04、分類討論思想辦法

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分類討論思想辦法

在解答某些數(shù)學(xué)咨詢題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種事情，需要對(duì)各種事情加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這算是分類討論法。分類討論是一種邏輯辦法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，并且也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的辦法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)咨詢題具有明顯的邏輯性、綜合性、探究性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，因此在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的緣故要緊是以下幾個(gè)方面：

①咨詢題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類舉行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a2時(shí)分a>0、a＝0和a2.若a>0且a≠1，p＝log

a

(a3＋a＋1)，q＝log

a

(a2＋a＋1)，則p、q的大小關(guān)系是_____。

A.p＝q

B.pq

D.當(dāng)a>1時(shí)，p>q；當(dāng)03.函數(shù)y＝

sin

|sin|

x

x

＋

cos

|cos|

x

x

＋

tgx

tgx

||

＋

||

ctgx

ctgx

的值域是_________。

4.若θ∈(0,

π

2

)，則lim

n→∞

cossin

cossin

nn

nn

θθ

θ＋θ

-

的值為_____。

A.1或－1

B.0或－1

C.0或1

D.0或1或－1

5.函數(shù)y＝x＋

1

x

的值域是_____。

A.[2,+∞)

B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.[-2,2]

6.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分不為2和4的矩形，則它的體積為_____。

A.

8

9

3B.

4

9

3C.

2

9

3D.

4

9

3或

8

9

3

7.過點(diǎn)P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_____。

A.3x－2y＝0

B.x＋y－5＝0

C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0

D.別

能確定

二、舉例分析：

例1.設(shè)00且a≠1，比較|log

a

(1－x)|與|log

a

(1＋x)|的大小。

【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，因此對(duì)底數(shù)a分兩類事情舉行討論?！窘狻俊?1①當(dāng)00，loga(1＋x)0;②當(dāng)a>1時(shí)，loga(1－x)0，因此|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－

loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0；

由①、②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|。

【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性的兩種事情十分熟悉，即當(dāng)a>1

時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)0lglgSSnn++220，使得lg()lg()

ScScnn-+-+22

＝

lg（Sn+1－c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)

【分析】要證的別等式和討論的等式能夠舉行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種事情。例1、例2、屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的咨詢題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求舉行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例3.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，關(guān)于滿腳10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【分析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域咨詢題，

需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系舉行分類討論，

最終綜合得解。

【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分

三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函

數(shù)的圖像，也能夠看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。

例4.解別等式()()xaxaa+-+4621>0(a為常數(shù)，a≠－1

2

)

【分析】含參數(shù)的別等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號(hào)和兩根－4a、6a的大小，

故對(duì)參數(shù)a分四種事情a>0、a＝0、－122

分不加以討論。

【注】本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種事情舉行討論，做到別重別漏。普通地，遇到題目中含有參數(shù)的咨詢題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的妨礙而舉行分類

討論，此種題型為含參型。例5.在xoy平面上給定曲線y2＝2x，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，a∈R，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A

的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。（本題難度0.40）

【分析】求兩點(diǎn)間距離的最小值咨詢題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)在約束條件x≥0下的最小值咨詢題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論?！咀ⅰ勘绢}解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值咨詢

題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x≥0的限制，因此要從中找出正

確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式。

三、鞏固訓(xùn)練：1.若loga

23

log

a

(x2－a)(a>0且a≠1)

8.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S

n，又設(shè)T

n

＝S

S

n

n+1

，求

limn→∞T

n

。

9.函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x2－2(m＋1)x－1的圖像與x軸惟獨(dú)一具公共點(diǎn)，求參數(shù)m的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。

【簡解】1小題：對(duì)參數(shù)a分a>0、a＝0、a1、03小題：分x在第一、二、三、四象限等四種事情，答案{4,-2,0}；

4小題：分θ＝

π

4

、00、x0，q>0

①．當(dāng)q＝1時(shí)，S

n

＝na

1

，從而S

n

S

n+2

－S

n+1

2＝na

1

(n＋2)a

1

－(n＋1)2a

1

2＝

－a

1

20,使得lg()lg()

ScSc

nn

-+-

+2

2

＝lg（S

n+1

－c）成立。

【注】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改咨詢題為：

證明loglog

..

05052

2

SS

nn

+

+>log

05.

S

n+1

，和理科第一咨詢類似，不過所利用的是底數(shù)是

0.5時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。

【解】當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝a（x－1

a

）2＋2－

1

a

∴

1

1

1220

a

fa

≤

＝≥

()-+

?

?

?

??

或

1

1

4

1

2

1

?

?

??

?

?

?

a

f

aa

()＝

或

1

4

416820a

fa

≥

＝≥()-+

?

?

?

??

∴a≥1或1

2

1

2

；

當(dāng)a1

2

。

【解】2a＋1>0時(shí)，a>－

1

2

；－4a0。因此分以下四種事情

討論：

當(dāng)a>0時(shí)，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x6a；

當(dāng)a＝0時(shí)，x2>0，解得：x≠0；

當(dāng)－

1

2

0，解得:x－4a；

當(dāng)a>－

1

2

時(shí)，(x＋4a)(x－6a)0時(shí)，x6a；當(dāng)a＝0時(shí)，x≠0；當(dāng)－

1

2

或x>－4a；當(dāng)a>－

1

2

時(shí)，6a<x<－4a。

【解】設(shè)M(x,y)為曲線y2＝2x上任意一點(diǎn)，則

|MA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝x2－2(a－1)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a

－1)

由于y2＝2x限定x≥0，因此分以下事情討論：

當(dāng)a－1≥0時(shí)，x＝a－1取最小