九年數(shù)學下冊第二十六章二次函數(shù).2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)階段強化專訓新版華東師大版03012123

/10/10/專訓1二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系名師點金：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數(shù)a，b，c與圖象有著密切的關(guān)系：a的取值決定了開口方向和開口大小，a，b的取值影響對稱軸的位置，c的取值決定了拋物線與y軸的交點位置，所以a，b，c這三個系數(shù)共同決定著拋物線的位置和大小，反之也可以根據(jù)二次函數(shù)圖象情況確定a，b，c的符號或大?。產(chǎn)與圖象的關(guān)系1．如圖所示，四個函數(shù)的圖象，分別對應的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c＞dB．a(chǎn)＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c(第1題)(第3題)2．在拋物線y＝mx2與拋物線y＝nx2中，若－m＞n＞0，則開口向上的拋物線是________，開口較大的拋物線是________．b與圖象的關(guān)系3．若二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖象如圖所示，則b的值是()A．－5B．0C．3D．44．當拋物線y＝x2－nx＋2的對稱軸是y軸時，n______0；當對稱軸在y軸左側(cè)時，n______0；當對稱軸在y軸右側(cè)時，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)c與圖象的關(guān)系5．下列拋物線可能是y＝ax2＋bx的圖象的是()6．若將拋物線y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4個單位長度后得到的圖象如圖所示，則c＝________．(第6題)(第7題)a，b與圖象的關(guān)系7．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a8．如果拋物線y＝eq\f(m,2)x2＋(n＋2)x－5的對稱軸是直線x＝－eq\f(3,2)，則(3m－2n)2－eq\f(2n＋4,3m)的值為________．a(chǎn)，c與圖象的關(guān)系9．二次函數(shù)y＝(3－m)x2－x＋n＋5的圖象如圖所示，試求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．(第9題)a，b，c與圖象的關(guān)系10．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，則符合條件的圖象是()(第11題)11．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)bc＞0B．a(chǎn)＋c＝0C．b＝2aD．4a＋c＝2b專訓2求二次函數(shù)表達式的常見類型名師點金：求二次函數(shù)的表達式是解決二次函數(shù)問題的重要保證，在求解二次函數(shù)的表達式時一般選用待定系數(shù)法，但在具體題目中要根據(jù)不同條件，設出恰當?shù)谋磉_式，往往可以給解題過程帶來簡便．由函數(shù)的基本形式求表達式eq\a\vs4\al(方法1：)利用一般式求二次函數(shù)表達式1．已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1，0)，點B(0，6)和點C(4，6)，則這個二次函數(shù)的表達式為____________________．2．一個二次函數(shù)，當自變量x＝－1時，函數(shù)值y＝2；當x＝0時，y＝－1；當x＝1時，y＝－2.那么這個二次函數(shù)的表達式為______________．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三點．(1)求拋物線y＝ax2＋bx＋c對應的函數(shù)表達式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求OM＋AM的最小值．(第3題)eq\a\vs4\al(方法2：)利用頂點式求二次函數(shù)表達式4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖象的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數(shù)的表達式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋65．已知某二次函數(shù)的最大值是2，圖象頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過點(3，－6)．求這個二次函數(shù)的表達式．eq\a\vs4\al(方法3：)利用交點式求二次函數(shù)表達式6．已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(－4，0)兩點，與y軸交于點C，且AB＝BC，求此拋物線對應的函數(shù)表達式．eq\a\vs4\al(方法4：)利用平移法求二次函數(shù)表達式7．(中考·綏化)把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線對應的函數(shù)表達式是______________．8．已知y＝x2＋bx＋c的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的圖象對應的函數(shù)表達式為y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函數(shù)圖象的頂點坐標；(3)求兩個圖象頂點之間的距離．eq\a\vs4\al(方法5：)利用對稱軸法求二次函數(shù)表達式(第9題)9．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應的函數(shù)表達式是________________．10．如圖所示，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，3)，拋物線的對稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求點M的坐標．(第10題)eq\a\vs4\al(方法6：)靈活運用方法求二次函數(shù)的表達式11．已知拋物線的頂點坐標為(－2，4)，且與x軸的一個交點坐標為(1，0)，求拋物線對應的函數(shù)表達式．由函數(shù)圖象中的信息求表達式12．如圖是某個二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知，該二次函數(shù)的表達式是()(第12題)A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋213．(中考·南京)某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設銷售量與產(chǎn)量相等．如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；(3)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？(第13題)由表格信息求表達式14．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋815．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，變量x和y的部分對應值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…則該二次函數(shù)的表達式為______________．幾何應用中求二次函數(shù)的表達式16．如圖，直線y＝x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，AB⊥BC，且點C在x軸上，若拋物線y＝ax2＋bx＋c以C為頂點，且經(jīng)過點B，求這條拋物線對應的函數(shù)表達式．(第16題)實際問題中求二次函數(shù)表達式17．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設AB＝xm，花園的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達式；(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積的最大值．(第17題)答案1．A點撥：本題運用數(shù)形結(jié)合思想，在二次函數(shù)y＝ax2的圖象中，|a|越大，圖象的開口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故選A.2．y＝nx2；y＝nx23．C點撥：∵二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖象關(guān)于y軸對稱，∴b－3＝0，b＝3.4．＝；＜；＞5.D6.17.D8．15點撥：由題意得－eq\f(n＋2,m)＝－eq\f(3,2)，∴3m－2n＝4，3m＝2n＋4，∴(3m－2n)2－eq\f(2n＋4,3m)＝42－1＝15.9．