-新教材高中數(shù)學第13章立體幾何初步2.2第1課時平行直線學案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE9第1課時平行直線課程標準1.借助長方體的棱與各面之間的位置關系，理解空間中直線與直線的相交、平行、異面三種位置關系．2.進一步掌握用幾何圖形、數(shù)學符號表示空間直線之間的位置關系．【概念認知】1．空間中直線與直線的位置關系(1)異面直線的定義和理解①定義：我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．②特點：異面直線既不相交又不平行，即不同在任何一個平面內(nèi)．(2)空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個平面內(nèi)沒有2.平行直線及基本事實4基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．用符號表示為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.3．等角定理定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．【自我小測】1．如果兩條平行直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有平行直線()A．12對 B．18對 C．24對 D．36對【解析】選B.由基本事實易知共有18對．2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結論都不對【解析】選B.條件中沒有給出兩個角的方向是否相同，所以有可能互補．3．已知l1，l2，l3是空間中三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2∥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面【解析】選B.兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，故B正確，A錯誤；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側棱，故D錯．4．直線a與直線b為兩條異面直線，已知直線l∥a，那么直線l與直線b的位置關系為________．【解析】以正方體為例，如圖，當直線l位于圖中兩位置時，直線l與b的位置關系是相交或異面．答案：異面或相交5．如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．【證明】因為空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．【基礎全面練】一、單選題1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能【解析】選D.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AD1在平面AA1D1D中，直線BB1，BC1分別在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1與BB2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1A.MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行【解析】選D.如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因為BB1⊥BD，BB1∥CC1，所以CC1⊥BD，所以MN與CC1垂直，故A正確；因為AC⊥BD，MN∥BD，所以MN與AC垂直，故B正確；因為A1B1與BD異面，MN∥BD，所以MN與A1B1不可能平行，故D錯誤．3．三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有()A.3對B．4對C．5對D．6對【解析】選A.三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中，成異面直線的有：AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對．4．分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是()A．平行B．相交C．異面 D．相交或異面【解析】選D.畫出圖形，得到結論．如圖(1)，分別與異面直線a，b平行的兩條直線c和d是相交關系．如圖(2)，分別與異面直線a，b平行的兩條直線c和d是異面關系．綜上可知．5．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC，BD相等，順次連接各邊中點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH一定是()A．矩形 B．正方形C．菱形 D．空間四邊形【解析】選C.因為E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點，所以EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，EF＝GH＝eq\f(1,2)AC，EH＝FG＝eq\f(1,2)BD，所以四邊形EFGH是平行四邊形．因為AC＝BD，所以EF＝EH，所以四邊形EFGH是菱形．二、多選題6．在四面體A-BCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是()A．M，N，P，Q四點共面 B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQ D．四邊形MNPQ為梯形【解析】選ABC.由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A說法正確；根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確；由三角形的中位線定理，知MQeq\f(1,2)BD，NPeq\f(1,2)BD，所以MQNP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說法不正確．7．在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q，則()A.PQ＝eq\f(1,2)MNB．PQ∥MNC．M，N，P，Q四點共面D．四邊形MNPQ是梯形【解析】選BCD.由題意知PQ＝eq\f(1,2)DE，且DE≠MN，所以PQ≠eq\f(1,2)MN，故A不正確；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正確．三、填空題8．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分別為棱C1D1，C1C，DD①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④∠DAH＝∠CBN.其中正確的結論為________(注：把你認為正確的結論的序號都填上).【解析】因為A，M，C，C1四點不共面，所以直線AM與CC1是異面直線，故①錯誤；同理，直線AM與BN也是異面直線，故②錯誤；同理，直線BN與MB1是異面直線，故③正確；易得∠DAH＝∠CBN，故④正確．答案：③④四、解答題9．已知E，E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1A1D1的中點，證明：∠BEC＝∠B1E1C1【證明】如圖，連接EE1，因為E，E1分別為AD，A1D1的中點，所以A1E1AE.所以四邊形A1E1EA為平行四邊形．所以A1AE1E.又因為A1AB1B，所以E1EB1B.因為四邊形E1EBB1是平行四邊形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC與∠B1E1C1的兩邊方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C10．如圖，A是△BCD所在平面外一點，M，N分別是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.判斷MN與BD的位置關系．【解析】MN∥BD.理由如下：連接AM，AN并延長分別與BC，CD交于點E，F(xiàn)，由重心的定義知E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，連接EF.因為E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，所以EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD.又因為點M為△ABC的重心，點N為△ACD的重心，所以AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1，所以MN∥EF，且MN＝eq\f(2,3)EF，故MN∥BD.【綜合突破練】一、選擇題1．已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，且AC＝4，BD＝6，則()A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5【解析】選A.取AD的中點H，連接MH，NH，則MH∥BD，且MH＝eq\f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq\f(1,2)AC，且M，N，H三點構成三角形，由三角形三邊關系，可得MH－NH<MN<MH＋NH，即1<MN<5.2．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】選B.直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則由“直線a和直線b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．3．(多選)在空間四面體ABCD中，如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，AD，DC的中點，則下列結論一定正確的選項為()A.EG＝FH B．EF＝GHC．EH與FG相交 D．EG＝HG【解析】選ABC.由題意知，EGeq\f(1,2)BD，F(xiàn)Heq\f(1,2)BD，所以EGFH，所以四邊形EGHF為平行四邊形，所以EG＝FH，EF＝GH.所以EH與FG共面且相交，故A，B，C正確，但EG不一定與HG相等．二、填空題4．在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC的中點，若EF＝2，則GH＝________．【解析】由題意知EFeq\f(1,2)AC，GHeq\f(1,2)AC，故EFGH，故GH＝2.答案：25．在空間四邊形ABCD中，如圖所示，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)，則EH與FG的位置關系是________．【解析】在△ABD中eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，則EH∥BD，同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.答案：平行6．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與直線D1C(2)∠A1BA與∠D1CD的大小關系是________．【解析】(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1B∥D1C(2)由(1)及AB∥DC，根據(jù)等角定理可得∠A1BA＝∠D1CD.答案：(1)A1B∥D1C(2)∠A1BA＝∠D1三、解答題7．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點.求證：BF∥ED1【證明】如圖，取BB1的中點G，連接GC1，GE，因為F為CC1的中點，所以BGC1F，所以四邊形BGC1F所以BF∥GC1，又因為EGA1B1，A1B1C1D1，所以EGC1D1