鐵塔BC局部的高為h,求山高CD.解由得,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.在△ABC中,由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)=eq\f(BC,sin∠BAC),即eq\f(AC,sin〔90°-α〕)=eq\f(BC,sin〔α-β〕),∴AC=eq\f(BCcosα,sin〔α-β〕)=eq\f(hcosα,sin〔α-β〕).在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsinβ=eq\f(hcosαsinβ,sin〔α-β〕).故山高CD為eq\f(hcosαsinβ,sin〔α-β〕).考點二測量距離問題【例2】如圖,A,B兩點在河的同側(cè),且A,B兩點均不可到達,要測出AB的距離,測量者可以在河岸邊選定兩點C,D,測得CD=a,同時在C,D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理分別計算出AC和BC,再在△ABC中,應(yīng)用余弦定理計算出AB.假設(shè)測得CD=eq\f(\r(3),2)km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B兩點間的距離.解∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,∴∠DAC=60°,∴AC=DC=eq\f(\r(3),2)(km).在△BCD中,∠DBC=45°,由正弦定理,得BC=eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC=eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°=eq\f(\r(6),4)(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45=eq\f(3,4)+eq\f(3,8)-2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)=eq\f(3,8).∴AB=eq\f(\r(6),4)(km).∴A,B兩點間的距離為eq\f(\r(6),4)km.規(guī)律方法(1)選定或確定要創(chuàng)立的三角形,首先確定所求量所在的三角形,假設(shè)其他量那么直接求解;假設(shè)有未知量,那么把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.【訓(xùn)練2】如下圖,要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點間的距離,其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角α,再分別測出AC,BC的長b,a,那么可求出A,B兩點間的距離,即AB=eq\r(a2+b2-2abcosα).假設(shè)測得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,試計算AB解在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB∴AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000,∴AB=200eq\r(7)(m),即A,B兩點間的距離為200eq\r考點三測量角度問題【例3】如下圖,兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,那么燈塔A在燈塔B的________方向.解析由∠ACB=180°-40°-60°=80°,又AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°,∴燈塔A處于燈塔B的北偏西10°.答案北偏西10°規(guī)律方法解決測量角度問題的考前須知(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意,分清與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步.(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正弦、余弦定理的結(jié)合使用.【訓(xùn)練3】如圖,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面,那么從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CADA.30° B.45°C.60° D.75°解析依題意可得AD=20eq\r(10)m,AC又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD=eq\f(AC2+AD2-CD2,2AC·AD)=eq\f(〔30\r(5)〕2+〔20\r(10)〕2-502,2×30\r(5)×20\r(10))=eq\f(6000,6000\r(2))=eq\f(\r(2),2),又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案B[思想方法]1.利用解三角形解決實際問題時:(1)要理解題意,整合題目條件,

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