導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用最全教案

g()g()一知點(diǎn)理1.導(dǎo)：當(dāng)

趨近于零時(shí)，

f(f()0

趨近于常數(shù)c?？捎梅枴?/p>

”記作：當(dāng)

時(shí)，

f(f()0

記作lim

f(xf(x)00

符”讀近

的瞬時(shí)變化率稱

f()

在

x

處的導(dǎo)數(shù)作

f)

。即

f'()lim00

f(x(x)002.導(dǎo)的幾何意義是曲線在某一處的切線的斜率數(shù)的物理意義常指物體運(yùn)動在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。即若點(diǎn)

P(xy)0

為曲線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)

P(xy)0

的切線的斜率

切

f

'

(x)lim00

f(x(x)00由于函數(shù)

f(x)

在

處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)

(,f(x0

處切線的斜率，因此，曲線

f(x)在點(diǎn)(,fx

處的切線方程可如下求得：（）出函數(shù)

f(x)在x

處的導(dǎo)數(shù)，即曲線

f(x)點(diǎn)(,fx

處切線的斜率。（知點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下線方程為f'(x)0003.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：1）

(f(x)g())

2）

[(x)()]g(x)xg3）

(g()f

(x)gg2(x)

4.幾常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)

CC為數(shù))

（x

n

()

(3)

(sin)

x

fxfx0x0f(x在x0(4)

(cos)

(5)

x)

11(logx)

log(7)

(

)

(8)

(a

)

a5.函的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間

(a,

內(nèi)，如果

f'()0

，那么函數(shù)

yx)

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f

'

(x0

，那么函數(shù)

yf(x

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。6.函的極值求函數(shù)

f()

極值的步驟①求導(dǎo)數(shù)

f

。②求方程

f

/

(0

的根.③列表；④下結(jié)論。7.函的最大值和最小值（）

yf(x

是定義在區(qū)間

y)在ab)

內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y)

在

小值，可分兩步進(jìn)行.①求

y)在(a,b)

內(nèi)的極.②將

y)

在各極值點(diǎn)的極值與

f(、f()

比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.（）函數(shù)

f(x)

在

f(

為函數(shù)的最小值，

f(b)

為函數(shù)的最大值；若函數(shù)

f()

在

f(

為函數(shù)的最大值，

f(b)

為函數(shù)的最小值注意）求函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：使導(dǎo)函數(shù)

f

取值為的可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)

f()x

的導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)處有

f

，即點(diǎn)是的點(diǎn)

f(x)

上為增函數(shù)可知不

f(x)的極值點(diǎn)(2)在求際問題中的最大值和小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域如定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲?，然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使得導(dǎo)函數(shù)0，那么立即可以斷定在這個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。

（）大（?。┲蹬c最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系二、典例題解析：例1（1若函數(shù)

y(x)

在區(qū)間

(,)

內(nèi)可導(dǎo)，且

xa)

則

limh

f(x)()00h

的值為（）A

f

(x0

B

2

x)

C．

f

x)

．

（）知曲線

的一條切線方程是

yx

，則

的值為A

4284213B..或D或33（）曲線A．

的一條切線與線B．

垂直，則的程為C．D．（）知函數(shù)

f()

3

(2

2

，x(x)

的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為（）A．2B.-2C.

27

D.4例．

f(x)x

x

在間

上的最大值是2。解：當(dāng)－，f

當(dāng)0，f

所以當(dāng)＝時(shí)，f（）得最大值為2。點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)求極值或最值時(shí)要掌握一般方法數(shù)的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)還取決與該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)為0的未必都是極值點(diǎn)，如：函數(shù)

f()x

。例：設(shè)函數(shù)(x)=

x

3ax2

其中（f(x)單調(diào)區(qū)間f(x)的極值。解：由已知得

f'()x

fx)

，解得

x0,

。（Ⅰ）當(dāng)

a

時(shí)，

f(x)x2

，f(x)

在(

上單調(diào)遞增；當(dāng)

a

時(shí)，

f()

，

f(x),f()

隨

的變化情況如下表：

(

0

a

(af

'

(x)

+

0

0

fff(x)從上表可知，函數(shù)f()

在(

極大值上單調(diào)遞增；在a

極小值上單調(diào)遞減；在a

上單調(diào)遞增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a時(shí)函數(shù)fx)

沒有極值；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)(x

在處取極大值，在

處取得極小值

。點(diǎn)：小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。例：知函數(shù)

f()

13

x2ax（1若在R上調(diào)，求a的值范圍。（2問是否存在a值，使得f()在

上單調(diào)遞減，若存在，請求

a

的取值范圍。解：先求導(dǎo)得

fx2（1

f(x)在R上單調(diào)且f是口向上的二次函f恒立，即4解得（2

要使得

f(x)在

上單調(diào)遞減

且是口向上的二次函數(shù)f對x即

解得

a

不存在

a

值，使得

f(x)

在

上單調(diào)遞減。例5已知直l為曲線x2x在

處的切線，l為曲線的另一條切線，且ll

（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）求由直線l，l和所圍成的三角形的面積解：設(shè)直l的斜率為

，直線

l

的斜率為

k

，

，由題意得

k'

,得直線

l

的方程為y

kkll2令

,

將xyx得yl

與該曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為A

由直線方程的點(diǎn)斜式得直線l的程為y（Ⅱ）由直線

l

的方程為yx

,令

得x=2由直線l的程為

，令

得xx由得

設(shè)由直線l，l和軸圍成的三角形的面積為S，則：三、練：

1241．關(guān)于函數(shù)

f)x3x2

，下列說法不正確的是（）。（）區(qū)間（），()

為增函數(shù)（）區(qū)間（0，）內(nèi)，f()

為減函數(shù)（在（，

內(nèi)f()

為增函數(shù)（在區(qū)（

0）

內(nèi)，f(x)為增函數(shù)2．對任意x，有

fx)4x

，f(1)則此函數(shù)為()4

。3．函數(shù)y=2x-3x-12x+5在0,3]上的最大值與最小值分別是5-15。4．下列函數(shù)中，

是極值點(diǎn)的函數(shù)是（）。（）

y

（）x

（）

yx

（）

y

1x5．下列說法正確的是（）。（）數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大