極化恒等式-教學(xué)設(shè)計(jì)

第四節(jié)極化恒等式上一節(jié)我們針對(duì)不同的情形提出了三種向量數(shù)量積的求解方法，特別是當(dāng)兩個(gè)向量一動(dòng)一靜時(shí)，利用投影法在解決問題起到了明顯的效果，那如果兩個(gè)向量都是動(dòng)向量，此時(shí)該怎么辦呢？為此，我們來探究向量的一個(gè)重要等式——極化恒等式.首先我們從一個(gè)非常簡(jiǎn)單知識(shí)出發(fā)——平行四邊形法則如圖所示，在中由兩邊平方得即上式減下式得：即.我們稱上面這個(gè)等式為極化恒等式.根據(jù)極化恒等式，向量數(shù)量積的幾何意義可以理解為：任意兩個(gè)向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的.推論：在中，為的中點(diǎn)，則.幾何意義：任意兩個(gè)向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊三角形的“中線”與“第三邊一半”的平方差.事實(shí)上，可以證明當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，上述等式仍然成立.并且我們分別稱等式與為極化恒等式的平行四邊形模型與三角形模型.【知識(shí)拓展】在中，根據(jù)上述推導(dǎo)過程已知兩式相加得：于是我們得到平行四邊形定理在中，.推論：在中，設(shè)為邊的中線，則.上面兩個(gè)結(jié)論將在我們以后的學(xué)習(xí)中起到關(guān)鍵作用.【例1】如圖在三角形中，為的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則值為.【解析】設(shè)解得.點(diǎn)評(píng)當(dāng)問題與“中點(diǎn)”有關(guān)時(shí)，可考慮使用極化恒等式求解問題.【變式1】在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，且，．若，則的值為．【變式2】如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為.【變式3】設(shè)點(diǎn)為的重心，，，則的值為．【例2】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑，作圓交于點(diǎn)，若為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【解析】如圖取的中點(diǎn).則而，當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為點(diǎn)評(píng)構(gòu)造中點(diǎn)，利用極化恒等式將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)問題.【例3】已知為圓的直徑，為圓的弦上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的取值范圍是.【解析】如圖.點(diǎn)評(píng)利用極化恒等式處理兩個(gè)動(dòng)向量的數(shù)量積問題時(shí)思路清晰，切中要害，可以非?？焖俚刈プ∮绊憯?shù)量積變化的關(guān)鍵量.【變式1】如圖，已知正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓中，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【變式2】（2022全國(guó)=2\*ROMANII卷12題）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小為（）A.B.C.D.【變式3】如圖，在正方形中，，分別在軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)，則的最大值為.【變式4】已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足，則離心率的取值范圍為.【變式5】若平面向量滿足，則