平面解析幾何（選擇題填空題）2（解析版）

平面解析幾何2（選擇題、填空題）21．【2022年高考全國I理數(shù)】已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14C．12 D．10【答案】A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，取等號．故選A．【名師點(diǎn)睛】對于拋物線弦長問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，將到定點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上；另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握．考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決．此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以．22．【2022年高考全國I理數(shù)】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，．若為直角三角形，則A． B．3C． D．4【答案】B【解析】由題可知雙曲線的漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而可得，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，，所以，故選B．23．【2022年高考天津卷理數(shù)】已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇C選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.解答本題時，由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程.24．【2022年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于點(diǎn)，則=___________，=___________．【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率，進(jìn)一步得到其方程，將代入后求得，計(jì)算得解.解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì).25．【2022年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．【答案】【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點(diǎn).由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)，可得，與方程聯(lián)立，可解得（舍），又點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡潔.26．【2022年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).27．【2022年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．【答案】2【解析】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得∴，，又OA與OB都是漸近線，∴又，∴又漸近線OB的斜率為，∴該雙曲線的離心率為．【名師點(diǎn)睛】本題結(jié)合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．解答本題時，通過向量關(guān)系得到和，從而可以得到，再結(jié)合雙曲線的漸近線可得進(jìn)而得到從而由可求離心率.28．【2022年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲.【答案】【解析】由已知得，解得或，因?yàn)?，所?因?yàn)椋噪p曲線的漸近線方程為.【名師點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.29．【2022年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是▲.【答案】4【解析】當(dāng)直線x+y=0平移到與曲線相切位置時，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P，此時到直線x+y=0的距離最小.由，得，，即切點(diǎn)，則切點(diǎn)Q到直線x+y=0的距離為，故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.30．【2022年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________．【答案】3【解析】設(shè)，則由圓心為中點(diǎn)得易得，與聯(lián)立解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以.所以，由得或，因?yàn)?，所以【名師點(diǎn)睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.31．【2022年高考浙江卷】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．【答案】【解析】設(shè)，，由得，，所以，因?yàn)?，在橢圓上，所以，，所以，所以，與對應(yīng)相減得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值．【名師點(diǎn)睛】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.32．【2022年高考北京卷理數(shù)】若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_______________．【答案】2【解析】，所以，解得．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．解題時要注意SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關(guān)系，即SKIPIF1<0，以及當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，哪些量表示，否則很容易出現(xiàn)錯誤．最后根據(jù)離心率的公式計(jì)算即可.33．【2022年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________________．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線，即的距離為，所以，因此，，．34．【2022年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點(diǎn)及橢圓的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為________________；雙曲線的離心率為________________．【答案】 【解析】由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，所以橢圓的離心率為．雙曲線的漸近線方程為，由題意得雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，所以，所以．35．【2022年高考山東卷理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為_____________．【答案】【解析】由拋物線定義可得：,因?yàn)?所以漸近線方程為.【名師點(diǎn)睛】1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對漸近線：（1）掌握方程；（2）掌握其傾斜角、斜率的求法；（3）會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都與橢圓的有關(guān)問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.2.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離處理．36．【2022年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是_______________．【答案】【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，設(shè)，則，，，所以四邊形的面積．【名師點(diǎn)睛】（1）已知雙曲線方程求漸近線：；（2）已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為；（3）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，垂足為對應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)．37．【2022年高考全國I理數(shù)】已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________．【答案】【解析】如圖所示，作，因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，且，，而，所以，點(diǎn)到直線的距離，在中，，代入計(jì)算得，即，由得，所以．【名師點(diǎn)睛】雙曲線漸近線是其獨(dú)有的性質(zhì)，所以有關(guān)漸近線問題備受出題者的青睞.做好這一類問題要抓住以下重點(diǎn)：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是；③雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是.38．【2022年高考全國II理數(shù)】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則_______________．【答案】【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故．【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．39．【2022年高