概率論6假設(shè)檢驗(yàn)

第六章假設(shè)檢驗(yàn)§6.1問題的提法§6.2一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類問題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問題.

在本節(jié)中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.2

若總體分布形式未知,現(xiàn)假設(shè)其分布函數(shù)為F0(x),問如何用樣本信息判斷該假設(shè)是否合理?這類問題稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題。

設(shè)總體X的分布F(x,θ)的形式已知,但其中參數(shù)θ未知.現(xiàn)猜測(cè)"θ=θ0",問如何據(jù)樣本信息判斷真?zhèn)?換種說法:如何判斷一組樣本是否來(lái)自分布為F(x,θ0)的總體?這類問題稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題。3§6.1問題的提法一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理和方法

小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生.若做了一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果小概率事件發(fā)生了，于是認(rèn)為這種現(xiàn)象不合理.

方法：提出假設(shè)，先假定該假設(shè)為真，然后利用樣本如果推出了一個(gè)不合理現(xiàn)象（即小概率事件發(fā)生），矛盾，從而表明該假設(shè)不真.4舉例說明該原理的應(yīng)用.

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)如何判斷這個(gè)機(jī)器工作是否正常呢？

而較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念,合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來(lái)確定？較小時(shí)，可以認(rèn)為機(jī)器工作正常；當(dāng)-||當(dāng)較大時(shí),應(yīng)認(rèn)為機(jī)器工作不正常.-||5

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)于是提出假設(shè)：H0：（=50）稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)）；在實(shí)際工作中，往往把不想被否定的命題作為原假設(shè).它的對(duì)立假設(shè)是：稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.H1：6

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)1.提出假設(shè)：H0：（=50）然而這個(gè)有關(guān)總體的假設(shè)還是需要樣本去檢驗(yàn)其是否成立.若成立,則接受,從而認(rèn)為機(jī)器工作正常；若不成立,則拒絕,認(rèn)為機(jī)器工作不正常.H1：7

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：2.構(gòu)造用于檢驗(yàn)H0

的統(tǒng)計(jì)量----檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)滿足兩點(diǎn)要求：分布類型已知；不含未知參數(shù)。8

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：在假設(shè)成立的前提下有：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：成立時(shí).9H0：（=50）H1：3.構(gòu)造小概率事件(概率α一般都是已知的,取0.01,0.05,0.1等)對(duì)于給定的小概率α,有即“”是一個(gè)小概率事件.10

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：11

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：4.用樣本檢驗(yàn).若一次抽樣后小概率事件發(fā)生,則認(rèn)為不合理,拒絕原假設(shè).因?yàn)?2

例某糧食加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝大米,每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為50kg,由長(zhǎng)期實(shí)踐表明,袋裝重量(kg)服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)抽取了9袋大米,測(cè)得平均凈重為51.1kg,問該機(jī)器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：13注：1.小概率α,又稱顯著性水平.

α

越小,小概率事件越不容易發(fā)生,原假設(shè)越不容易被拒絕.因此,如果能在α很小的情況下拒絕原假設(shè),則非常具有說服力.

基于這一點(diǎn),若想保護(hù)原假設(shè)(即不想原假設(shè)被拒絕),則可以選取的α較小.2.不否定H0并不是肯定H0一定對(duì)，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”14W：3.拒絕域.

在假設(shè)檢驗(yàn)過程中,使得小概率事件出現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)量的取值范圍稱為該假設(shè)檢驗(yàn)的否定域(拒絕域),否定域的邊界稱為該假設(shè)檢驗(yàn)的臨界值.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2-uα/215164.顯著性水平與否定域關(guān)系圖

注意:否定域的大小,依賴于顯著性水平的取值,一般說來(lái),顯著性水平越高,即α越小,否定域也越小,這時(shí)原假設(shè)就越難否定.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2