解：由圖象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m＞0，,n＋5＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜3，,n＜－5.))∴m－3＜0，m＋n＜－2.∴eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3.10．D11．D點撥：由二次函數(shù)圖象知a＞0，c＜0，由對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，得－eq\f(b,2a)＝－eq\f(1,2)，∴b＝a＞0，∴abc＜0，∴A選項不正確；∵拋物線經(jīng)過點(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b＜0，故B選項不正確；由b＝a知C選項不正確；由對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，且二次函數(shù)圖象與x軸一個交點為(1，0)，知另一交點為(－2，0)，∴4a－2b＋c＝0，∴4a＋c＝2b，故D選項正確．1．y＝2x2－8x＋62．y＝x2－2x－13．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三點的坐標代入y＝ax2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝－4，,c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))解這個方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝0.))∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(1,2)x2＋x.(2)由y＝－eq\f(1,2)x2＋x＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(1,2)，可得拋物線的對稱軸為直線x＝1，并且對稱軸垂直平分線段OB，連接AB，交直線x＝1于M點，∴OM＝BM.∴OM＋AM＝BM＋AM＝AB，即為OM＋AM的最小值．過點A作AN⊥x軸于點N，在Rt△ABN中，AB＝eq\r(AN2＋BN2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，因此OM＋AM的最小值為4eq\r(2).4．D5．解：設二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(x，2)，則2＝x＋1，所以x＝1，所以圖象的頂點為(1，2)．設二次函數(shù)的表達式為y＝a(x－1)2＋2，將點(3，－6)的坐標代入上式，可得a＝－2.所以該函數(shù)的表達式為y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.6．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.又∵BC＝AB，∴BC＝5.在Rt△BCO中，OC＝eq\r(BC2－OB2)＝eq\r(52－42)＝3，∴C點的坐標為(0，3)或(0，－3)．設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x－1)(x＋4)，將點(0，3)的坐標代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝－eq\f(3,4)；將點(0，－3)的坐標代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝eq\f(3,4).∴該拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)或y＝eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)，即y＝－eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x＋3或y＝eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x－3.點撥：若給出拋物線與x軸的交點坐標或?qū)ΨQ軸及拋物線與x軸的兩交點間的距離，通?？稍O交點式求解．7．y＝2x2＋4x8．解：(1)2；0(2)原函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.∴其圖象的頂點坐標為(－1，－1)．(3)原圖象的頂點為(－1，－1)，新圖象的頂點為(1，－4)．由勾股定理易得兩個頂點之間的距離為eq\r(13).9．y＝－x2＋2x＋310．解：(1)設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋k.把點(2，0)，(0，3)的坐標代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)a＋k＝0，,\f(1,4)a＋k＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,k＝\f(25,8).))∴y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)，即y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3.(2)由y＝0，得－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①當CM＝BM時，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴當M點在原點O處時，△MBC是等腰三角形，∴M點坐標為(0，0)；②當BC＝BM時，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝3eq\r(2)，∴BM＝3eq\r(2)，∴M點坐標為(3eq\r(2)－3，0)．綜上所述，點M坐標為(0，0)或(3eq\r(2)－3，0)．點撥：本題求點M坐標時運用了分類討論思想．11．解：方法一：設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2＋bx＋c，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝4，,a＋b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,9)，,b＝－\f(16,9)，,c＝\f(20,9).))∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法二：設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x＋2)2＋4，將點(1，0)的坐標代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－eq\f(4,9).∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)(x＋2)2＋4，即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法三：∵拋物線的頂點坐標為(－2，4)，與x軸的一個交點坐標為(1，0)，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(－5，0)．設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x－1)(x＋5)，將點(－2，4)的坐標代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－eq\f(4,9).∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)(x－1)(x＋5)，即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).點撥：本題分別運用了一般式、頂點式、交點式求二次函數(shù)表達式，求二次函數(shù)的表達式時要根據(jù)題目條件靈活選擇方法，如本題中：第一種方法列式較復雜，且計算量大，第二、三種方法較簡便，計算量?。?2．D13．解：(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克的生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元．(2)設線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式為y1＝k1x＋b1.因為y1＝k1x＋b1的圖象過點(0，60)與(90，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝60，,90k1＋b1＝42.))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－0.2，,b1＝60.))這個一次函數(shù)的表達式為y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．(3)設y2與x之間的函數(shù)表達式為y2＝k2x＋b2.因為y2＝k2x＋b2的圖象過點(0，120)與(130，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝120，,130k2＋b2＝42.))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－0.6，,b2＝120.))這個一次函