石家莊正定中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次半月考數(shù)學(xué)試卷含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精河北省石家莊正定中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次半月考數(shù)學(xué)試卷含答案河北正定中學(xué)高三第二次半月考試卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間:120分鐘分值：150分)一．選擇題（本題共12小題,每小題5分，共60分，1--8題為單選題,9—12為多選題)1．若集合，函數(shù)的定義域?yàn)?，則（)A． B． C． D．2．“，或”的否定是（）A．，且 B．，且C．，或 D．，或3．據(jù)記載,歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式,這個(gè)恒等式將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底,圓周率，虛數(shù)單位,自然數(shù)的單位1和零元0）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的公式”.根據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,則（）A． B． C． D．4．已知，，，則（）A． B． C． D．5．已知平面，，和直線，下列命題中錯(cuò)誤的是（)A．若,，則B．若，則存在，使得C．若,,,則D．若，，則6．已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)．它指的是,在自然情況下（沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力），一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡(jiǎn)單計(jì)算公式是:確診病例增長率×系列間隔,其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間（單位：天）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確診病例的平均增長率為40％時(shí)，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)為5天.根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算,若甲得這種傳染病，則6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為(）A．243 B．248 C．363 D．10927．若，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上,過線段的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若,則的最小值為（）A． B． C． D．（多選題）9．已知，條件，條件，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值可能有（)A．2 B．1 C． D．（多選題）10．如圖,四棱錐中，平面底面，是等邊三角形,底面是菱形，且，為棱的中點(diǎn),為菱形的中心,下列結(jié)論正確的有（）A．直線與平面平行B．直線與直線垂直C．線段與線段長度相等 D．與所成角的余弦值為（多選題）11．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）A．B．若把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)C．若把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)D．，若恒成立,則的最小值為（多選題）12．已知函數(shù)，函數(shù),下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，使C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是二．填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．若，滿足約束條件，則的最大值為_________．14．已知向量，向量與的夾角為,且,則________。15．在等腰直角三角形中,，D為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的體積為________。16．若數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有，則的最小值為________。三．解答題（本題共6小題,共70分）17．（本小題10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足。(1）求;（2)若,為邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的長。18．（本小題12分）在①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的存在，求出的值；若不存在,說明理由.已知數(shù)列為等比數(shù)列,數(shù)列的首項(xiàng)其前項(xiàng)和為，，是否存在,使得對(duì)任意恒成立？注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19．(本小題12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位:天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252（良)510123（輕度污染）6784（中度污染)720(1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率;(2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好P(K2≥k）0。0500.0100.001k3。8416。63510.828附：，20．（本小題12分）已知四棱錐，底面為菱形,,為上的點(diǎn),過的平面分別交于點(diǎn)，且平面．（1）證明：；（2)當(dāng)為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值．21．（本小題12分）已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，面積的最大值為.（1)求橢圓的方程;（2)過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線分別交橢圓于與，且,證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。22．(本小題12分）已知函數(shù)，其中.(1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;（2)若,試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。河北正定中學(xué)高三第二次半月考數(shù)學(xué)答案1．選A【解析】的定義域?yàn)?，，滿足，即，∴．故選：A。2．選B【解析】由題意，命題“,或”的否定是“，且"。故選：B。3．選A【解析】歐拉公式，則，所以，故選:A.4．選C【解析】，且，故，而,所以。故選:C.5．選D【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋源嬖谥本€a?α，使a⊥β，又β∥γ，所以a⊥γ，有α⊥γ,正確;對(duì)于B，α⊥β,設(shè)α∩β＝m，則在平面α內(nèi)存在不同于直線m的直線l，滿足l∥m,根據(jù)線面平行的判定定理可知，l∥β，正確；對(duì)于C，過直線l上任意一點(diǎn)作直線m⊥γ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，m既在平面α又在平面β內(nèi)，所以直線l與直線m重合，即有l(wèi)⊥γ，正確；對(duì)于D,若α⊥β，l∥α，則l⊥β不一定成立，D錯(cuò)誤．