-uα/216二、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤在假設(shè)檢驗(yàn)中,否定原假設(shè)的理由是小概率事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)了.但小概率事件并不是不會(huì)出現(xiàn),只是出現(xiàn)的可能性較小.因此,根據(jù)小概率原理否定原假設(shè),有可能把本來(lái)客觀上正確的假設(shè)否定了,造成犯“棄真”的錯(cuò)誤,稱為第一類錯(cuò)誤,α就是犯第一類錯(cuò)誤的概率的最大允許值。另一方面,當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí),卻作出接受原假設(shè)的結(jié)論,造成犯“存?zhèn)巍钡腻e(cuò)誤,稱為第二類錯(cuò)誤,一般用β表示犯第二類錯(cuò)誤的概率。1718

◆假設(shè)檢驗(yàn)中犯兩類錯(cuò)誤的概率:

"棄真"≤α "納偽"=β

◆樣本容量n一定時(shí),α小,β就大,反之,β小,α就大.

◆在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),我們采取的原則是:

控制犯第一類錯(cuò)誤(即α事先給定且很小)的同時(shí)使犯第二類錯(cuò)誤的概率達(dá)到最小.

可以通過增加樣本容量的方法使得兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)減小.注：1819三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟

第一步:提出待檢驗(yàn)的原假設(shè)H0和對(duì)立假設(shè)H1;

第二步:選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,并找出在假設(shè)H0成立條件下,該統(tǒng)計(jì)量所服從的概率分布;

第三步:根據(jù)所要求的顯著性水平α和所選取的統(tǒng)計(jì)量,查概率分布臨界值表,確定臨界值與否定域;

第四步:將樣本觀察值代入所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中,計(jì)算出該統(tǒng)計(jì)量的值,若該值落入否定域,則拒絕原假設(shè)H0,否則接受原假設(shè)H0。1920§6.2一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

一.已知方差σ2,關(guān)于期望μ的假設(shè)檢驗(yàn)二.未知方差σ2,關(guān)于期望μ的假設(shè)檢驗(yàn)三.未知期望μ,關(guān)于方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)注意:本小節(jié)的前提是總體X~N(μ,σ2)201.方差已知,對(duì)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)步驟(1)提出待檢假設(shè)H0:μ=μ0(μ0已知);(2)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值ua/2,使

P(|U|>ua/2)=a,從而得到拒絕域|U|>ua/2

；(4)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量U的值u并與臨界值ua/2比較；(5)若|u|>ua/2則否定H0,否則接收H0。U檢驗(yàn)法21

例1根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)和資料的分析,某磚瓦廠生產(chǎn)磚的“抗斷強(qiáng)度”X服從正態(tài)分布,方差σ2=1.21.從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊,測(cè)得抗斷強(qiáng)度如下(單位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;檢驗(yàn)這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?22即不能認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度為32.50kg/cm2.232.方差未知,對(duì)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)步驟(1)提出待檢假設(shè)H0:μ=μ0(μ0已知);(2)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值ta(n-1),使

P(|T|>ta(n-1)

)=a,從而得到拒絕域|T|>ta(n-1)

；(4)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的值并與臨界值

ta(n-1)比較；(5)若|T|>ta(n-1),則否定H0,否則接收H0。T檢驗(yàn)法24例2從1975年的新生兒(女)中隨機(jī)地抽取20個(gè),測(cè)得其平均體重為3160克,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為300克.而根據(jù)過去統(tǒng)計(jì)資料,新生兒(女)平均本重為3140克.問現(xiàn)在與過去的新生兒(女)體重有無(wú)顯著差異(假設(shè)新生兒體重服從正態(tài)分布)?(a=0.01)25即體重?zé)o差異。263.總體均值未知,對(duì)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)步驟(1)提出待檢假設(shè)(2)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.χ2檢驗(yàn)法(3)根據(jù)檢驗(yàn)水平a,查表確定臨界值Xf(x)α/2α/22728例3某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行了改進(jìn),從中抽取5爐鐵水測(cè)得含碳量數(shù)據(jù)如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

據(jù)此是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05).

即不能認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082.2930