中考數(shù)學一輪知識復習和鞏固練習考點10 銳角三角函數(shù)綜合復習（基礎鞏固） (含詳解)

考向10銳角三角函數(shù)綜合復習—基礎鞏固【知識梳理】考點一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即SKIPIF1<0；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即SKIPIF1<0；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即SKIPIF1<0.同理SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．方法指導：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當角度在0°＜∠A＜90°之間變化時，，，tanA＞0．考點二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°方法指導：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結為：當角度在0°＜∠A＜90°之間變化時，

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)，

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

考點三、銳角三角函數(shù)之間的關系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關系：，；

(2)平方關系：；

(3)倒數(shù)關系：或；

(4)商數(shù)關系：．

方法指導：

銳角三角函數(shù)之間的關系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關系式可使運算簡便．

考點四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

方法指導：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知的值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系(如不等關系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點五、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，方法指導：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.考點六、解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

方法指導：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩形來解.例如：

3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【基礎鞏固訓練】一、選擇題

1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結論正確的是()A．sinA＝B．tanA＝C．cosB＝D．tanB＝2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（）A． B．C． D．3．在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）A．B． C．D．4．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2SKIPIF1<0，則tan∠CAD的值是（）A.2 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<05．一個物體從A點出發(fā)，沿坡度為1：7的斜坡向上直線運動到B，AB=30米時，物體升高（）米．A．B．3C． D． 以上的答案都不對6．如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（）A.sinA=cosA B.sinA＞cosAC.sinA＞tanA D.sinA＜cosA二、填空題7．若∠α的余角是30°，則cosα的值是.8．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.9．計算2sin30°﹣sin245°+tan30°的結果是.10．已知α是銳角，且sin(α+15°)=.計算的值為.11．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為海里．（結果保留根號）12．如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tan∠NPH的值為．三、解答題13．如圖所示，我市某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB＝5m，現(xiàn)要在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么EB的高為多少米?(結果保留三個有效數(shù)字)14.已知：如圖所示，八年級(1)班數(shù)學興趣小組為了測量河兩岸建筑物AB和建筑物CD的水平距離AC，他們首先在A點處測得建筑物CD的頂部D點的仰角為25°，然后爬到建筑物AB的頂部B處測得建筑物CD的頂部D點的俯角為15°30′．已知建筑物AB的高度為30米，求兩建筑物的水平距離AC(精確到0.1米)（可用計算器查角的三角函數(shù)值）15．如圖，登山纜車從點A出發(fā)，途經(jīng)點B后到達終點C，其中AB段與BC段的運行路程均為200m，且AB段的運行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點A運行到點C的垂直上升的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16.如圖所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.答案與解析一、選擇題

1.【答案】D；【解析】sinA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝．故選D.2.【答案】A；【解析】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==，故選A．3.【答案】C；【解析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)cosB==，故選C．4.【答案】A；【解析】∵AD是BC邊上的中線，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC=SKIPIF1<0，∴tan∠CAD===2．故選A．5.【答案】B；【解析】∵坡度為1：7，∴設坡角是α，則sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故選B．6.【答案】B；【解析】∵45°＜A＜90°，∴根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，當∠A＞45°時，sinA＞cosA，故選B．二、填空題7．【答案】；【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=．8．【答案】；【解析】過C作CD⊥AB，垂足為D，設小方格的長度為1，在Rt△ACD中，AC==2,∴sinA=SKIPIF1<0.9．【答案】+；【解析】2sin30°﹣sin245°+tan30°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．10．【答案】3；【解析】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．11．【答案】40；【解析】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=40海里，故答案為：40．12．【答案】；【解析】∵正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，∴MC=1，HN=2，∵DC∥EH，∴，∵HC=3，∴PC=3，∴PH=6，∴tan∠NPH=，故答案為：．三、解答題13.【答案與解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5m，∵SKIPIF1<0．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案與解析】解：如圖所示，過D作DH⊥AB，垂足為H．設AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝xtan25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan15°30′＝AC·tan15°30′＝x·tan15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan25°+tan15°30′)＝30．所以SKIPIF1<0(米)．答：兩建筑物的水平距離AC約為40.3米．15.【答案與解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC?si