故選:D．6．選D【解析】記第1輪感染人數(shù)為，第2輪感染人數(shù)為，…，第輪感染人數(shù)為，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，由題意,即,所以,總?cè)藬?shù)為人。故選：D．7．選B【解析】由已知，，設(shè)，，且為銳角，則，∴,，即,,，故選:B．8．選B【解析】設(shè)，，過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由拋物線的定義可得，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以,又，所以，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故,即,所以的最小值為．9．選BCD【解析】因?yàn)?條件，所以p對(duì)應(yīng)的集合為；因?yàn)闂l件，所以當(dāng)時(shí),q對(duì)應(yīng)的集合為；當(dāng)時(shí),q對(duì)應(yīng)的集合為；當(dāng)時(shí)，q對(duì)應(yīng)的集合為；因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以A?B，所以當(dāng)時(shí),q對(duì)應(yīng)的集合為，此時(shí)滿足A?B,故滿足題意；當(dāng)時(shí)，q對(duì)應(yīng)的集合為,此時(shí)滿足A?B，需，解得；當(dāng)時(shí)，q對(duì)應(yīng)的集合為,此時(shí)滿足A?B,故滿足題意；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：。故選：BCD．10．選ABD【解析】如圖，連接，易知，由線面平行的判定定理得面，正確。在菱形中，，為等邊三角形.設(shè)的中點(diǎn)為,連接，，則，，由線面垂直的判定定理得出平面，，B正確。平面平面,由面面垂直的性質(zhì)可得為直角三角形；設(shè)，則，，。在中,，，可得，故異面直線與所成角的余弦值為；在中，則不是直角,則不是等腰三角形，即與長度不等，故C錯(cuò)誤，D正確，故選:ABD11．選ABD【解析】如圖所示：,所以，，，，即，（)，（），,，，故A正確；把的圖像向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)，是奇函數(shù)，故B正確；把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)，，，在上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；由可得，恒成立，令,，則，,，,,的最小值為，故D正確.故選:ABD.12．選BC【解析】圖像圖像對(duì)于選項(xiàng)A，0是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤。對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),，可得,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;所以，當(dāng)時(shí)，,綜上可得，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根函數(shù)與有一個(gè)交點(diǎn)，且,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：00極大值極小值極大值，極小值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下：120極小值極小值，綜上可得,或，的取值范圍是，D不正確。13．【答案】【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，聯(lián)立，解得，所以,根據(jù)可行域可知最優(yōu)解為，代入可得.14．【答案】1【解析】?jī)蛇吰椒?，利用向量?shù)量積的定義可得.15．【答案】【解析】翻折前，因?yàn)槭堑妊切吻?，，所以，所以，翻折后，設(shè)底面三角形外接圓半徑為，由余弦定理得，所以,由正弦定理得,解得，因?yàn)槭堑妊切吻覟榈闹悬c(diǎn)，所以在四面體中，平面，所以CD所在球的截面圖如圖所示，O為球心，所以外接球半徑,解得

，外接球體積。故答案為：.16．【答案】8【解析】根據(jù)題意，數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)，有，則,，分析可得：在中，最大為，設(shè)，則有,且，變形可得:，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6﹣8＝﹣2，公比為的等比數(shù)列，則,則,即，又為遞增數(shù)列，且，所以若對(duì)任意任意都有成立，則，即的最小值為8；故答案為817．【解析】（1)由正弦定理及已知得，結(jié)合，得,因?yàn)?所以，由，得.(2）在中，由余弦定得，因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值,此時(shí).在中，由余弦定理得.即。18．【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?，所以故①兩式相減整理得所以是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，所以所以由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，數(shù)列單調(diào)遞增，沒有最大值,所以不存在，使得對(duì)任意恒成立。②知數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列，所以所以因?yàn)樗源嬖?使得對(duì)任意恒成立。③所以存在，使得對(duì)任意恒成立.19．【解析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為,等級(jí)為的概率為,等級(jí)為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知,一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為(3)列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好,因此,有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)。20．【解析】（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)闉榱庑?，所以，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，所以．?）由(1）知且，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以,所以平面,所以與平面所成的角為，所以，所以，因?yàn)?所以．分別以，，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則,所以．記平面的法向量為，則，令，則,所以，記平面的法向量為，則,令，則，所以,記二面角的大小為，則．所以二面角的余弦值為．21．【解析】（Ⅰ）設(shè)，則,設(shè)，則.解得。所以橢圓的方程為。（Ⅱ）設(shè)方程為，聯(lián)立，得,，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的兩條不同直線的斜率之和為0，即,即，得，即.解得：。直線方程為:，所以直線過定點(diǎn).22．【解析】(1）當(dāng)時(shí)，，，，令得或，得所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)